5-4-1_完全平方数.题库教师版

5-4.完全平方数.题库教师版page1of6完全平方数是数论板块中一个比较精华的小分支，从知识特点上讲属于约数倍数和质数合数交叉的知识体系，其题目多为考察上述两块综合性知识，是杯赛和小升初试卷中的一个热点.一、完全平方数常用性质1.主要性质1.完全平方数的尾数只能是0，1，4，5，6，9。不可能是2，3，7，8。2.在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。3.完全平方数的约数个数是奇数，约数的个数为奇数的自然数是完全平方数。4.若质数p整除完全平方数2a，则p能被a整除。2.一些重要的推论1.任何偶数的平方一定能被4整除；任何奇数的平方被4（或8）除余1.即被4除余2或3的数一定不是完全平方数。2.一个完全平方数被3除的余数是0或1.即被3除余2的数一定不是完全平方数。3.自然数的平方末两位只有：00，01，21，41，61，81，04，24，44，64，84，25，09，29，49，69，89，16，36，56，76，96。4.完全平方数个位数字是奇数（1，5，9）时，其十位上的数字必为偶数。5.完全平方数个位数字是偶数（0，4）时，其十位上的数字必为偶数。6.完全平方数的个位数字为6时，其十位数字必为奇数。7.凡个位数字是5但末两位数字不是25的自然数不是完全平方数；末尾只有奇数个“0”的自然数不是完全平方数；个位数字为1，4，9而十位数字为奇数的自然数不是完全平方数。3.重点公式回顾：平方差公式：22()()ababab模块一、完全平方数基本性质和概念【例1】(2000年“祖冲之杯”小学数学邀赛)1234567654321(1234567654321)是的平方．【【解解析析】】212345676543211111111，212345676543217，例题精讲知识点拨教学目标5-4完全平方数5-4.完全平方数.题库教师版page2of6原式22(11111117)7777777．【【巩巩固固】】(华杯赛试题)下面是一个算式：112123123412345123456，这个算式的得数能否是某个数的平方？【【解解析析】】判断一个数是否是某个数的平方，首先要观察它的个位数是多少．平方数的个位数只能是0，1，4，5，6，9，而2，3，7，8不可能是平方数的个位数．这个算式的前二项之和为3，中间二项之和的个位数为0，后面二项中每项都有因子2和5，个位数一定是0，因此，这个0算式得数的个位数是3，不可能是某个数的平方．【例2】写出从360到630的自然数中有奇数个约数的数．【【解解析析】】一个合数的约数的个数是在严格分解质因数之后,将每个质因数的指数(次数)加1后所得的乘积.如:1400严格分解质因数后为23×52×7,所以它的约数有(3+1)×(2+1)×(1+1)=4×3×2=24个.(包括1和它自身)如果某个自然数有奇数个约数,那么这个数的所有质因子的个数均为偶数个.这样它们加1后均是奇数,所得的乘积才能是奇数.而所有质因数的个数均是偶数个的数为完全平方数.即完全平方数(除0外)有奇数个约数,反过来,有奇数个约数的数一定是完全平方数．由以上分析知,我们所求的为360～630之间有多少个完全平方数?18×18=324,19×19=361,25×25=625,26×26=676,所以在360～630之间的完全平方数为192,202,212,222,232,242,252．即360到630的自然数中有奇数个约数的数为361,400,441,484,529,576,625．【【巩巩固固】】一个数的完全平方有39个约数，求该数的约数个数是多少？【【解解析析】】设该数为1212naaanppp，那么它的平方就是1222212naaanppp，因此1221212139naaa．由于39139313，⑴所以，1213a，22113a，可得11a，26a；故该数的约数个数为116114个；⑵或者，12139a，可得119a，那么该数的约数个数为19120个．所以这个数的约数个数为14个或者20个．【例3】从1到2008的所有自然数中，乘以72后是完全平方数的数共有多少个？【【解解析析】】完全平方数，其所有质因数必定成对出现．而327223266，所以满足条件的数必为某个完全平方数的2倍，由于2313119222008232322048，所以221、222、……、2231都满足题意，即所求的满足条件的数共有31个．【【巩巩固固】】1016与正整数a的乘积是一个完全平方数，则a的最小值是________．【【解解析析】】先将1016分解质因数：310162127，由于1016a是一个完全平方数，所以至少为422127，故a最小为2127254．【【巩巩固固】】已知3528a恰是自然数b的平方数，a的最小值是。【【解解析析】】3223528237，要使3528a是某个自然数的平方，必须使3528a各个不同质因数的个数为偶数，由于其中质因子3和7各有2个，质因子2有3个，所以a为2可以使3528a是完全平方数，故a至少为2．【例4】已知自然数n满足：12!除以n得到一个完全平方数，则n的最小值是。【【解解析析】】先将12!分解质因数：105212!235711，由于12!除以n得到一个完全平方数，那么这个完全平方数是12!的约数，那么最大可以为1042235，所以n最小为104212!2353711231．5-4.完全平方数.题库教师版page3of6本题也可以这样想，既然12!除以n得到一个完全平方数，12!的质因数分解式中3，7，11的幂次是奇数，所以n的最小值是3711231．