专题7.3+临界知识问题+玩转压轴题-玩转压轴题突破140分之高三数学选填题高端精品

一．方法综述对于临界知识问题，其命题大致方向为从形式上跳出已学知识的旧框框，在试卷中临时定义一种新知识，要求学生快速处理，及时掌握，并正确运用，充分考查学生独立分析问题与解决问题的能力，多与函数、平面向量、数列联系考查。另外，以高等数学为背景，结合中学数学中的有关知识编制综合性问题，是近几年高考试卷的热点之一，常涉及取整函数、最值函数、有界函数、有界泛函数等。二．解题策略类型一定义新知型临界问题【例1】用C(A)表示非空集合A中的元素个数，定义A*B＝,{,CACBCACBCBCACACB若A＝{1,2}，B＝{x|(x2＋ax)·(x2＋ax＋2)＝0}，且A*B＝1，设实数a的所有可能取值组成的集合是S，则C(S)等于()A．1B．3C．5D．7【答案】B【指点迷津】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解。对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求。但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝。【举一反三】设a，b∈R，定义运算“∧”和“∨”如下：a∧b＝,{,aabbab，a∨b＝,{,babaab若正数a，b，c，d满足ab≥4，c＋d≤4，则（）A．a∧b≥2，c∧d≤2B．a∧b≥2，c∨d≥2C．a∨b≥2，c∧d≤2D．a∨b≥2，c∨d≥2【答案】C【解析】不妨设a≤b，c≤d，则a∨b＝b，c∧d＝c．若b2，则a2，∴ab4，与ab≥4矛盾，∴b≥2．故a∨b≥2．若c2，则d2，∴c＋d4，与c＋d≤4矛盾，∴c≤2．故c∧d≤2．本题选择C选项．类型二高等数学背景型临界问题【例2】设S是实数集R的非空子集，若对任意x，y∈S，都有x＋y，x－y，xy∈S，则称S为封闭集．下列命题：①集合S＝{a＋b3|a，b为整数}为封闭集；②若S为封闭集，则一定有0∈S；③封闭集一定是无限集；④若S为封闭集，则满足S⊆T⊆R的任意集合T也是封闭集．其中真命题是________．(写出所有真命题的序号)【答案】①②【举一反三】【辽宁省沈阳市郊联体2018届上学期期末】定义行列式运算12142334aaaaaaaa，将函数3sin1cosxfxx的图像向左平移(0)nn个单位，所得图像关于y轴对称，则n的最小值为（）A．6B．3C．23D．56【答案】D【解析】函数3sin32cos61cosxfxcosxsinxxx的图象向左平移n（n＞0）个单位，所得图象对应的函数为y=2cos（x+n+6），根据所得函数为偶函数，可得n+6=kπ，k∈z，则n的最小值为56，故选：D．类型三立体几何中的临界问题立体几何的高考题中，最主要考查点是几何元素位置关系及角、距离的计算、三视图等，除此之外，还有可能涉及到与立体几何相关的临界知识，如立体几何与其他知识的交汇，面对这些问题，需要有较强的分析判断能力及思维转换能力，还需要我们对这些问题作一些分析归类，加强知识间的联系，才能让所学知识融会贯通.【例3】【河南省南阳市一中2018届第六次考试】点P为棱长是3的正方体1111ABCDABCD的内切球O球面上的动点，点P满足1BPAC，则动点P的轨迹的长度为__________．【答案】6【举一反三】【江西省抚州市临川区一中2018届上学期质检】已知正方体1111ABCDABCD的体积为1，点M在线段BC上（点M异于B、C两点），点N为线段1CC的中点，若平面AMN截正方体1111ABCDABCD所得的截面为四边形，则线段BM的取值范围为（）A．10,3B．10,2C．2,13D．1,12【答案】B【解析】依题意，当点M为线段BC的中点时，由题意可知，截面为四边形1AMND，从而当102BM时，截面为四边形，当12BM时，该截面与正方体的上底面也相交，所以截面为五边形，故线段BM的取值范围是10,2，故选B．三．强化训练1．【上海市长宁、嘉定区2018届一模】对任意两个非零的平面向量和，定义cos，其中为和的夹角．若两个非零的平面向量a和b满足：①ab；②a和b的夹角0,4；③ab和ba的值都在集合|,2nxxnN中．则ab的值为（）．A．52B．32C．1D．12【答案】B2．【北京市西城区2017—2018第一学期期末】设为空间中的一个平面，记正方体1111ABCDABCD的八个顶点中到的距离为(0)dd的点的个数为m，m的所有可能取值构成的集合为M，则有（）A．4M，6MB．5M，6MC．4M，6MD．5M，6M【答案】D【解析】当为面11BBDD时，A,C,1C,1A到面的距离相等，即4M，排除C;取E,F,G,H为1111BCBCCD，，，CD的中点，记为EFGH时，点111,,,,,BBDDCC，六个点到面的距离相等，即6M，排除A,B．故选D．3．【湖南师大附中2018届上学期月考】狄利克雷函数是高等数学中的一个典型函数，若1,{0,RxQfxxCQ，则称fx为狄利克雷函数．对于狄利克雷函数fx，给出下面4个命题：①对任意xR，都有1ffx；②对任意xR，都有0fxfx；③对任意1xR，都有2xQ，121fxxfx；④对任意,,0ab，都有xfxaxfxb．其中所有真命题的序号是（）A．①④B．②③C．①②③D．