(一)直线的倾斜角与斜率复习课

•辛集市职教中心第一节直线的倾斜角与斜率一、直线的倾斜角与斜率1．直线的倾斜角(1)定义：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴与直线l方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为.(2)倾斜角的范围为．正向向上0°[0，π)y2－y1x2－x12．直线的斜率倾斜角不是____的直线，它的倾斜角α的_______叫做这条直线的斜率，直线的斜率常用k表示，即k＝______.当α∈0，π2时，k∈___________；当α＝π2时，直线的斜率________；当α∈π2，π时，k∈___________．90°正切值tanα[0，＋∞)不存在(－∞，0)3．斜率k与倾斜角α之间关系的图象k＝tanα(α∈[0，π2)∪(π2，π))．思考感悟直线的倾斜角与斜率是一一对应的吗？提示：不是．若倾斜角是90°时，该直线的斜率不存在．3．直线的斜率公式过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线的斜率公式k＝____________(x1≠x2)．y2－y1x2－x14注：x1≠x2,斜率公式中：分母中含有字母时，要讨论分母是否为零二、两条直线平行与垂直的判定1．两条直线平行对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔.特别地，当直线l1、l2的斜率都不存在时l1与l2的关系为．2．两条直线垂直如果两条直线l1，l2斜率存在，设为k1，k2，则l1⊥l2⇔.k1＝k2平行k1·k2＝－1提示：由两直线的斜率之积为－1，可以得出两直线垂直，反过来，两直线垂直，斜率之积不一定为－1.如果l1、l2中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，l1与l2互相垂直．所以斜率之积为－1是两直线l1、l2垂直的充分而不必要条件．两条直线l1，l2方程分别为A1x＋B1y＋C1＝0A2x＋B2y＋C2＝0，则l1⊥l2的充要条件是什么？提示：A1A2＋B1B2＝0.∥1．直线3x＋3y－1＝0的倾斜角大小为()A．30°B．60°C．120°D．150°解析：∵k＝－33＝－3.∴α＝120°.答案：C2．已知过点A(－2，m)和B(m,4)的直线与直线2x＋y－1＝0平行，则m的值为()A．－8B．0C．2D．10解析：∵4－mm＋2＝－2，∴m＝－8.答案：A3．“a＝1”是“直线x＋y＝0和直线x－ay＝0互相垂直”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：由1×1－a＝0，得a＝1，∴为充要条件．答案：C4．若三点A(2,2)，B(a,0)，C(0,4)共线，则a的值等于________．解析：解得：a＝4.答案：45．已知l1的倾斜角为45°，l2经过点P(－2，－1)，Q(3，m)，若l1⊥l2，则实数m＝________.解析：由已知得k2＝－1，∴＝－1，∴m＋1＝－5，∴m＝－6.答案：－6直线的倾斜角求直线x＋tanα·y＋1＝0(α∈[－π4，π4])的倾斜角θ的取值范围．[听课记录]①当α＝0时，tanα＝0，直线方程为x＋1＝0，其倾斜角θ＝π2；②当α∈[－π4，0)∪(0，π4]时，直线的斜率k＝tanθ＝－1tanα∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，借助正切函数在[0，π)上的图象可知，θ∈[π4，π2)∪(π2，34π]；综上可知，倾斜角θ的取值范围为[π4，34π]．1．直线2xcosα－y－3＝0(α∈[π6，π3])的倾斜角的变化范围是()A．[π6，π3]B．[π4，π3]C．