实变函数与泛函分析33

第三节可测集的结构第三章测度论注：开集、闭集既是型集也是型集；有理数集是型集，但不是型集；无理数集是型集，但不是型集。GGGFFF有理数集可看成可数个单点集的并，而单点集是闭集；通过取余型集与型集相互转化（并与交，开集与闭集互换）GFI例区间是可测集，且FG注：零集、区间、开集、闭集、型集（可数个开集的交）、型集（可数个闭集的并）、Borel型集（粗略说：从开集出发通过取余，取交或并（有限个或可数个）运算得到）都是可测集。证明见书本p66||ImI2.可测集与开集、闭集的关系即：可测集与开集、闭集只相差一小测度集（可测集“差不多”就是开集或闭集），从而可测集基本上是至多可数个开区间的并。)(,0)1(EGmGEGE且使得，开集可测，则若)(,0)2(FEmEFFE且使得，闭集可测，则若证明：若(1)已证明，由Ec可测可知)(,0ccEGmGEG且，使得开集)()())(()()(cccccccEGmEFmFEmFEmFEm且EF取F=Gc，则F为闭集)(,0)1(EGmGEGE且使得，开集可测，则若)(,0)2(FEmEFFE且使得，闭集可测，则若(1).若E可测，则证明:(1)当mE+∞时，由外测度定义知)(,0EGmGEG且，使得开集111,||iiiiiiGIGEGmEmGmIImE令则为开集，，且mEmGEGm)(从而（这里用到mE+∞）EmIEmIEIiiiii*1*1||},{,0且使得开区间列，且为开集，则令GEGGGii,112111111)(())(())(()()(iiiiiiiiiiiiiiiiEGmEGmEGmEGmEGmiiiiiiEGmGEG2)(且，使得开集对每个Ei应用上述结果)(1iiimEEE(2)当mE=+∞时，这时将E分解成可数个互不相交的可测集的并：例,3,2,1,)()(1nEGmEOmnn1nnOGOG令，则为型集，EO且是可测集。，则且，使得开集，若设EEGmGEGREn)(,0()0mOE故()EOOE从而为可测集nnnnEGmGEG1)(且，使得开集证明：对任意的1/n，例：设E为[0,1]中的有理数全体，试各写出一个与E只相差一小测度集的开集和闭集。例：设E*为[0,1]中的无理数全体，试各写出一个与E*只相差一小测度集的开集和闭集。},,,{321rrrE开集:(0,1)闭集：),(]1,0[11221iiiiirrF),(11221iiiiirrG开集：闭集：空集3.可测集与集和集的关系GFGF可测集可由型集去掉一零集，或型集添上一零集得到。0)(HEmEH且F(2).若E可测，则存在型集H,使0)(EOmOE且G(1).若E可测，则存在型集O,使0)(ccEOmOEOG且，使得型0)()())(()()(cccccccEOmEHmHEmHEmHEm0)(EOmOE且0)(HEmEH且FG(1).若E可测，则存在型集O,使(2).若E可测，则存在型集H,使证明：若(1)已证明，由Ec可测可知EHF取H=Oc，则H为型集，且(1).若E可测，则存在型集O,使证明：对任意的1/n，0)(EOmOE且G1()(),1,2,3,nnmOEmGEnnnnnEGmGEG1)(且，使得开集()0mOE故OEGO型集，且为则,1nnOG令例：例：设E*为[0,1]中的无理数全体，试各写出一个与E*只相差一零测度集的型集或型集。GF设E为[0,1]中的有理数全体，试各写出一个与E只相差一零测度集的型集或型集。GF注：上面的交与并不可交换次序)),((]1,0[11112211ininiiinrrH型集：F)1,0(型集：G)),((11112211ininiiinrrO型集：G空集型集：F类似可证：证明:由外测度定义知nininiininEmIEmIEI1*1*11||},{,且使得开区间列1**111,||nninninnininiiGIGEGmEmGmIImE令则为开集，，且1nnOGOGE令，则为型集，且OE,mO=m，型集，则存在若OGREn的等测包）为（称且使得EOEmmOOE第四节不可测集存在不可测集（利用选择公理构造，教材p73;1970，R.Solovay证明不可测集存在蕴涵选择公理）存在不是Borel集的可测集（利用Cantor函数和不可测集构造）参见：《实变函数》周民强,p87