第三章 流体力学基本方程组-1

2020/2/101第三章流体力学基本方向组2020/2/102流体运动学研究流体的运动规律，如速度、加速度等运动参数的变化规律，而流体动力学则研究流体在外力作用下的运动规律，即流体的运动参数与所受力之间的关系。本章主要介绍流体运动学和流体动力学的基本知识，推导出流体动力学中的几个重要的基本方程：连续性方程、动量方程和能量方程，这些方程是分析流体流动问题的基础。2020/2/103第一节流体流动的连续性方程连续性方程是质量守恒定律在流体力学中的应用。我们认为流体是连续介质，它在流动时连续地充满整个流场。在这个前提下，当研究流体经过流场中某一任意指定的空间封闭曲面时，可以断定：若在某一定时间内，流出的流体质量和流入的流体质量不相等时，则这封闭曲面内一定会有流体密度的变化，以便使流体仍然充满整个封闭曲面内的空间；如果流体是不可压缩的，则流出的流体质量必然等于流入的流体质量。上述结论可以用数学分析表达成微分方程，称为连续性方程。2020/2/104一、直角坐标系下连续性微分方程式设在流场中任取一个微元平行六面体，其边长分别为dx、dy和dz，如图3-1所示。假设微元平行六面体形心的坐标为x、y、z，在某一瞬时t经过形心的流体质点沿各坐标轴的速度分量为u、v、w，流体的密度为ρ。现讨论流体经六面体各面的流动情况。图3-1流场中的微元平行六面体2020/2/105一、直角坐标系下连续性微分方程式先分析x轴方向，已知u和ρ都是坐标和时间的连续函数，即u=u(x，y，z，t)和ρ=ρ(x，y，z，t)。根据泰勒级数展开式，略去高于一阶的无穷小量，得在dt时间内，沿轴方向从左边微元面积dydz流入的流体质量为图3-1流场中的微元平行六面体2020/2/106图3-1流场中的微元平行六面体2020/2/107tzytzyxxutzyxxddd,,,2d,,,2dtzyxtuuxttzyxtutzyxuxttzyxddd2d2dddd2d),,,(2d),,,(2020/2/108•同理可得在dt时间内从右边微元面积dydz流出的流体质量为•(3-1)上述两者之差为在dt时间内沿x轴方向流体质量的变化，即(3-2)tzyxtuuxtddd2d2dtzyxuxtzyxxuxxudddd)(ddddd2020/2/109同理可得，在dt时间内沿y轴和z轴方向流体质量的变化分别为：因此，在dt时间内经过微元六面体的流体质量总变化为(3-3)tzyxvydddd)(tzyxwzdddd)(tzyxzwyvxudddd2020/2/1010由于流体是作为连续介质来研究的，所以式(3-3)所表示的六面体内流体质量的总变化，唯一的可能是因为六面体内流体密度的变化而引起的。因此式(3-3)应和由于流体密度的变化而产生的六面体内的流体质量变化相等。设开始瞬时流体的密度为ρ，经过dt时间后的密度为ttttzyxd)d,,,(2020/2/1011则可求出在dt时间内，六面体内因密度的变化而引起的质量变化为(3-4)根据连续性条件，式(3-4)和式(3-3)应相等，经简化得到(3-5)式（3-5）为可压缩流体非定常三维流动的连续性方程。tzyxtzyxzyxttddddddddddd0zwyvxuttzyxttzyxzwyvxudddddddd2020/2/1012若流体是定常流动，则，上式成为(3-6)式（3-6）为可压缩流体定常三维流动的连续性方程。0t0zwyvxu2020/2/1013对不可压缩均质流体，ρ为常数，故式(3-6)成为(3-7)式（3-7）为不可压缩流体定常三维流动的连续性的方程。它的物理意义是：在同一时间内通过流场中任一封闭表面的体积流量等于零，也就是说，在同一时间内流入的体积流量与流出的体积流量相等。0zwyvxu0divV2020/2/1014在流体力学中时常讨论所谓平面（二维）流动，即平行任何一个坐标平面的流动。若这种流动的流动参数（如速度、压强）只沿x、y两个坐标轴方向发生变化，则式（3-7）可以写成(3-8)由于在推导上述连续性方程时，没有涉及作用力的问题，所以不论是对理想流体还是实际流体都是适用的。0yvxu2020/2/1015二、微元流束和总流的连续性方程在工程上和自然界中，流体流动多数都是在某些周界所限定的空间内沿某一方向流动，即一维流动的问题，所谓一维流动是指流动参数仅在一个方向上有显著的变化，而在其它两个方向上的变化非常微小，可忽略不计。例如在管道中流动的流体就符合这个条件。在流场中取一微元流束(图3-1)。假定流体的运动是连续的、定常的，则微元流管的形状不随时间而改变。又根据流管的特性，流体质点不能穿过流管表面，因此在单位时间内通过微元流管的任一有效截面的流体质量都应相等，即ρ1V1dA1=ρ2V2dA2=ρVdA=常数（3-9）式中dA1、dA2—分别为1、2两个有效截面的面积，m2；2020/2/1016图3-1流场中的微元流束2020/2/1017V1、V2—分别为dA1和dA2上的流速，也称为真实流速，m/s；ρ1、ρ2—分别为和处的流体密度，kg/m3。对于由无限多微元流束所组成的总流（例如流体在管道中的流动），可对式（3-30）进行积分得（3-10）式中A1和A2—分别为总流1和2两个有效截面的面积，m2。式（3-9）为一维流动积分形式总流的连续性方程。设和是总流两个有效截面l和2上的平均流速，则式（3-9）可写成(3-11)常数AAAAVAVAVddd212221111V2V222111AVAV2020/2/1018式中ρ1和ρ2—分别代表截面和上的平均密度，kg/m3。式（3-10）表示当流动为可压缩流体定常流体动时，沿流动方向的质量流量为一个常数。对不可压缩均质流体常数，则式（3-10）成为(3-12)式（3-11）为不可压缩流体一维定常流动的总流连续性方程。该式说明一维总流在定常流动条件下，沿流动方向的体积流量为一个常数，平均流速与有效截面面积成反比，即有效截面面积大的地方平均流速小，有效截面面积小的地方平均流速就大。2211AVAV2020/2/1019【例3-1】假设有一不可压缩流体三维流动，其速度分布规律为）U=3（x+y3)，v=4y+z2，w=x+y+2z。试分析该流动是否连续。【解】根据式（3-7）所以故此流动不连续。不满足连续性方程的流动是不存在的3xu4yv2zw09zwyvxu2020/2/1020【例3-2】有一不可压缩流体平面流动，其速度分布规律为u=x2siny，v=2xcosy，试分析该流动是否连续。【解】根据式（3-8）所以故此流动是连续的。yxxusin2yxyvsin20)sin2(sin2yxyxyvxu2020/2/1021【例3-6】有一输水管道，如图3-14所示。水自截面1-1流向截面2-2。测得截面1-1的水流平均流速m/s，已知d1=0.5m，d2=1m，试求截面2-2处的平均流速为多少？【解】由式（3-33）得(m/s)2V2V22221144dVdV5.015.02222112ddVV2020/2/1022图3-14输水管道