随机过程随机分析

随机分析简介§3.1随机过程的收敛性随机过程的收敛性是研究随机分析的基础，由于随机过程的不确定性，其收敛性的选择也是多种多样的，本节主要介绍均方收敛，这是因为均方收敛能简化分析、比较实用。今后，本书分析和研究问题一般都使用均方收敛概念。定义依均方收敛：考虑随机变量序列，如果存在随机变量x满足{,0,1,2}nxn2lim0nnExx则称随机变量序列xn依均方收敛于随机变量x，并记为或（m·s——是英文Mean—Square缩写）1.两个均方收敛性判据里斯—菲希尔定理：对随机变量序列构造柯西序列如果满足则必然存在一个随机变量x，使得。limnnxxmsnxx{,0,1,2}nxnnmxx2,lim0nmnmExxmsnxx洛夫准则（又称均方收敛准则）：随机变量序列均方收敛于x的充要条件是（c取常数）2.均方收敛的性质（1）如果随机变量序列均收敛于随机变量x，则有（2）均方收敛是唯一的。如果则必有x=y{,0,1,2,}nxn,lim[]nmnmExxc,0,1,2,}nxnlim{}{lim}{}nnnnExExExmsmsnnxxxy和（3）如果，则有（4）如果，a和b是任意常数，则有研究随机过程的统计变化规律，在一定条件下，有时我们也可以借助数学分析的工具建立起随机过程的收敛性、连续性、可微性、可积性等概念，进而可对随机过程的变化规律有更清楚的分析了解。这部分内容属于随机分析，这里我们只作简介。当然在此基础上，我们还可建立随机微分方程，自从伊藤1961年建立随机微分方程理论以来，随机微分方程发展很快，已渗透到各领域。msmsnnxxyy和,lim[][]nnnmExyExymsmsnnxxyy和lim()nnnaxbyaxby§3.2随机过程的连续性定义：若随机过程X(t)满足=0，则称随机过程X(t)于t时刻在均方意义下连续（简称连续）。另一方面，由定义知2lim[|()()|]tEXttXtms2()()()()()()()()()()EXttXtEXttXttXttXtXtXttXtXt(,)(,)(,)(,)XXXXRttttRtttRtttRtt20lim()()tEXttXt∴有对于右边极限式，自相关函数是的函数。欲使右边极限为零，则需，才能保证随机过程均方连续。对于左边，若随机过程均方连续，则随机过程的自相关函数，在上也处处连续。总之，若随机过程处处均方连续，则它的自相关函数所在上也处处连续，反之也成立。0lim(,)(,)(,)(,)XXXXtRttttRtttRtttRtt12,tt1212(,)XRttttt中,性质3.1若随机过程X(t)是连续的，则它的数学期望也必定连续，即：证设是一个随机变量ms0lim[()][()]tEXttEXt()()YXttXt22[][][]DYEYEY222[][][][]EYDYEYEY22[][]EYEY≥22[|()()|][()()]0EXttXtEXttXt≥≥又∵均方连续由夹挤定理知这表明求极限和求数学期望的次序可以交换，这是一个非常有用的结果，以后经常可用到。()Xt20lim[|()()|]0tEXttXt0lim[|()()]0tEXttXt00lim[()lim[()][()]ttEXttEXtEXt00lim[()][lim()][()]ttEXttEXttEXt§3.3随机过程的微分及其数学期望与相关函数1.随机过程的微分我们知道一般函数导数定义是对于一个随机过程，在一定条件下，是不是也有类似的导数定义，即：0()()limtyxxyxdyxdx0()()()lim()tXttXtdXtXttdt我们说当随机过程的所有样本函数，即的极限都存在，则可以说随机过程的导数存在，然而在随机过程中可能有某些样本函数的极限不存在，但大部分都存在，为此我们给出一个条件较弱的随机过程在均方意义下（即平均意义下）的导数存在定义。定义均方可微：如果满足下式1100()()()()lim,,lim,nnttxttxtxttxttt1(){()()}nXtxtxt()Xt20()()lim()0txttXtXtt则称在t时刻具有均方导数，记为一般函数存在导数的前提是函数必须连续，因此随机过程存在导数的前提也需要随机过程必须连续。但是，对一个随机过程要求它们所有样本函数都连续很困难，为此我们定义了所谓的均方连续，并给出随机过程的均方导数与它的相关函数关系()Xt()()dxtXtdt0()()()()limtdXtXttXtXtdtt性质3.2如果自关函数时连续，且存在二阶偏导数则随机过程在均方意义下存在导数（证明略）应当指出，随机过程有导数，首先过程必须是连续的，但随机过程的连续性不能保证过程一定有导数。1212(,)XRtttt在12212ttRtt2.随机过程的均方导数的数学期望设，由均方导数定义，有()Xt()()YxXt0()()()()limtXttXtYtXtt0()()[()][()]limtXttXtEYtEXtEt00[()()]lim[()][()]limttEXttXttEXttEXtt上式说明：随机过程的导数的数学期望等于它的数学期望的导数，且上式的量都是普通非随机函数，因此这个导数具有一般意义。