常微分方程课件--常数变易法.

§1.4线性方程与常数变易法0)()()(xcyxbdxdyxa一阶线性微分方程的区间上可写成在0)(xa)1()()(xQyxPdxdy的连续函数在考虑的区间上是这里假设xxQxP)(),(变为则若)1(,0)(xQ)2()(yxPdxdy称为一阶齐次线性方程)2(称为一阶非齐线性方程则若)1(,0)(xQ一一阶线性微分方程的解法-----常数变易法解对应的齐次方程01()(2)dypxydx得对应齐次方程解常数变易法求解02))1(),((的解使它为的待定函数变为将常数xcxc为任意常数cdxceyxp,)(则的解为令,)1()()(dxxpexcy)1()()(xQyxPdxdydxxpdxxpexpxcedxxdcdxdy)()()()()(代入(1)得dxxpexQdxxdc)()()(积分得~)()()(cdxexQxcdxxp的通解为故)1(30)3())((~)()(cdxexQeydxxpdxxp注求(1)的通解可直接用公式(3)例1求方程1)1()1(nxxenydxdyx通解,这里为n常数解:将方程改写为nxxeyxndxdy)1(1首先,求齐次方程yxndxdy1的通解从yxndxdy1分离变量得dxxnydy111lnlncxny两边积分得故对应齐次方程通解为nxcy)1(其次应用常数变易法求非齐线性方程的通解,代入得为原方程的通解令,)1)((nxxcynxnnnxexxncxxncxdxxdc)1()1)(()1)(()1()(11即xedxxdc)(积分得~)(cexcx故通解为为任意常数~~),()1(ccexyxnndxxndxxpxccecey)1(1)(例2求方程22yxydxdy通解.解:，y的线性方程原方程不是未知函数但将它改写为yyxdydx22即yxydydx2，yx为自变量的线性方程为未知函数它是以,故其通解为))((~)()(cdyeyQexdyypdyyp))((~22cdyeyedyydyy。ccyy为任意常数),ln(~2例3求初值问题1)1(,1432yxyxdxdy的解.解:先求原方程的通解))((~)()(cdxexQeydxxpdxxp))14((~323cdxexedxxdxx)1)14((~323cdxxxx)21ln4(~23cxxx3~432lnxcxxx代入后得将初始条件1)1(y23~c故所给初值问题的通解为223ln343xxxxy)1)14((~323cdxxxx方程伯努利二)(Bernoulli形如nyxQyxpdxdy)()(的方程,称为伯努利方程.。xxQxP的连续函数为这里)(),(解法:方程变为引入变量变换,110nyz)()1()()1(xQnzxPndxdz求以上线性方程的通解02变量还原03(雅各布第一·伯努利)书中给出的伯努利数在很多地方有用,而伯努利定理Bernoulli(1654–1705)瑞士数学家,位数学家.标和极坐标下的曲率半径公式,1695年《猜度术》,则是大数定律的最早形式.年提出了著名的伯努利方程,他家祖孙三代出过十多1694年他首次给出了直角坐1713年出版了他的巨著这是组合数学与概率论史上的一件大事,此外,他对双纽线,悬链线和对数螺线都有深入的研究.例4求方程yxxydxdy222的通解.解:,1,nBernoulli方程这是代入方程得令,2yz21xzxdxdz解以上线性方程得)(121cdxexezdxxdxx321xcx:2为代入得所给方程的通解将yz3221xcxy例5R-L串联电路.,由电感L,电阻R和电源所组成的串联电路,如图所示,其中电感L,电阻R和电源的电动势E均为常数,试求当开关K合上后,电路中电流强度I与时间t之间的关系.二线性微分方程的应用举例电路的Kirchhoff第二定律:在闭合回路中,所有支路上的电压的代数和为零.则电流经过电感L,电阻R的电压降分别为,,RIdtdIL.ERIdtdIL解线性方程:解:于是由Kirchhoff第二定律,得到设当开关K合上后,电路中在时刻t的电流强度为I(t),取开关闭合时的时刻为0,.0)0(I即.LEILRdtdI得通解为:REcetItLR)(故当开关K合上后,电路中电流强度为)1()(tLReREtI,0)0(得由初始条件IREcREcetItLR)(例2湖泊的污染设一个化工厂每立方米的废水中含有3.08kg盐酸，这些废水流入一个湖泊中，废水流入的速率20立方米每小时.开始湖中有水400000立方米.河水中流入不含盐酸的水是1000立方米每小时,湖泊中混合均匀的水的流出的速率是1000立方米每小时,求该厂排污1年时,湖泊水中盐酸的含量.解:设t时刻湖泊中所含盐酸的数量为(),xt考虑[,]ttt内湖泊中盐酸的变化.()()()203.081000400000020xtxttxtttt因此有10061.6,(0)0400.0002dxxxdtt该方程有积分因子50100()exp()(40000.02)4000002tdttt两边同乘以()t后,整理得5050[(40000.02)]61.6(40000.02)dxttdt积分得50513080(40000.02)(4000.02)51txtC利用初始条件得513080(4000)51C故5030804000()[40000.024000()].5140000.02xttt(8760)223824).(kgx