高考复数专题及答案

复数专题及答案（一）1.【2015高考新课标2，理2】若a为实数且(2)(2)4aiaii，则a（）A．1B．0C．1D．2【答案】B【解析】由已知得24(4)4aaii，所以240,44aa，解得0a，故选B．【考点定位】复数的运算．【名师点睛】本题考查复数的运算，要利用复数相等列方程求解，属于基础题．2.【2015高考四川，理2】设i是虚数单位，则复数32ii()（A）-i（B）-3i（C）i.（D）3i【答案】C【解析】32222iiiiiiii，选C.【考点定位】复数的基本运算.【名师点睛】复数的概念及运算也是高考的热点，几乎是每年必考内容，属于容易题.一般来说，掌握复数的基本概念及四则运算即可.3.【2015高考广东，理2】若复数32zii(i是虚数单位)，则z（）A．32iB．32iC．23iD．23i【答案】D．【解析】因为3223ziii，所以z23i，故选D．【考点定位】复数的基本运算，共轭复数的概念．【名师点睛】本题主要考查复数的乘法运算，共轭复数的概念和运算求解能力，属于容易题；复数的乘法运算应该是简单易解，但学生容易忘记和混淆共轭复数的概念，zabi的共轭复数为zabi．4.【2015高考新课标1，理1】设复数z满足11zz=i，则|z|=()（A）1（B）2（C）3（D）2【答案】A【解析】由11ziz得，11izi=(1)(1)(1)(1)iiii=i，故|z|=1，故选A.【考点定位】本题主要考查复数的运算和复数的模等.【名师点睛】本题将方程思想与复数的运算和复数的模结合起来考查，试题设计思路新颖，本题解题思路为利用方程思想和复数的运算法则求出复数z，再利用复数的模公式求出|z|,本题属于基础题，注意运算的准确性.5.【2015高考北京，理1】复数i2i（）A．12iB．12iC．12iD．12i【答案】A考点定位：本题考查复数运算，运用复数的乘法运算方法进行计算，注意21i.【名师点睛】本题考查复数的乘法运算，本题属于基础题，数的概念的扩充部分主要知识点有：复数的概念、分类，复数的几何意义、复数的运算，特别是复数的乘法与除法运算，运算时注意21i，注意运算的准确性,近几年高考主要考查复数的乘法、除法，求复数的模、复数的虚部、复数在复平面内对应的点的位置等.6.【2015高考湖北，理1】i为虚数单位，607i的共轭复数．．．．为（）A．iB．iC．1D．1【答案】A【解析】iiii31514607,所以607i的共轭复数．．．．为i，选A.【考点定位】共轭复数.【名师点睛】复数中，i是虚数单位,24142434111()nnnniiiiiiinZ；，，，7.【2015高考山东，理2】若复数z满足1zii，其中i为虚数为单位，则z=（）（A）1i（B）1i（C）1i（D）1i【答案】A【解析】因为1zii，所以，11ziii，所以，1zi故选：A.【考点定位】复数的概念与运算.【名师点睛】本题考查复数的概念和运算，采用复数的乘法和共轭复数的概念进行化简求解.本题属于基础题，注意运算的准确性.8.【2015高考安徽，理1】设i是虚数单位，则复数21ii在复平面内所对应的点位于（）（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限【答案】B【解析】由题意22(1)2211(1)(1)2iiiiiiii，其对应的点坐标为(1,1)，位于第二象限，故选B.【考点定位】1.复数的运算；2.复数的几何意义.【名师点睛】复数的四则运算问题主要是要熟记各种运算法则，尤其是除法运算，要将复数分母实数化（分母乘以自己的共轭复数），这也历年考查的重点；另外，复数zabi在复平面内一一对应的点为(,)Zab.9.【2015高考重庆，理11】设复数a+bi（a，bR）的模为3，则（a+bi）（a-bi）=________.【答案】3【解析】由3abi得223ab，即223ab，所以22()()3abiabiab.【考点定位】复数的运算.【名师点晴】复数的考查核心是代数形式的四则运算，即使是概念的考查也需要相应的运算支持．本题首先根据复数模的定义得22abiab，复数相乘可根据平方差公式求得()()abiabi22()abi22ab，也可根据共轭复数的性质得()()abiabi22ab．10.【2015高考天津，理9】i是虚数单位，若复数12iai是纯虚数，则实数a的值为.【答案】2【解析】12212iaiaai是纯虚数，所以20a，即2a.【考点定位】复数相关概念与复数的运算.【名师点睛】本题主要考查复数相关概念与复数的运算.先进行复数的乘法运算，再利用纯虚数的概念可求结果，是容易题.11.【2015江苏高考，3】设复数z满足234zi（i是虚数单位），则z的模为_______.【答案】5【解析】22|||34|5||5||5zizz【考点定位】复数的模【名师点晴】在处理复数相等的问题时，一般将问题中涉及的两个复数均化成一般形式，利用复数相等的充要条件“实部相等，虚部相等”进行求解.本题涉及复数的模，利用复数模的性质求解就比较简便：2211121222||||||||||||.||zzzzzzzzzz，，12.【2015高考湖南，理1】已知211iiz（i为虚数单位），则复数z=（）A.1iB.1iC.1iD.1i【答案】D.【考点定位】复数的计算.【名师点睛】本题主要考查了复数的概念与基本运算，属于容易题，意在考查学生对复数代数形式四则运算的掌握情况，基本思路就是复数的除法运算按“分母实数化”原则，结合复数的乘法进行计算，而复数的乘法则是按多项式的乘法法则进行处理.13.【2015高考上海，理2】若复数z满足31zzi，其中i为虚数单位，则z．