0()()()limXXXtmttmtdmttdt()[()]()XYdmtEYtmtdt()Xt()Xt∵∴3.随机过程的的导数的自相关函数性质3.3如果的导数存在，则的自相关函数可表示为：()()XtYt()Xt()Yt2121212(,)(,)xYRttRtttt证1212(,)[()()]YRttEYtYt1111201()()lim()tXttXtEYtt11121201()()()()limtXttYtXtYtEt11121201[()()][()()]limtEXttYtEXtYtt11121201121(,)(,)lim(,)XYXYtXYRtttRtttRttt又∵1212(,)[()()]XYRttEXtYt2222102()()()limtXttXtEXtt21221202()()()()limtXtXttXtXtEt12212202[()()][()()]limtEXtXttEXtXtt21222102(,)(,)limXXtRtttRttt122(,)XRttt12122(,)(,)XXYRttRttt12121211221212(,)(,)(,)(,)XYXYRttRttRtttttRtttt∴∴§3.4随机过程的积分对于一个随机过程如果它的每一个时间样本函数可积，在一般意义下可理解随机过程可积，然而在实际问题中要求所有的时间样本函数都可积很困难，于是我们给出在大多数样本函数可积条件下的所谓随机过程均方可积定义。该定义类似高等数学函数可积定义：简述为，上可积，则有1(){(,),,(,),}nXtXteXte1{(),,(),}nXtXt()Xt()[,]fxab在01lim()()nbiiaxifxIfxdx01lim()0niitifxI仿此，类似可给出随机过程均方可积定义。定义随机过程均方可积：当我们把积分区间[a,b]分成n个小区间并令，当时，若则称Y为随机过程在均方意义下的积分。可表示为：注意，由随机过程均方可积定义可知其积分结果Y应为一个随机变量。maxitt0nt或201lim()0niitiYXtt01lim()()nbiiatiYXttXtdt由随机过程的均方可积定义，我们还可给出带有权函数的随机过程均方可积定义，即式中，是一个权函数，且该函数为普通函数，而积分结果是一个新的随机过程。在第二章，我们将看到，在工程上的解释可看成线性时不变系统的输出，这个输出就是输入的随机信号与系统冲激响应的卷积。由于随机过程的均方积分是一个随机变量，下面我们来更进一步讨论随机过程的积分Y的数学期望、均方值、方差和相关函数。()()(,)baYtXhtd(,)ht()Yt()baYXtdt1.随机过程积分的数学期望这表明随机过程积分的数学期望等于随机过程数学期望的积分，也就是说，积分运算与数学期望的运算次序可以互换。∵()baYXtdt∴[][()]baEYEXtdt0101lim()lim[()][()]()niitiniitibabXaEXttEXttEXtdtmtdt由式（3.10）知，对于2.随机过程积分的均方值与方差∵∴∴()()(,)baYtXhtd[()]()(,)(,)[()]bbaaEYtEXhtdhtEXd()bbYXtdt1122(),()bbaaYXtdtYXtdt21212()()bbaaYXtXtdtdt21212[][()()]bbaaEYEXtXtdtdt12121212[()()](,)bbaabbXaaEXtXtdtdtRttdtdt又∵222[][][]YDYEYEY21212[](,)()bbbXXaaaDYRttdtdtmtdt12121122(,)()()bbbbXXXaaaaRttdtdtmtdtmtdt12121212(,)()()bbbbXXXbaaaRttdtdtMtMtdtdt1212121212[(,)()()](,)bbXXXaabbXaaRttmtmtdtdtCttdtdt3.随机过程积分的相关函数我们知道随机过程的积分，即为一个随机变量，在实际问题中有时会遇到如下随机过程积分，即即所谓的变上限随机过程的积分，显然此时本身构成一个随机过程。下面我们来求Y(t)的自相关函数。∵∴()Xt()baYXtdt()()taYtXd()Yt1212(,)[()()]YRttEYtYt121200()()()()ttYtXdYtXd∴121200(,)()()ttYRttEXdXd121212000000()()[()()](,)ttttttXEXXddEXXddRdd上式表明，随机过程积分的相关函数等于随机过程相函数的二次积分。§3.5随机微分方程简介当我们用定量分析的方法来研究工程问题时，通常要建立一个微分方程，由于我们都是在一定条件下对问题进行定量分析，所以还需要给出问题的某些条件，对于微分方程，这些条件就是初始条件或边界条件。例如描述一个线性系统输入与输出关系时，可用如下微分方程及初始条件来表示：()10()(0)nnaYaYaYxtYb但考虑到随机因素的影响，如初始