成考高考专科数学课件5数列

第5讲数列1．了解数列及其通项、前n项和的概念。2．理解等差数列、等差中项的概念，会（灵活）运用等差数列的通项公式、前n项和公式解决有关问题。3．理解等比数列、等比中项的概念，会（灵活）运用等比数列的通项公式、前n项和公式解决有关问题。考纲要求1．等差数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于，那么这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的，通常用表示，其符号语言为：(n≥2，d为常数)．基础知识梳理同一个常数an－an－1＝d公差d2．等差数列的通项公式若等差数列{an}的首项为a1，公差是d，则其通项公式为.基础知识梳理an＝a1＋(n－1)d3．等差中项如果三个数a，A，b成，则A叫做a和b的等差中项，且有A＝.基础知识梳理等差数列a＋b24．等差数列的前n项和公式Sn＝＝.基础知识梳理n(a1＋an)2na1＋n(n－1)2dSn的推导过程定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，记为q(q≠0).数学语言：*11(2N).nnnnaqnnaaqa且或等比数列等比数列的通项公式其中，a1与q均不为0。由于当n=1时左边等式两边均为a1，即等式也成立，说明上面公式当n∈N*时都成立，因此它就是等比数列｛an｝的通项公式。an=a1qn-1所以an=a1qn-1a2=a1qa3=a2q=a1q2a4=a3q=a1q3…1.不完全归纳法等比数列前n项和推导过程①-②……①……②等差数列的基本运算1．等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d及前n项和公式Sn＝n(a1＋an)2＝na1＋n(n－1)2d，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题．2．数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法．等差数列的基本运算已知数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和．(1)若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq.若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap.(2)am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等差数列，公差为kd.等差数列的性质(3)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列．(4)S2n－1＝(2n－1)an.若n为奇数，则S奇－S偶＝a中(中间项)．(6)数列{c·an}，{c＋an}，{pan＋qbn}也是等差数列，其中c、p、q均为常数，{bn}是等差数列．(5)若n为偶数，则S偶－S奇＝n2d.等差数列的性质等比数列的性质.,1mnmnnmnqaaqaaa，则且公比为中任意两项，为等比数列：设性质.,,,,2tsnmnaaaatsnmNtsnma则若，为等比数列，且：设数列性质.,22snmaaasnm则若性质3：在等比数列中，序号成等差数列的项依原序构成的新数列是等比数列。一、填空：1、（2008年）等比数列{}中，，，则2、（2007年）设等比数列{}的各项都是正数，若，，则公比3、（2006年）在等差数列{}中，，，则na26a424a6_______ana31a59a_______qna31a57a7_______a963-154、（2004年）在等差数列{}中；若，则二、解答题。（2008年）1、已知等差数列{}中，，（1）求数列{}的通项公式；（2）当n为何值时，数列{}的前n项和Sn取得最大值，并求该最大值。（2008年）na59a1539a10_______ananana19a380aa24解：即2、（2006年）已知等比数列{}中，，公比（1）求数列{}的通项公式；（2）数列{}的前n项和Sn=124，求n的值。nanana316a12q3、（2007年）已知数列{}的前n项和Sn=n(2n+1)（1）求该数列的通项公式；（2）判断39是该数列的第几项.na4、已知等比数列{}的各项都是正数，，前3项的和为14（1）求数列{}的通项公式；（2）设，求数列{}的前20项和（2005年第22题）5、（1）设{}为等差数列，且公差d为正数，已知，又，，成等比数列，求和d（2004年第23题）（2）数列{}的通项公式为，求前n项和Sn（2004年第20题）nanana12a2lognnbana23415aaa2a31a4a1ana22nnan概率与初步统计一．排列、组合1．了解分类计算原理和分步计数原理2．了解（理解）排列、组合的意义，会应用（掌握）排列数、组合数的计算公式。3．会解排列、组合的简单应用题。4．了解二项式定理，会应用二项展开式的性质和通项公式解决简单问题。（理科）考纲要求二．概率与统计1．了解随机事件及其概率的意义。2．了解等可能事件的概率的意义，会用计数方法和排列组合基本公式计算一些等可能事件的概率。3．了解互斥事件的意义，会应用互斥时间的概率加法公式计算一些事件的概率。4．