常微第十讲-线性微分方程组

前面几章研究了只含一个未知函数的一阶或高阶方程，但在许多实际的问题和一些理论问题中，往往要涉及到若干个未知函数以及它们导数的方程所组成的方程组，即微分方程组.本章将介绍一阶微分方程组的一般解法，重点在线性方程组的基本理论和常系数线性方程的解法上.第三章一阶线性微分方程组本章主要内容3.1一阶微分方程组及其一般概念3.1.1一阶线性齐次方程组的一般理论3.1.2一阶线性非齐次方程组的一般理论3.2常系数线性微分方程组的解法3.3高阶线性方程3.4Laplace变换一阶微分方程组及其一般概念引言一、微分方程组的实例1.多回路的电路问题是电源电压，是电感，是电容器电容,是电阻，是通过的电流，是通过考虑如图多个回路的电路，EtLC1R2RLC1i2i的电流，求电流随时间变化的规律。～LC1R2REt1i2i1,it2it11121212220()()1()()0tdiLRiiEtdtRiiRiisdsC～LC1R2REt1i2i由基尔霍夫定律可建立以下方程组：上面方程组第二式两边对t求导得1112212122()()1()0diLRiiEtdtdididiRRidtdtdtc11112222111121212121(),().()()()diRRiiEtdtLLLdiRRcLRiiEtdtRRLRRLcRRL2.质点的空间运动已知在空间运动的质点的速度与时间t及点的坐标的关系为且质点在时刻经过点求该质点的运动轨迹.(,,)pxyz(,,)xyz123(,,,),(,,,),(,,,),xyzvftxyzvftxyzvftxyz0t000(,,),xyz(,,)xyzvvvv(),(),().xtytzt这个问题其实就是求微分方程组满足初始条件的解123(,,,),(,,,),(,,,),dxftxyzdtdyftxyzdtdzftxyzdt000000(),(),()xtxytyztz(),(),().xtytzt另外，事实上,高阶微分方程令则上式可以化为方程组()(1)(,,,,).nnyfxyyy(0)(1)121,,,,nnyyyyyyyy1121121,,(,,,,).nndyydxdyydxdyfxyyydx二、一阶微分方程组相关概念的一般形式为含有个未知函数的一阶微分方程组n1,,nyy111212(,,,),(,,,),nnnndyfxyyydxdyfxyyydx（3.1）若（3.1）中每个方程右端的函数都不显含，则方程组称为是自治的。1,,nffx微分方程组的解设在上可微，并满足恒等式则称为微分方程组(3.1)在区间的一个解。1(),,()nyxyx[,]ab1()(,(),,()),(1.2)iindyxfxyxyxindx[,]ab1(),,()nyxyx通解及通积分含有n个任意常数的方程组（3.1）的解1111(,,)(,,)nnnnyxccyxcc为（3.1）的通解.1,ncc如果隐式方程组是(3.1)的解，则称该隐式方程组为(3.1)的通积分.11212212121212(,,,,;,,,)0,(,,,,;,,,)0,(,,,,;,,,)0.nnnnnnnxyyycccxyyycccxyyyccc确定的函数组1111(,,)(,,)nnnnyxccyxcc已知(3.1)的通解或通积分,求满足初始条件为1010202000(),(),,().nnyxyyxyyxy(3.2)的解。得到关于的n个方程,如能从中解得通积分之中,就得到所求的解.12,,,nccc将(3.2)代入通解或通积分,12,,,nccc再代回通解或一阶微分方程组（3.1）的初值问题：111212(,,,),(,,,),nnnndyfxyyydxdyfxyyydx1010202000(),(),,().nnyxyyxyyxy（3.1）（3.2）对所有未知函数都是一次的，即则称此方程组为一阶线性微分方程组.如果一阶微分方程组(3.1)中的函数12(,,,,)infxyyy(1,2,,)in12,,,nyyy1111122112211222221122()()()(),()()()(),()()()().nnnnnnnnnnndyaxyaxyaxyfxdxdyaxyaxyaxyfxdxdyaxyaxyaxyfxdx（3.6）一阶线性微分方程组三、向量函数与矩阵函数为了书写方便，更为了利用代数工具研究一阶微分方程组，我们引入向量函数和矩阵函数的概念：为上的函数.()iyxn维向量函数其中分别定义为(),xY12()()(),()nyxyxxyxY11221212(,,,,)(,,,,)(,),(,,,,)nnnnfxyyyfxyyyxfxyyyFY(,)xFY[,]ab是定义在上的函数。矩阵函数nn定义为其中()xA1112121222112()()()()()()(),()()()nnnnnaxaxaxaxaxaxxaxaxaxA,()ijax[,]ab注：关于向量或矩阵的代数运算,如相加、相乘、与纯量相乘等性质对于以函数作为元素的向量或矩阵同样成立。（1）关于向量函数与矩阵函数的连续、可微、可积：如果向量函数或矩阵函数是区间I上的连续函数，则称的每个元素分别或在I上连续。