匈牙利算法示例

匈牙利算法示例（二）、解题步骤：指派问题是0-1规划的特例，也是运输问题的特例，当然可用整数规划，0-1规划或运输问题的解法去求解，这就如同用单纯型法求解运输问题一样是不合算的。利用指派问题的特点可有更简便的解法，这就是匈牙利法，即系数矩阵中独立0元素的最多个数等于能覆盖所有0元素的最少直线数。第一步：变换指派问题的系数矩阵（cij）为(bij)，使在(bij)的各行各列中都出现0元素，即(1)从（cij）的每行元素都减去该行的最小元素；(2)再从所得新系数矩阵的每列元素中减去该列的最小元素。第二步：进行试指派，以寻求最优解。在(bij)中找尽可能多的独立0元素，若能找出n个独立0元素，就以这n个独立0元素对应解矩阵(xij)中的元素为1，其余为0，这就得到最优解。找独立0元素，常用的步骤为：(1)从只有一个0元素的行(列)开始，给这个0元素加圈，记作◎。然后划去◎所在列(行)的其它0元素，记作Ø；这表示这列所代表的任务已指派完，不必再考虑别人了。(2)给只有一个0元素的列(行)中的0元素加圈，记作◎；然后划去◎所在行的0元素，记作Ø．(3)反复进行(1)，(2)两步，直到尽可能多的0元素都被圈出和划掉为止。(4)若仍有没有划圈的0元素，且同行(列)的0元素至少有两个，则从剩有0元素最少的行(列)开始，比较这行各0元素所在列中0元素的数目，选择0元素少的那列的这个0元素加圈(表示选择性多的要“礼让”选择性少的)。然后划掉同行同列的其它0元素。可反复进行，直到所有0元素都已圈出和划掉为止。（5）若◎元素的数目m等于矩阵的阶数n，那么这指派问题的最优解已得到。若mn,则转入下一步。第三步：作最少的直线覆盖所有0元素。(1)对没有◎的行打√号；(2)对已打√号的行中所有含Ø元素的列打√号；(3)再对打有√号的列中含◎元素的行打√号；(4)重复(2)，(3)直到得不出新的打√号的行、列为止；(5)对没有打√号的行画横线，有打√号的列画纵线，这就得到覆盖所有0元素的最少直线数l。l应等于m，若不相等，说明试指派过程有误，回到第二步(4)，另行试指派；若l＝mn，须再变换当前的系数矩阵，以找到n个独立的0元素，为此转第四步。第四步：变换矩阵(bij)以增加0元素。在没有被直线覆盖的所有元素中找出最小元素，然后打√各行都减去这最小元素；打√各列都加上这最小元素（以保证系数矩阵中不出现负元素）。新系数矩阵的最优解和原问题仍相同。转回第二步。例一：任务人员ABCD甲215134乙1041415丙9141613丁78119911871316149151441041315224104750111006211130249700102350960607130241047501110062111304200102350960607130◎Ø◎ØØ◎◎0100000100101000有一份中文说明书，需译成英、日、德、俄四种文字，分别记作A、B、C、D。现有甲、乙、丙、丁四人，他们将中文说明书译成不同语种的说明书所需时间如下表所示，问如何分派任务，可使总时间最少？任务人员ABCD甲67112乙4598丙31104丁5982例二、求解过程如下：第一步，变换系数矩阵：2142289541013895421176)(ijc06733902451009540173340240100454－5第二步，试指派：17334241454◎◎◎ØØ找到3个独立零元素但m=3n=4第三步，作最少的直线覆盖所有0元素：17334241454◎◎◎ØØ√√√独立零元素的个数m等于最少直线数l，即l＝m=3n=4；第四步，变换矩阵(bij)以增加0元素：没有被直线覆盖的所有元素中的最小元素为1，然后打√各行都减去1；打√各列都加上1，得如下矩阵，并转第二步进行试指派：62442513430000000100001000011000得到4个独立零元素，所以最优解矩阵为：17334241454◎◎◎ØØ√√√06244251343◎◎◎ØØ156244251343◎◎◎ØØ◎练习：115764戊69637丁86458丙9117129乙118957甲EDCBA费工作用人员43475115764696379645891171291189577132036304520142405263402-1-250320153043101403052424025032015304310140305242402◎Ø◎◎◎ØØ5032015304310140305242402◎Ø◎◎◎ØØ√√√l=m=4n=55032015304310140305242402◎Ø◎◎◎ØØ50330042033102403062313015033004203310240306231301◎Ø◎Ø◎Ø◎Ø√√√5033004203310240306231301√√√√5033004203310240306231301◎Ø◎Ø◎Ø◎Ø√√√√√√√l=m=4n=55033004203310240306231301◎Ø◎Ø◎Ø◎Ø√√√√√√√604400320230023020613030060440032023002302061303006044003202300230206130300◎ØØ◎ØØ◎Ø◎Ø◎此问题有多个最优解286044003202300230206130300◎ØØ◎ØØ◎Ø◎Ø◎6044003202300230206130300◎ØØ◎ØØ◎Ø◎Ø◎用匈牙利法求解下列指派问题，已知效率矩阵分别如下：7910121312161715161415111215163821038729764275842359106910