1.2.1正、余弦定理应用举例

第1课时解三角形应用举例—距离问题1.熟练掌握正、余弦定理．2．能够应用正、余弦定理等知识和方法求解距离问题.1.方位角：从指北方向顺时针转到目标方向的水平角．如图(1)所示．2．方向角：相对于某一正方向(东、西、南、北)的水平角．①北偏东α°，即由指北方向顺时针旋转α°到达目标方向，如图(2)．②北偏西α°，即是由指北方向逆时针旋转α°到达目标方向．其它方向角类似．3．在测量上，我们根据测量的需要适当确定的线段叫做基线．一般来说，基线越长，测量的精确度越高.1.解三角形应用题的基本思路．实际问题――→画图抽象数学问题―――→解三角形数学问题的解――→检验实际问题的解．解三角形应用问题的一般步骤：1°准确理解题意，分清已知与所求；2°根据题意画出示意图：将已知条件在图中注明；3°建立数学模型，合理运用正弦定理、余弦定理等三角形知识正确求解，并作答．其中第3°步是最关键的环节．2．测量距离问题的两种类型(1)如右图，你所在点A，不可到达点B，欲测得AB长度，可再取可到达点C，构造△ABC，我们可测出∠BAC与∠BCA及AC.于是，由正弦定理可求AB的长．(2)如右图欲测BC的长，选取你可到点A，由于AB、AC均不可直接测得，由(1)可知，只要再取点D，即可获得AB、AC的长，∠BAC可测，从而得到BC，也可先求得BD、CD，再在△BCD中用余弦定理求得BC.可达到的两点间的距离问题(1)画出示意图，并将已知条件在图形中标出；(2)分析与所研究的问题有关的一个或几个三角形，通过合理运用正弦定理和余弦定理正确求解，并作答．例1(2010·陕西高考)在△ABC中，已知B＝45°，D是BC边上的一点，AD＝10，AC＝14，DC＝6，求AB的长．[分析]画图分析→解三角形ADC，求∠ADC，进而求∠ADB→在△ABD中，求AB的长[解]在△ABC中，AD＝10，AC＝14，DC＝6.由余弦定理得cos∠ADC＝AD2＋DC2－AC22AD·DC＝100＋36－1962×10×6＝－12，∴∠ADC＝120°，∠ADB＝60°，在△ABD中，由正弦定理得ABsin∠ADB＝ADsinB，∴AB＝sin∠ADBsinB·AD＝10sin60°sin45°＝56.变式训练1某观测站C在城A的南偏西20°的方向，由城A出发的一条公路，走向是南偏东40°.在C处测得公路上距C为31km的B处有一人正沿公路向A城走去，走了20km后到达D处，此时CD间的距离为21km，则这人还要走多远才可到达A城？[解]如图所示，假设∠ACD＝α，∠CDB＝β，在△CBD中，由余弦定理得cosβ＝BD2＋CD2－CB22BD·CD＝202＋212－3122×20×21＝－17.则sinβ＝437.而sinα＝sin(β－60°)＝sinβcos60°－cosβsin60°＝437×12＋17×32＝5314.在△ACD中，由正弦定理得AD＝21·sinαsin60°＝15(km)，即此人再走15km就到达A城.两点间有一点不可达到的距离问题例2如图所示，海中小岛A周围38海里内有暗礁，一船正向南航行，在B处测得小岛A在船的南偏东30°，航行30海里后，在C处测得小岛在船的南偏东45°，如果此船不改变航向，继续向南航行，有无触礁的危险？[解]船继续向南航行，有无触礁的危险，取决于A到直线BC的距离与38海里的大小，于是我们只要先求出AC或AB的大小，再计算出A到BC的距离，将它与38海里比较大小即可．在△ABC中，BC＝30，B＝30°，∠ACB＝135°，∴∠BAC＝15°，由正弦定理BCsinA＝ACsinB，即：30sin15°＝ACsin30°，∴AC＝60cos15°＝60cos(45°－30°)＝60(cos45°cos30°＋sin45°sin30°)＝15(6＋2)，∴A到BC的距离为d＝ACsin45°＝15(3＋1)≈40.98海里38海里，所以继续向南航行，没有触礁危险．变式训练2在一个很大的湖边(可视湖岸为直线)停放着一只小船，由于缆绳突然断开，小船被风刮跑，其方向与河岸成15°角，速度为2.5km/h，同时岸上一人从同一地点开始追小船，已知他在岸上跑的速度为4km/h，水中游的速度为2km/h，问此人能否追上小船？