【【巩巩固固】】考虑下列32个数：1!，2!，3!，……，32!，请你去掉其中的一个数，使得其余各数的乘积为一个完全平方数，划去的那个数是．【【解解析析】】设这32个数的乘积为A．2221!2!3!32!(1!)2(3!)4(31!)32A2216(1!3!31!)(2432)(1!3!31!)216!，所以，只要划去16!这个数，即可使得其余各数的乘积为一个完全平方数．另外，由于16!1615!，而16也是完全平方数，所以划去15!也满足题意．【例5】一个数减去100是一个平方数，减去63也是一个平方数，问这个数是多少？【【解解析析】】设这个数减去63为2A，减去100为2B，则221006337371ABABAB，可知37AB，且1AB，所以19A，18B，这样这个数为218100424．【【巩巩固固】】能否找到这么一个数，它加上24，和减去30所得的两个数都是完全平方数？【【解解析析】】假设能找到，设这两个完全平方数分别为2A、2B，那么这两个完全平方数的差为54ABAB，由于AB和AB的奇偶性质相同，所以ABAB不是4的倍数，就是奇数，不可能是像54这样是偶数但不是4的倍数．所以54不可能等于两个平方数的差，那么题中所说的数是找不到的．【【巩巩固固】】三个自然数，它们都是完全平方数，最大的数减去第二大的数的差为80，第二大的数减去最小的数的差为60，求这三个数．【【解解析析】】设这三个数从大到小分别为2A、2B、2C，那么有80ABAB，140ACAC，因为1402257，AC、AC同奇同偶，所以有14AC，10AC或70AC，2AC，分别解得12A，2C和36A，34C，对于后者没有满足条件的B，所以A只能等于12，2C，继而求得8B，所以这三个数分别为12、8、2．【例6】有5个连续自然数，它们的和为一个平方数，中间三数的和为立方数，则这五个数中最小数的最小值为．【【解解析析】】考查平方数和立方数的知识点，同时涉及到数量较少的连续自然数问题，设未知数的时候有技巧：一般是设中间的数，这样前后的数关于中间的数是对称的．设中间数是x,则它们的和为5x,中间三数的和为3x．5x是平方数，设2255xa,则25xa，2231535xaa是立方数，所以2a至少含有3和5的质因数各2个,即2a至少是225,中间的数至少是1125，那么这五个数中最小数的最小值为1123．【【巩巩固固】】求一个最小的自然数，它乘以2后是完全平方数，乘以3后是完全立方数，乘以5后是5次方数．【【解解析析】】为使所求的数最小，这个数不能有除2、3、5之外的质因子．设这个数分解质因数之后为235abc，由于它乘以2以后是完全平方数，即1235abc是完全平方数，则(1)a、b、c都是2的倍数；同理可知a、(1)b、c是3的倍数，a、b、(1)c是5的倍数．所以，a是3和5的倍数，且除以2余1；b是2和5的倍数，且除以3余2；c是2和3的倍数，且除以5余4．可以求得a、b、c的最小值分别为15、20、24，所以这样的自然数最小为152024235．【例7】两个完全平方数的差为77，则这两个完全平方数的和最大是多少？最小是多少？【【解解析析】】设这两个完全平方数分别是2A和2B，且2277AB，则两个完全平方数的和可以表示为2772B，所以B越大，平方和越大，B越小，平方和越小，而77ABAB，77711177，当77AB，1AB时，B取得最大值38，此时两个完全平方数的和最5-4.完全平方数.题库教师版page4of6大，为2965；当11AB，7AB时，B取得最小值2，此时两个完全平方数的和最小，为85．【【巩巩固固】】(2008年清华附中考题)有两个两位数，它们的差是14，将它们分别平方，得到的两个平方数的末两位数(个位数和十位数)相同，那么这两个两位数是．(请写出所有可能的答案)【【解解析析】】设这两个两位数中较小的那个为n，则另外一个为14n，由题知，22(14)100nnk(k为正整数)，即7725nk，由于7,251，所以257n，由于n与14n均为两位数，所以17792n，故7n可能为25、50或者75，n可能为18、43或者68．经检验，18n、43、68均符合题意，所以这两个两位数为18、32，或者43、57，或者68、82．【例8】A是一个两位数，它的6倍是一个三位数B，如果把B放在A的左边或者右边得到两个不同的五位数，并且这两个五位数的差是一个完全平方数(整数的平方)，那么A的所有可能取值之和为．【解析】如果把B放在A的左边，得到的五位数为100601BAA；如果把B放在A的右边，得到的五位数为10001006ABA；这两个数的差为1006601405AAA，是一个完全平方数，而240595，所以A是5与一个完全平方数的乘积．A又是一个两位数，所以可以为252、253、254，A的所有可能取值之和为222525354145．【【巩巩固固】】已知ABCA是一个四位数，若两位数AB是一个质数，BC是一个完全平方数，CA是一个质数与一个不为1的完全平方数之积，则满足条件的所有四位数是________．【解析】本题综合利用数论知识，因为AB是一个质数，所以B不能为偶数，且同时BC是一个完全平方数，则符合条件的数仅有16和36，所以可以确定B为1或3，6C．由于CA是一个质数与一个不为1的完全平方数之积，在61～69中只有63和68符合条件，那么A为3或8．那么AB可能为31，33，81，83，其中是质数的有31和83，所以满足条件的四位数有3163和8368．【例9】一个自然数与自身相乘的结果称为完全平方数．已知一个完全平方数是四位数，且