[π4，π2]D．[π4，2π3]解析：直线2xcosα－y－3＝0的斜率k＝2cosα，由于α∈[π6，π3]，所以12≤cosα≤32，因此k＝2cosα∈[1，3]．设直线的倾斜角为θ，则有tanθ∈[1，3]，由于θ∈[0，π)，所以θ∈[π4，π3]，即倾斜角的变化范围是[π4，π3]．答案：B直线的斜率及其应用已知两点A(－1，－5)、B(3，－2)，直线l的倾斜角是直线AB的倾斜角的一半，求l的斜率．[听课记录]设直线l的倾斜角为α，则直线AB的倾斜角为2α，由题意可知：tan2α＝－2－－53－－1＝34.∴2tanα1－tan2α＝34，整理得3tan2α＋8tanα－3＝0.解得tanα＝13或tanα＝－3，∵tan2α＝340，∴0°2α90°，∴0°α45°，∴tanα0，故直线l的斜率为13.2．已知点A(－1，－5)，B(3，－2)，直线l的倾斜角是直线AB的倾斜角的2倍，求直线l的斜率．解析：∵由于A(－1，－5)，B(3，－2)，∴kAB＝－2＋53＋1＝34.设直线AB的倾斜角θ，即tanθ＝34，直线l的倾斜角为2θ，∴tan2θ＝2tanθ1－tan2θ＝247.即l的斜率为247.例3、若直线l经过点(a－2，－1)和(－a－2,1)，且与经过点(－2,1)，斜率为－的直线垂直，则实数a的值为_____．解析：由条件可知＝即3a＝－2，∴a＝－答案：－两条直线的平行与垂直(12分)已知直线l1：ax＋2y＋6＝0和直线l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0.试判断l1与l2是否平行?[思路流程]分别明确直线的斜率→运用位置关系建立等式→得结果例4[规范解答]已知直线l的倾斜角为3π4，直线l1经过点A(3,2)，B(a，－1)，且直线l1与l垂直，直线l2：2x＋by＋1＝0与直线l1平行，求a＋b的值．【解】依题意知，直线l的斜率为－1，∵直线l1与l垂直，∴直线l1的斜率为1.又直线l1过点A(3,2)，B(a，－1)，于是有2＋13－a＝1，∴a＝0，由于直线l2与l1平行，且直线l2的方程为2x＋by＋1＝0，∴－2b＝1，b＝－2，所以a＋2＝0－2＝－2.直线的倾斜角与斜率、直线方程一般不单独考查，多与导数、圆、圆锥曲线交汇命题，因直线的斜率分存在和不存在两种情况，故在设直线方程时，应分两种情况讨论．体现了分类讨论的数学思想．课堂小结（1）在本节课中，你掌握了哪些概念？他们之间有什么关系？（2）怎样求出已知两点的直线的斜率？（3）从倾斜角(形)能刻画直线的倾斜程度，到斜率(数)也能刻画直线的倾斜程度，这个过程中主要体现了什么数学思想？两点---方向直线倾斜角斜率对直线的倾斜角和斜率及两直线位置关系的考查主要有：(1)求已知直线的倾斜角，特别要注意斜率k不存在，即倾斜角为90°的情形．(2)利用斜率知识解决三点共线问题．(3)将两直线平行或垂直的条件与充要条件的判断相结合，这是近几年高考的热点．解决时要注意平行或垂直满足的充要条件．预测角度一直线倾斜角与斜率的综合应用1．若直线l的斜率k的变化范围是[－1，3]，则它的倾斜角的变化范围是()A．[－π4＋kπ，π3＋kπ](k∈Z)B．[－π4，π3]C．[－π3，－3π4]D．[0，π3]∪[3π4，π)解析：由－1≤k≤3，即－1≤tanα≤3，又α∈[0，π)，∴α∈[0，π3]∪[3π4，π)．答案：D预测角度二直线的位置关系与充要条件的判断2．“m＝－1”是“直线mx＋(2m－1)y＋1＝0和直线3x＋my＋3＝0垂直”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：当m＝－1时，两条直线方程为x＋3y－1＝0和3x－y＋3＝0，显然两直线垂直，充分性成立．反之，当这两直线垂直时，3m＋m(2m－1)＝0得m＝0或－1，必要性不成立．答案：A