【答案】1142i【解析】设(,)zabiabR，则113()1412142abiabiiabzi且【考点定位】复数相等，共轭复数【名师点睛】研究复数问题一般将其设为(,)zabiabR形式，利用复数相等充要条件：实部与实部，虚部与虚部分别对应相等，将复数相等问题转化为实数问题：解对应方程组问题.复数问题实数化转化过程中，需明确概念，如(,)zabiabR的共轭复数为(,)zabiabR，复数加法为实部与实部，虚部与虚部分别对应相加.【2015高考上海，理15】设1z，2Cz，则“1z、2z中至少有一个数是虚数”是“12zz是虚数”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件【答案】B【解析】若1z、2z皆是实数，则12zz一定不是虚数，因此当12zz是虚数时，则“1z、2z中至少有一个数是虚数”成立，即必要性成立；当1z、2z中至少有一个数是虚数，12zz不一定是虚数，如12zzi，即充分性不成立，选B.【考点定位】复数概念，充要关系【名师点睛】形如a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a＋bi为实数；若b≠0，则a＋bi为虚数；若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数．判断概念必须从其定义出发，不可想当然.复数专题及答案（二）一、选择题1．(2010·全国Ⅰ理)复数3＋2i2－3i＝()A．iB．－iC．12－13iD．12＋13i[答案]A[解析]3＋2i2－3i＝(3＋2i)(2＋3i)(2－3i)(2＋3i)＝6＋9i＋4i－613＝i.2．(2010·北京文)在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是()A．4＋8iB．8＋2iC．2＋4iD．4＋i[答案]C[解析]由题意知A(6,5)，B(－2,3)，AB中点C(x，y)，则x＝6－22＝2，y＝5＋32＝4，∴点C对应的复数为2＋4i，故选C.3．若复数(m2－3m－4)＋(m2－5m－6)i表示的点在虚轴上，则实数m的值是()A．－1B．4C．－1和4D．－1和6[答案]C[解析]由m2－3m－4＝0得m＝4或－1，故选C.[点评]复数z＝a＋bi(a、b∈R)对应点在虚轴上和z为纯虚数应加以区别．虚轴上包括原点(参见教材104页的定义)，切勿错误的以为虚轴不包括原点．4．(文)已知复数z＝11＋i，则z－·i在复平面内对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限[答案]B[解析]z＝1－i2，z－＝12＋i2，z－·i＝－12＋12i.实数－12，虚部12，对应点－12，12在第二象限，故选B.(理)复数z在复平面上对应的点在单位圆上，则复数z2＋1z()A．是纯虚数B．是虚数但不是纯虚数C．是实数D．只能是零[答案]C[解析]解法1：∵z的对应点P在单位圆上，∴可设P(cosθ，sinθ)，∴z＝cosθ＋isinθ.则z2＋1z＝cos2θ＋isin2θ＋1cosθ＋isinθ＝2cos2θ＋2isinθcosθcosθ＋isinθ＝2cosθ为实数．解法2：设z＝a＋bi(a、b∈R)，∵z的对应点在单位圆上，∴a2＋b2＝1，∴(a－bi)(a＋bi)＝a2＋b2＝1，∴z2＋1z＝z＋1z＝(a＋bi)＋(a－bi)＝2a∈R.5．(2010·广州市)复数(3i－1)i的共轭复数．．．．是()A．－3＋iB．－3－iC．3＋iD．3－i[答案]A[解析](3i－1)i＝－3－i，其共轭复数为－3＋i.6．(2010·湖南衡阳一中)已知x，y∈R，i是虚数单位，且(x－1)i－y＝2＋i，则(1＋i)x－y的值为()A．－4B．4C．－1D．1[答案]A[解析]由(x－1)i－y＝2＋i得，x＝2，y＝－2，所以(1＋i)x－y＝(1＋i)4＝(2i)2＝－4，故选A.7．(文)(2010·吉林市质检)复数z1＝3＋i，z2＝1－i，则z＝z1·z2在复平面内对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限[答案]D[解析]∵z＝z1z2＝(3＋i)(1－i)＝4－2i，∴选D.(理)现定义：eiθ＝cosθ＋isinθ，其中i是虚数单位，e为自然对数的底，θ∈R，且实数指数幂的运算性质对eiθ都适用，若a＝C50cos5θ－C52cos3θsin2θ＋C54cosθsin4θ，b＝C51cos4θsinθ－C53cos2θsin3θ＋C55sin5θ，那么复数a＋bi等于()A．cos5θ＋isin5θB．cos5θ－isin5θC．sin5θ＋icos5θD．sin5θ－icos5θ[答案]A[解析]a＋bi＝C50cos5θ＋iC51cos4θsinθ＋i2C52cos3θsin2θ＋i3C53cos2θsin3θ＋i4C54cosθsin4θ＋i5C55sin5θ＝(cosθ＋isinθ)5＝(eiθ)5＝ei(5θ)＝cos5θ＋isin5θ，选A.8．(文)(2010·安徽合肥市质检)已知复数a＝3＋2i，b＝4＋xi(其中i为虚数单位)，若复数ab∈R，则实数x的值为()A．－6B．6C.83D．－83[答案]C[解析]ab＝3＋2i4＋xi＝(3＋2i)(4－xi)16＋x2＝12＋2x16＋x2＋8－3x16＋x2i∈R，∴8－3x16＋x2＝0，∴x＝83.(理)(2010·山东邹平一中月考)设z＝1－i(i是虚数单位)，则z2＋2z＝()A．－1－iB．－1＋iC．1－iD．1＋i[答案]C[解析]∵z＝1－i，∴z2＝－2i，2z＝21－i＝1＋i，∴z2＋2z＝1－i，选C.9．(2010·山东聊城市模拟)在复平面内，