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淮北师范大学2013届学士学位论文常微分方程数值解法的误差分析学院、专业数学科学学院数学与应用数学研究方向计算数学学生姓名李娜学号20091101070指导教师姓名陈昊指导教师职称讲师年月日常微分方程数值解法的误差分析李娜(淮北师范大学数学科学学院,淮北,235000)摘要自然界与工程技术中的很多现象,往往归结为常微分方程定解问题。许多偏微分方程问题也可以化为常微分方程问题来近似求解。因此,研究常微分方程的数值解法是有实际应用意义的。数值解法是一种离散化的数学方法,可以求出函数的精确解在自变量一系列离散点处的近似值。随着计算机计算能力的增强以及数值计算方法的发展,常微分方程的数值求解方法越来越多,比较成熟的有Euler法、后退Euler法、梯形方法、Runge—Kutta方法、投影法和多步法,等等.本文将对这些解的误差进行分析,以求能够得到求解常微分数值解的精度更好的方法。关键词:常微分方程,数值解法,单步法,线性多步法,局部截断误差ErrorAnalysisofNumericalMethodforSolvingtheOrdinaryDifferentialEquationLiNa(SchoolofMathematicalScience,HuaibeiNormalUniversity,Huaibei,235000)AbstractInnatureandengineeringhavemanyphenomena,definitesolutionoftheproblemoftenboilsdowntoordinarydifferentialequations.Sostudythenumericalsolutionofordinarydifferentialequationsispracticalsignificance.Thenumericalmethodisadiscretemathematicalmethods,andexactsolutionofthefunctioncanbeobtainedintheapproximationofaseriesofdiscretepointsoftheargument.Withtheenhancedcomputingpowerandthedevelopmentofnumericalmethods,ordinarydifferentialequationshavemoreandmorenumericalsolution,therearesomematuremethods.SuchasEulermethod,backwardEulermethod,trapezoidalmethod,Runge-Kuttamethod,projectionmethodandmulti-stepmethodandsoon.Therefore,numericalsolutionofdifferentialequationisofgreatpracticalsignificance.Throughthispaper,errorofthesesolutionswillbeanalyzedinordertogetatheaccuracybetterwaytosolvethenumericalsolutionofordinarydifferential.Keywords:Ordinarydifferentialequations,numericalsolutionmethods,singlestepmethods,linearmulti-stepmethods,localtruncationerror目录引言..............................................................................................................................1一、常微分方程..............................................................................................................11、定义.....................................................................................................................12、常微分方程初值问题描述.................................................................................23、数值解法的基本思想与途径.............................................................................24、数值解的分类.....................................................................................................35、问题(1)解的存在惟一性定理.............................................................................4二、几种常用的数值解法及其误差分析......................................................................41、单步法.................................................................................................................4(一)、欧拉法......................................................................................................5(二)、向后EuIer方法.......................................................................................6(三)、-法.........................................................................................................7(四)、改进欧拉法..............................................................................................7(五)Runge—Kutta方法.....................................................................................92、线性多步法.....................................................................................................14总结................................................................................................................................16参考文献:.......................................................................................................................17-1-引言自然界中很多事物的运动规律可用微分方程来刻画。常微分方程是研究自然科学和社会科学中的事物、物体和现象运动、演化和变化规律的最为基本的数学理论和方法。物理、化学、生物、工程、航空航天、医学、经济和金融领域中的许多原理和规律都可以描述成适当的常微分方程,因此,常微分方程的理论和方法不仅广泛应用于自然科学,而且越来越多的应用于社会科学的各个领域。由于该问题比较复杂且涉及的面广,使得有些问题的解析解很难求出,而对于一些典型的微分方程(如线性方程、某些特殊的一阶非线性方程等)可以运用基本方法求出其解析解,并在理论上可以根据初值问题的条件把其中的任意常数完全确定下来。然而,在生产实际和科学研究中所遇到的微分方程往往很复杂,在很多情况下都不可能给出解的解析表达式,有时即使能求出形式的解,也往往因计算量太大而不实用,而且高次代数方程求根也并不容易,所以用求解析解的方法来计算微分方程的数值解往往是不适宜的。从实际意义来讲我们更关心的是某些特定的自变量在某一个定义范围内的一系列离散点上的近似值。本文研究的主要是针对常微分方程各种数值解法的误差进行分析。一、常微分方程1、定义首先,我们在这部分给出所需的一些基本概念和基本知识。我们已经知道微分方程就是联系着自变量、未知函数以及其导数的关系式。如果在微分方程中,自变量的个数只有一个,我们称这种微分方程为常微分方程。方程22dydybcyftdtdt20dydytydtdt就是常微分方程的例子,这里y是未知函数,t是自变量。微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数称为微分方程的阶数。-2-2、常微分方程初值问题描述在自然科学和经济的许多领域中,常常会遇到一阶常微分方程的初值问题00,,dyfxyaxbyxydx(1)这里,fxy是充分光滑,即关于x或y满足李普希茨条件的二元函数,0y是给定的初值,00yxy称为初始条件。3、数值解法的基本思想与途径一阶微分方程的初值问题(1)的解yx是区间,ab上的连续变量x的函数,因而问题(1)实际上是一个连续性的问题,求这个问题的数值解,就是要求在区间,ab上的若干个离散点处的函数近似值,例如:01...nxaxxb,然后计算出解yx的近似值01,,...,nyxyxyx.一般常取01,,...,nxxx为等距离的点,即10211...nnxxxxxxh或,0,1,...,,ixaihin称h为步长。建立数值方法的第1步,就是把连续性问题(1)通过一定的方法化为在给定的1n个点上的近似的差分方程的初值问题,称这个过程为离散化。常用离散化的方法如下:(一)用差商替代导数在点ix处的导数iiyx可以近似地表示成差商1,iiiyyyxh从而把初值问题(1)化为差分问题-3-100,,0,1,...,iiiiyyfxyhinyxy(2)其中iy表示解yx在点ix处的近似解,即iiyyx。当然,用差商来近似地表示导数,方法不是唯一的,这里所用的是所谓的向前差商。(二)Taylor展开法在一点(例如点ix)的附近,yx的同次数的近似多项式中的Taylor多项式...!ppiiiihyxhyxhyxyxp为最好。其中p为一正整数。通过微分方程,yfxy,便可以逐次把各阶导数,,yy在ix处的值表示出来。(三)数值积分法对微分方程,yfxy在区间1,iixx上求积分,得11,,iixiixyxyxfxyxdx0,1,i于是,初值问题(1)便可以近似地化为1100,,0,1,.,iixiixyyfxyxdxinyxy
本文标题:常微分方程数值解法的误差分析.
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