①③④【答案】D（x）≥0恒成立，∴对任意a，b∈（-∞，0），都有{|}{|}xfxaxfxbR（）＞（）＞，故④正确，故正确的命题是①③④，故选D．4．【北京市朝阳区2018届第一学期期末】如图，PAD为等边三角形，四边形ABCD为正方形，平面PAD平面ABCD．若点M为平面ABCD内的一个动点，且满足MPMC，则点M在正方形ABCD及其内部的轨迹为（）A．椭圆的一部分B．双曲线的一部分C．一段圆弧D．一条线段【答案】D【解析】在空间中，存在过线段PC中点且垂直线段PC的平面，平面上点到,PC两点的距离相等，记此平面为，平面与平面ABCD有一个公共点，则它们有且只有一条过该点的公共直线．故点M在正方形ABCD及其内部的轨迹为一条线段，选A．5．【湖南省株洲市2018届教学质量统一检测】已知直三棱柱111ABCABC的侧棱长为6，且底面是边长为2的正三角形，用一平面截此棱柱，与侧棱111,,AABBCC，分别交于三点,,MNQ，若MNQ为直角三角形，则该直角三角形斜边长的最小值为（）A．22B．3C．23D．4【答案】C当abbc时取等号．故答案为23．故选C．6．【河北省衡水市阜城中学2017-2018上学期第五次月考】定义方程fxfx的实数根0x叫做函数fx的“新驻点”，若函数gxx，ln1hxx，31xx的“新驻点”分别为,,，则,,的大小关系为（）A．B．C．D．【答案】C7．【吉林省实验中学2018届一模】在正四棱柱1111ABCDABCD中,14,2AAABBC，动点,PQ分别在线段1,CDAC上，则线段PQ长度的最小值是（）A．223B．233C．43D．253【答案】C【解析】建立如图所示空间直角坐标系，则A(2,0,0),C(0,2,0),C1(0,2,4),22910160,,2,0,2,2,,0,0,255599mPtttQmmmPQtm当且仅当1059tm时，PQ取最小值43，选C．8．【陕西省西安市长安区一中2017-2018上学期期末】已知正四棱柱1111ABCDABCD中，12,22ABCC，E为1CC的中点，则直线1AC与平面BED的距离为（）A．1B．3C．2D．2【答案】A9．【河南省南阳市一中2017-2018上学期第四次月考】已知各项均不为零的数列na，定义向量1,nnncaa，,1nbnn，*Nn．下列命题中真命题是（）A．若*Nn总有nncb成立，则数列na是等比数列B．若*Nn总有nncb成立，则数列na是等比数列C．若*Nn总有nncb成立，则数列na是等差数列D．若*Nn总有nncb成立，则数列na是等差数列【答案】D10．【北京市海淀区2018届第一学期期末】已知正方体1111ABCDABCD的棱长为42，点M是棱BC的中点，点P在底面ABCD内，点Q在线段11AC上，若1PM，则PQ长度的最小值为_____．【答案】33【解析】由题意得，过点Q作QN平面ABCD，垂足为N，在点N在线段AC上，分别连接,PQPN,在直角PNQ中，222242PQQNPNPN，在平面ABCD内过点M作MAAC，则2MA，即M到直线AC的最短距离为2，又1PM，当PMA时，此时min11PNMA,所以PQ的最小值为22min42133PQ．11．【广西桂林市、贺州市2018届上学期期末联考】把长AB和宽AD分别为23和2的长方形ABCD沿对角线AC折成BACD的二面角0，下列正确的命题序号是__________．①四面体ABCD外接球的体积随的改变而改变；②BD的长度随的增大而增大；③当2时，BD长度最长；④当23时，BD长度等于13．【答案】②④12．【山西省太原十二中2018届上学期1月月考】在四棱锥PABCD中，PC底面ABCD，底面为正方形，//QAPC，PBCAQB60，记四棱锥PABCD的外接球与三棱锥BACQ的外接球的表面积分别为12,SS，则21SS___．【答案】15713．【辽宁省沈阳市郊联体2017-2018上学期期末考试】对于四面体ABCD，有以下命题：（1）若ABACAD，则过A向底面BCD作垂线，垂足为底面ABC的外心；（2）若ABCD，ACBD，则过A向底面BCD作垂线，垂足为底面ABC的内心；（3）四面体ABCD的四个面中，最多有四个直角三角形；（4）若四面体ABCD的6条棱长都为1，则它的内切球的表面积为6．其中正确的命题是__________．【答案】134【解析】对于①，设点A在平面BCD内的射影是O，因为AB=AC=AD，所以OB=OC=OD，则点A在底面BCD内的射影是△BCD的外心，故①正确；对于②设点A在平面BCD内的射影是O，则OB是AB在平面BCD内的射影，因为AB⊥CD，根据三垂线定理的逆定理可知：CD⊥OB同理可证BD⊥OC，所以O是△BCD的垂心，故②不正确；对于③：如图：直接三角形的直角顶点已经标出，直角三角形的个数是4．故③正确；14．【湖南师范大学附属中学2018届上学期月考】如图所示，在棱长为6的正方体1111ABCDABCD中，点,EF分别是棱11CD，11BC的中点，过A，E，F三点作该正方体的截面，则截面的周长为__________．【答案】6133215．【河北衡水金卷2018届高考模拟一】如图，在直角梯形ABCD中，ABBC，//ADBC，112ABBCAD，点E是线段CD上异于点C，D的动点，EFAD于点F，将DEF沿EF折起到PEF的位置，并使PFAF，则五棱锥PABCEF的体积的取值范围为__________．【答案】10,3【解析】,,PFEFPFAFEFAFF，PF平面ABCE