5.1-5.2 插值型求积公式

第五章数值积分方法插值型求积公式复合梯形公式其它复合求积公式数值积分公式的代数精度与高斯求积公式求积公式的蒙特卡罗方法在数学分析中，我们学习过微积分基本定理Newton-Leibniz公式：其中，()Fx是被积函数()fx的原函数。随着学习的不断深化，发现Newton-Leibniz公式有很大的局限性。babaaFbFxFdxxf)()()()(首先，遇到的是一类被积函数()fx没有初等函数有限形式的原函数，如等正态分布函数；椭圆周长dxedaLx102022sin14其次，被积函数()fx由表格形式给出，没有解析形式，也无法使用Newton-Leibniz公式；第三，常常()fx本身形式并不复杂，而原函数()Fx推导十分冗长，且表达式复杂，给计算结果带来十分不便。为克服上述许多缺点，定积分计算的数值求解能弥补上述不足，并可带来满意的结果。积分数值算法的思想是，首先求被积函数()fx的一个逼近函数()px，即()()()fxpxrx=+，这里()rx为误差函数。然后可得babadxxpdxxf)()(5.1.1插值型求积公式§5.1插值型求积公式已知函数个互不相同的点处的函数值，1)(nxfy在nixfyii,,1,0),(niinijjjijiniinyxxxxyxlxLxf000)133()()()(可得拉格朗日插值函数对上式两端积分，得iniibabaydxxldxxf])([)(0令baiinidxxlA)2,1,0()(则有数值求积公式)2.5()()(0iniibaxfAdxxf这是用插值函数代替被积函数导出的定积分近似计算公式，称为插值型数值积分公式．它是被积函数的有限个函数值的线性组合，组合系数恰好是拉格朗日插值基函数的积分．用数值积分公式求定积分的值不需要求被积函数的原函数，但是数值计算结果明显带有误差，误差可以根据插值多项式的积分得到。5.1.2梯形公式)63()()()(10100101xfxxxxxfxxxxxf()yfx=首先，我们考察一种简单情况。设有节点,由线性插值公式,有bxax10,对上式两端积分，得),()(12][][)]()([2))()((21)]()([)(''3''bafabfRfRbfafabdxbxaxfdxbfabaxafbabxdxxfTTbababa）（其中)3.5()]()([2)(bfafabdxxfba所以----梯形公式梯形公式的几何意义y=P1()直边梯形代替曲边梯形y=f()称梯形公式y05.1.3辛卜生(Simpson)公式()yfx=我们考察三个节点的情况。设有节点,由抛物线公式,有bxbaxax210,2,对上式两端积分，得)93())(())(())(())(())(())(()(212021012101200201021yxxxxxxxxyxxxxxxxxyxxxxxxxxxf),()(2880][][)]()2(4)([6))(2)()((61)](22)2(22)(22[)()4(5'''bafabfRfRbfbafafabdxbxbaxaxfdxbfbabbaxabaxbafbbabxabaaxafbabxbaabaxdxxfssbababa）（其中所以----辛卜生公式)6.5())()2(4)((6)(bfbafafabdxxfba辛卜生公式的几何意义ab(a+b)/2例题;4469.0)21231411(61;57.011212169314718.02ln112121ISimpsonIdxxILeibnizNewtondxxI公式由）（由梯形公式公式得解：由。计算5.2.1定步长复合梯形求积公式§5.2复合梯形公式当积分区间较大时，前两种数值求积公式的误差也会很大。为减少误差，可以考虑增加节点，但用高次多项式插值导出的公式稳定性不好。所以可以考虑用分段插值函数来代替被积函数。一般地将[a,b]区间n等分，令))()((2),...2,1(],[11jjjjjxfxfhSnjxx使用梯形公式有对每个子区间),...2,1,0(,njjhaxnabhj],[)(1hfRSdxxfTbanjj则)())()(2)((2))()(2)((2))()(...)()()()((2))()((211111211111hTbfjhafafhbfxfafhbfxfxfxfxfafhxfxfhSnnjnjjnnjjjnjj而而njjjjjnjjTfnfbabaxfxxfhhfR1''''11''3)(1)(,],[)(),()(12],[）使得（一点则必存在区间上的二阶连续函数是若)(12)()(12],[''23''3fnabnfhhfRT故定积分即复合梯形公式收敛于时当,0],[,hfＲnＴ))()(2)((2)(11njbabfjhafafhdxxf----复合梯形公式定步长复化梯形求积公式算法ShSSnjjhafSSbfafSnabhhTnban输出计算输入.3)3(;,...2,1)()2(;2)()(;)1()(.2;,,.1多少？至少取试问划分数要使得截断误差不超过算如果用复化梯形公式计对于定积分例nxdxI5201021,sin254102196sin)2(24],[)(sin)2(1202)(12)(],[5232''2''2nnnhfRnfhabhfRTT解得即解：由截断误差有定步长复化求积公式的一个明显缺点是：事先很难估计分划数n使结果达到预期精度。由于适当加密分点，精度会有所改善，为此采用自动加密分点的方法，并利用事后估计来控制加密次数，以判断是否达到预期精度，从而停止计算。首先我们讨论变步长梯形求积公式。5.2.1变步长梯形求积公式设区间[],ab划分为n等分，即步长bahn-=，计算()nTh：然后将区间[],ab分点加密一倍，即步长缩小一半为2h，再计算出22()nhT。如果)()2(2hThTnn则取S=22()nhT作为定积分的近似值。已知()nTh，如何计算22()nhT且计算量小？jjjxxx211因为)2(22211jjjjfffhS问题所以}2)({41211112njjnjjjnjjnfffhST))()((21})(2{2112111hHhTfhffhnnnjjnjjj其中))21(()(1hjafhhHnjn变步长梯形求积算法);(21)2();)21(()1()(.3;2))()((;;1)(.2;,,,.112121nnjnnnHTThjafhHhTbfafhTabhnhTMba计算计算输入3;;2;2.6thenif.5;thenif.421212返回计算；输出划分数过大，停止输出TThhnnMnTTT