()xY()xA()xY()xA如果向量函数或矩阵函数是区间I上的可微函数，则称的每个元素分别或在I上可微。()xY()xA()xY()xA如果向量函数或矩阵函数是区间I上的可积函数，则称的每个元素分别或在I上可积。()xY()xA()xY()xA且定义它们的导数和积分分别为：121()()(),()innyxyxdxyxdxyxY1112121222112()()()()()()(),()()()nijnnnnnnaxaxaxaxaxaxdxaxdxaxaxaxA00000121()()()(),()xxxxxxixxnxnxyxdxyxdxxdxyxdxyxdxY00000000000111212122212()()()()()()()().()()()xxxnxxxxxxxxnxxxijxxnnxxxnnnnxxxaxdxaxdxaxdxaxdxaxdxaxdxxdxaxdxaxdxaxdxaxdxA注：向量函数与矩阵函数的微分、积分运算和普通数值函数类似。（2）微分方程组的向量表示方程组（3.1）的向量形式为：,dxxdxYFY（3.3）自治方程组的向量形式为：dxdxYFY若记初值条件(3.2)的向量形式为：102000(),=,nyyxy其中00YYY方程（3.1）满足(3.2)’的初值问题的向量形式为：(3.2)’0(,)()dxdxx0YFYYY(3.4)()()dxxdxYAYF一阶线性非齐次方程组（矩阵形式）：（3.7）()dxdxYAY（3.7）对应的一阶线性齐次方程组：（3.8）例1:将初值问题''''28,(0)1,(0)4xyyyeyy化为用矩阵表示的方程组形式.解:'12(),()yxyyxy''''2212828xxyyyyeyye方程可化为方程组：'12'21282xyyyyye设则有令12()()()yxxyxY0()xxeF01()82xA则有'()()()()xxxxYAYF初始条件为1(0).4Y'12yy（3）向量（函数）及矩阵（函数）的范数对n维列向量1,TnyyY及矩阵()ijnnaA定义它们的范数为1,niiyY,1nijijaAnn类似地对n维列向量函数1,TnxyxyxY()ijnnxaxA定义其范数为1,niixyxY,1nijijxaxA及矩阵函数nn[,]xab性质：3.,1212YYYYABAB1.0Y且00iyY且00ijaA(1,2,,);in0A(,1,2,,);ijn2.,,YYAA对任意常数有,4.,.AYAYABAB5.()()bbaaxdxxdxYY()()bbaaxdxxdxAA（4）按范数收敛（以向量函数为例，矩阵函数类似）则称该向量序列为按范数收敛于向量序列对每一个如果有极限都是收敛的。12,(,,,)TkkkknkyyyYY(1,2,,),iin010200(,,,)TnyyyY0lim0.kkYY0limkk记为：YY数列iky由范数定义称为在区间上按范数收敛（一致收敛）于向量函数序列12,(,,,)TkkkknkxxyxyxyxYY010200(,,,)TnxyxyxyxY0xxkYY由范数定义对每一个都在(1,2,,),iin函数列ikyx[,]ab上收敛（一致收敛）。收敛（一致收敛）于零[,]ab()xF00lim()()0xxxxFF0x如果对n维向量函数则称在连续.如果对[a,b]上每一点上述极限都成立，则称在[a,b]上连续。xF()xF是向量函数级数,如果其部分和所作成的向量函数序列在区间I上收敛(一致收敛),则称在I上是收敛的(一致收敛的).设1()kkxY1()kkxY由上面的定义，对向量函数序列和向量函数级数可得到与数学分析中关于函数序列和函数级数相类似的结论。例如：判别通常的函数级数的一致收敛性的维尔斯特拉斯判别法对于向量函数级数也是成立的。即，如果而级数是收敛的，则函数向量级数在区间上是一致收敛的。(),,kkxaxbYM1kkM1()kkxYaxb积分号下取极限的定理对于向量函数也成立，这就是说，如果连续向量函数序列在上是一致收敛的，则()kxY[,]ablim()lim().bbkkaakkxdxxdxYY四、微分方程组解的存在唯一性定理定理3.1’设和在上连续,()xA()xF[,]ab则初值问题000()()(),[,]dxxdxxxabYAYFYY（3.7）在内存在惟一解.()xYY（3.2）[,]ab一阶线性微分方程组解的存在唯一性定理3.1.1一阶线性齐次方程组的一般理论本节主要研究一阶线性齐次方程组（3.8）的通解结构.为此我们首先从其解的性质入手.1．一阶线性齐次微分方程组解的性质112111()()(),()nyxyxYxyx122222()()(),......()nyxyxYxyx)()()()(21xyxyxyxYnmmmm定理3.2如果是方程组(3.8)的m个解，则mmYCYCYCY2211也是(3.8)的解，其中mCCC,,,21是任意常数.换句话说，线性齐次方程组的任何有限个解的线性组合仍为其解.(3.9)定理3.2告诉我们，一阶线性齐次微分方程组(3.8)的函数的线性相关和线性无关概念.性质，进而得到方程组(3.8)的解的结构，我们引入向量解集合