了解相互独立事件的意义，会用相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率。考纲要求5．会计算事件在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率。6．了解离散型随机变量及其期望的含义，会根据离散型随机变量的分布列求出期望值。（理科）7．了解总体和样本的概念，会计算样本平均数和样本方差。考纲要求一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．排列与组合的概念有什么共同点与不同点？组合定义:一．排列、组合组合定义:一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．排列定义:一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.共同点:都要“从n个不同元素中任取m个元素”不同点:排列与元素的顺序有关，而组合则与元素的顺序无关.思考一:ab与ba是相同的排列还是相同的组合?为什么?思考二:两个相同的排列有什么特点?两个相同的组合呢?１）元素相同；２）元素排列顺序相同.元素相同概念理解构造排列分成两步完成，先取后排；而构造组合就是其中一个步骤.思考三:组合与排列有联系吗?判断下列问题是组合问题还是排列问题?(1)设集合A={a,b,c,d,e}，则集合A的含有3个元素的子集有多少个?组合问题(2)10名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组,共有多少种分法?组合问题(4)从4个风景点中选出2个,并确定这2个风景点的游览顺序,有多少种不同的方法?排列问题组合是选择的结果，排列是选择后再排序的结果.从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表示.mnC233C246C如:从a,b,c三个不同的元素中取出两个元素的所有组合个数是:如:已知4个元素a、b、c、d,写出每次取出两个元素的所有组合个数是：组合数:注意：是一个数，应该把它与“组合”区别开来．mnC从n个不同元素中取出m个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列数，记作排列数:注意：是一个数，应该把它与“排列”区别开来．mnAmnA1.排列数公式:2.组合数公式:)!(!)1()2)(1(mnnmnnnnAmn排列与组合的区别与联系:与顺序有关的为排列问题,与顺序无关的为组合问题.)!(!!!)1()2)(1(mnmnmmnnnnAACmmmnmn组合数公式:(1)(2)(1)!mmnnmmAnnnnmCAm从n个不同元中取出m个元素的排列数mmmnmnCAA!!()!mnnCmnm01.nC我们规定：概念讲解练习按下列条件，从12人中选出5人，有多少种不同选法？（1）甲、乙、丙三人必须当选；（2）甲、乙、丙三人不能当选；（3）甲必须当选，乙、丙不能当选；（4）甲、乙、丙三人只有一人当选；（5）甲、乙、丙三人至多2人当选；（6）甲、乙、丙三人至少1人当选；323936CC0539126CC1419126CC1439378CC231405393939(5)756CCCCCC方法一：5321239756CCC方法二：322314393939(6)666CCCCCC方法一：5051239666CCC方法二：例2.7人排成一排.甲、乙两人不相邻，有多少种不同的排法？♀♀♀♀♀解：分两步进行：种不同的排法有225566PPP♀♀几个元素不能相邻时,先排一般元素，再让特殊元素插孔.第1步，把除甲乙外的一般人排列：55A有=120种排法第2步，将甲乙分别插入到不同的间隙或两端中(插孔)：26A有=30种插入法120303600共有＝种排法↑↑↑↑↑↑解决一些不相邻问题时，可以先排“一般”元素然后插入“特殊”元素，使问题得以解决.1.插空法：相邻元素的排列，可以采用“局部到整体”的排法，即将相邻的元素局部排列当成“一个”元素，然后再进行整体排列.2.捆绑法例3.6人排成一排.甲、乙两人必须相邻,有多少种不的排法?♀♀♀♀♀♀解：（1）分两步进行：甲乙第一步，把甲乙排列(捆绑)：55A有＝120种排法第二步，甲乙两个人的梱看作一个元素与其它的排队：22A有＝2种捆法2120240共有＝种排法种不同的排法有225566PPP♀♀几个元素必须相邻时,先捆绑成一个元素，再与其它的进行排列.二项展开式定理右边的多项式叫做(a+b)n的二项展开式其中Cnran-rbr叫做二项展开式的通项，记作Tr+1Cnr叫做二项式系数.一般地，对于nN*，有：011222()nnnnrnrrnnnnnnnabCaCabCabCabCb二项展开式的特点:①项数：共n＋1项②指数：a按降幂排列，b按升幂排列，每一项中a、b的指数和为n③系数:第r＋1项的二项式系数为(r＝0,1,2,…，n）rnC一、排列与组合1某学生从6门课程中选修3门，其中甲、乙两门课程至少选修一门，则不同的选课方案共有__________（2008年理科选择题第17题）2、在一次共有20人参加的老同学聚会上，如果每两人握手一次，那么这次聚会共握手（2007年选择题第16题）190220C122412CC3、4个人排成一行，其中甲、乙总排在一起，则不同的排法共有种。（2006年）4、从4本不同的书中任意选出2本，不同的选法共有种。（2005年)624C122322AA