若小船速度改变，则小船能被追上的最大速度是多少？[解]如右图，设船速度为vkm/h，追上所用时间为t，人在岸上跑的时间为kt(0k1)，在△ABC中，AC＝vt，AB＝4kt，BC＝2(1－k)t，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos15°，即12k2－[2(6＋2)v－8]k＋v2－4＝0.由Δ≥0得，v≤22或v≥2(6＋2)．依题意，0v4，∴0v≤22.∵02.522，故此人能追上小船，若小船速度改变，则小船能被追上的最大速度是22km/h.两点都不能到达的两点间距离测量两个不可到达的点之间的距离问题，一般是把求距离问题转化为应用余弦定理求三角形的边长的问题．然后把求未知的另外边长问题转化为只有一点不能到达的两点距离测量问题，然后运用正弦定理解决．例3隔河可以看见对岸两目标A、B，但不能到达，在岸边选择相距3km的C、D两点，并测得∠DCB＝45°，∠BDC＝75°，∠ADC＝30°，∠ACD＝120°(A、B、C、D在同一平面内)，求两目标A、B之间的距离．[分析]分别在△BCD和△ACD中利用正弦定理求出BD和AD，然后在△ADB中利用余弦定理求出AB.[解]在△BCD中，因为∠DCB＝45°，∠BDC＝75°，所以∠DBC＝60°，又CD＝3，由正弦定理得BD＝3sin45°sin60°＝2，在△ACD中同理可求得AD＝3，在△ABD中，由余弦定理得，AB＝22＋32－2×3×2cos75°－30°＝5(km)．答：A、B两点间的距离为5km.变式训练3如下图，为了测量河宽，在岸的一边选定两点A、B，望对岸的标记物C，测得∠CAB＝45°，∠CBA＝75°，AB＝120米，则河宽为________米．[解析]在△ABC中，∵∠CAB＝45°，∠ABC＝75°，∴∠ACB＝60°，由正弦定理可得AC＝AB·sin∠ABCsin∠ACB＝120×sin75°sin60°＝20(32＋6)，设C到AB的距离为CD，则CD＝ACsin∠CAB＝20(32＋6)sin45°＝20(3＋3)，∴河的宽度为20(3＋3)米．[答案]20(3＋3)教师备选例题例4(2009·辽宁高考)如图，A，B，C，D都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D为两岛上的两座灯塔的塔顶．测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°，30°，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°，AC＝0.1km.试探究图中B，D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B，D的距离(计算结果精确到0.01km，2≈1.414，6≈2.449)．[分析]由题意得∠DAC＝∠ADC→AC＝CD→BD＝BA→由正弦定理求出AB，即BD[解]在△ABC中，∠DAC＝30°，∠ADC＝60°－∠DAC＝30°，所以CD＝AC＝0.1，又∠BCD＝180°－60°－60°＝60°，故CB是△CAD底边AD的中垂线，所以BD＝BA，在△ABC中，∠ABC＝75°－60°＝15°，ABsin∠BCA＝ACsin∠ABC，即AB＝ACsin60°sin15°＝32＋620，因此，BD＝32＋620≈0.33(km)．答：B，D的距离约为0.33km.1.已知A、B两地相距10km，B、C两地相距20km，且∠ABC＝120°，则A、C两地相距()A．10kmB．103kmC．105kmD．107km[解析]AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos120°＝700，∴AC＝107km.[答案]D2．如图所示，在河岸AC测量河的宽度BC，测量下列四组数据中，较适宜的是()A．c与aB．c与bC．c与βD．b与α[解析]在a，b，c，α，β五个量中，a，c，β不易测量，故选D.