《数学分析》第十五章-傅立叶级数-1

第十五章傅立叶级数§1傅立叶级数一、问题的提出非正弦周期函数:矩形波otu11tttu0,10,1)(当当不同频率正弦波逐个叠加,7sin714,5sin514,3sin314,sin4tttttusin4)3sin31(sin4ttu)5sin513sin31(sin4tttu)7sin715sin513sin31(sin4ttttu)7sin715sin513sin31(sin4)(tttttu)0,(tt)9sin917sin715sin513sin31(sin4tttttu二、三角级数三角函数系的正交性10)sin()(nnntnAAtf1.三角级数谐波分析10)sincoscossin(nnnnntnAtnAA10)sincos(2nnnnxbnxaa,200Aa令,sinnnnAa,cosnnnAb,xt三角级数2.三角函数系的正交性,sin,cos,2sin,2cos,sin,cos,1nxnxxxxx.],[:上的积分等于零任意两个不同函数在正交,0cosnxdx,0sinnxdx三角函数系),3,2,1(n,,,0sinsinnmnmnxdxmx,,,0coscosnmnmnxdxmx.0cossinnxdxmx),2,1,(nm其中三、函数展开成傅里叶级数问题:1.若能展开,是什么?iiba,2.展开的条件是什么?1.傅里叶系数10)sincos(2)(kkkkxbkxaaxf若有.)1(0a求dxkxbkxadxadxxfkkk])sincos([2)(10,220adxxfa)(10kxdxbdxkxadxakkkksincos2110.)2(na求nxdxanxdxxfcos2cos)(0]cossincoscos[1nxdxkxbnxdxkxakkknxdxan2cos,nanxdxxfancos)(1),3,2,1(n.)3(nb求nxdxxfbnsin)(1),3,2,1(nnxdxanxdxxfsin2sin)(0]sinsinsincos[1nxdxkxbnxdxkxakkk,nb),2,1(,sin)(1),2,1,0(,cos)(1nnxdxxfbnnxdxxfann2020),2,1(,sin)(1),2,1,0(,cos)(1nnxdxxfbnnxdxxfann或傅里叶系数傅里叶级数10)sincos(2nnnnxbnxaa问题:10)sincos(2?)(nnnnxbnxaaxf条件2.狄利克雷(Dirichlet)充分条件(收敛定理)设)(xf是以2为周期的周期函数.如果它满足条件:在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点,并且至多只有有限个极值点,则)(xf的傅里叶级数收敛,并且(1)当x是)(xf的连续点时,级数收敛于)(xf;(2)当x是)(xf的间断点时,收敛于2)0()0(xfxf;(3)当x为端点x时,收敛于2)0()0(ff.注意:函数展开成傅里叶级数的条件比展开成幂级数的条件低的多.解例1以2为周期的矩形脉冲的波形tEtEtumm,0,)(将其展开为傅立叶级数.otumEmE所给函数满足狄利克雷充分条件..),2,1,0(处不连续在点kkt2mmEE收敛于2)(mmEE,0).(,tukt收敛于时当和函数图象为otumEmEntdttuancos)(100cos1cos)(1ntdtEntdtEmm),2,1,0(0nntdttubnsin)(100sin1sin)(1ntdtEntdtEmm)cos1(2nnEm])1(1[2nmnE,2,1,2,0,2,1,12,)12(4kknkknkEm1)12sin()12(4)(nmtnnEtu),2,,0;(tt所求函数的傅氏展开式为注意:对于非周期函数,如果函数只在区间上有定义,并且满足狄氏充分条件,也可展开成傅氏级数.)(xf],[作法:),()()()2(xfxFT周期延拓)]0()0([21ff端点处收敛于例2将函数xxxxxf0,0,)(展开为傅立叶级数.解所给函数满足狄利克雷充分条件.拓广的周期函数的傅氏级数展开式在收敛于.)(xf],[xy022nxdxxfancos)(100cos1cos)(1nxdxxnxdxx)1(cos22nn]1)1[(22nndxxfa)(10001)(1xdxdxx,,2,1,2,0,2,1,12,)12(42kknkknknxdxxfbnsin)(100sin1sin)(1nxdxxnxdxx,012)12cos()12(142)(nxnnxf)(x所求函数的傅氏展开式为),3,2,1(n利用傅氏展开式求级数的和,)12cos()12(142)(12nxnnxf,0)0(,0fx时当222513118,4131211222设),8(513112221,6141212222,41312112223,44212,24321221,62132.122为周期的连续函数，且是以设2)(xf10)sincos(2)(nnnnxbnxaaxf可逐项积分，试证明：,)(2)(1122202nnnbaadxxf.)(,的傅立叶系数为其中xfbann证10)sincos(2)(nnnnxbnxaaxf102]sin)(cos)([)(2)(nnnnxxfbnxxfaxfaxf例3可逐项积分，)(xfdxxfa)(20dxxf)(21]sin)(cos)([nnnnxdxxfbnxdxxfadxxfa)(201]sin)(cos)([nnnnxdxxfbnxdxxfa0ananb,)(2)(122202nnnbaadxxf结论可证.播放1.基本概念；2.傅里叶系数；3.狄利克雷充分条件；4.非周期函数的傅氏展开式；5.傅氏级数的意义——整体逼近四、小结思考题若函数)()(xx，问：)(x与)(x的傅里叶系数na、nb与n、n),2,1,0(n之间有何关系？思考题解答nxdxxancos)(1)()cos()(1tdnttnxdxxcos)(1nxdxxcos)(1n),2,1,0(nnxdxxbnsin)(1)()sin()(1tdnttnxdxxsin)(1nxdxxsin)(1n),2,1(n,nna.nnb一、设周期为2的周期函数)(xf在),[上的表达式为)0(0,0,)(baxaxxbxxf常数试将其展开成傅里叶级数.二、将下列函数)(xf展开成傅里叶级数:1、xxexfx0,10,)(；2、)sin(arcsin)(xxf.练习题一、)(4)(baxf112sin)()1(cos)]()1(1[nnnnxnbanxnab),2,1,0,)12((nnx.二、1、nxneexfnncos]1)1(1[121)(12nxnnennnnsin])1(11)1([112(x).练习题答案2、),(sin2)1()(11nxnxfnn.(提示:xxxxf,)sin(arcsin)()