[答案]D3．海上有A、B两个小岛相距10nmile，从A岛望C岛与B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，那么B岛与C岛之间的距离为________nmile.[解析]画出示意图，易得C＝45°，由正弦定理10sin45°＝BCsin60°，∴BC＝56.[答案]564．一艘船以4km/h的速度沿着与水流方向成120°的方向航行，已知河水流速为2km/h，则经过3h，该船实际航程为________．[解析]如图所示，在△ACD中，AC＝23，CD＝43，∠ACD＝60°，∴AD2＝12＋48－2×23×43×12＝36.∴AD＝6.即该船实际航程为6km.[答案]6km5．如图，货轮在海上以40km/h的速度沿140°方位角航行，为了确定船位，船在B点观察灯塔A点的方位角为110°，航行半小时后到达C点，观察A的方位角为65°，则货轮到达C点时与灯塔A的距离是多少？[解]在△ABC中，BC＝40×12＝20(km)．∠ABC＝30°，∠ACB＝(180°－140°)＋65°＝105°，∴∠A＝180°－(30°＋105°)＝45°.由正弦定理可知AC＝BCsin∠ABCsinA＝20sin30°sin45°＝102(km)．答：货轮到达C点时与灯塔A的距离为102km.一、选择题1．如图，为了测量某障碍物两侧A、B间的距离，给定下列四组数据，测量时应当用数据()A．α、a、bB．α、β、aC．a、b、γD．α、β、b[解析]要测AB.由余弦定理可知，需测出b、a、γ.[答案]C2．学校体育馆的人字形屋架为等腰三角形，如图，测得AC的长度为4m，A＝30°，则其跨度AB的长为()A．12mB．8mC．33mD．43m[解析]由于△ABC为等腰三角形，所以AB＝2×4×cos30°＝43m.[答案]D3．某观察站C与两灯塔A、B的距离分别为300米和500米，测得灯塔A在观察站C北偏东30°，灯塔B在观察站C正西方向，则两灯塔A、B间的距离为()A．500米B．600米C．700米D．800米[解析]如图，由题意知，∠ACB＝120°，∴AB2＝3002＋5002＋2×300×500×12＝490000，∴AB＝700米．[答案]C4．甲船在岛B的正南A处，AB＝10千米．甲船以每小时4千米的速度向北航行，同时，乙船自B出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向驶去．当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间是()A.1507分钟B.157小时C．21.5分钟D．2.15分钟[解析]如图设航行x小时，甲船航行到C处，乙船航行到D处，在△BCD中，BC＝10－4x，BD＝6x，∠CBD＝120°，两船相距Skm，根据余弦定理可得，DC2＝BD2＋BC2－2BC·BDcos∠DBC＝(6x)2＋(10－4x)2－2×6x(10－4x)·cos120°，即S2＝28x2－20x＋100＝28(x－2056)2＋100－(2056)2，所以当x＝2056＝514时，S2最小，从而S也最小，即航行514小时，即514×60＝1507分钟两船相距最近．故选A.[答案]A二、填空题5．某人从A处出发，沿北偏东60°行走33公里到B处，再沿正东方向行走2公里到C处，则AC两地距离为________公里．[解析]如右图所示，由题意可知，AB＝33，BC＝2，∠ABC＝150°.由余弦定理得AC2＝27＋4－2×33×2·cos150°＝49，AC＝7.则A、C两地距离为7公里．[答案]76．一船以10海里/小时的速度向正北航行，在某时刻看见正西方有两个灯塔A、B，恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一座灯塔在船的南偏西75°，则这两个灯塔间的距离是________海里．[解析]如图，根据题意可得CD＝5，∠BDC＝60°，∠ADC＝75°，∠ACD＝90°，在△BCD中BD＝DCcos∠BDC＝5cos60°＝10，