钟表问题

时钟问题“时间就是生命”。自从人类发明了计时工具——钟表，人们的生活就离不开它了。什么时间起床，什么时间吃饭，什么时间上学……全都依靠钟表，如果没有钟表，生活就乱套了。“时钟---角度---行程”时钟问题就是研究钟面上的时针和分针关系的问题。时钟问题经常围绕着两针重合、垂直、成直线等展开。都知道钟面的一周分为60格，分针每走60格，时针正好走5格，所以时针的速度是分针速度的十二分之一，时钟问题常围绕着两针（指时针与分针，下同）重合、两针垂直、两针成直线、两针成多少度角提出问题。因为时针与分针的速度不同，并且都沿顺时针方向转动，所以经常将时钟问题转化为追及问题来解。知识准备分针：360°/60min=6°/min时针：30°/60min=0.5°/min课前练习：1、圆形时钟的钟面被分成多少个大格？多少个小格？一个大格是多少度？一个小格是多少度？2、时针每小时走过多少度？为什么？每分钟呢？3、分针每分钟走过多少度？为什么？时钟基本知识点时钟钟面上的时针和分针之间的夹角问题，历来是许多同学求解的困惑问题之一，事实上，只要同学们能弄清时针、分针之间的关系：抓住起始和终止两个时刻算出分针走了多少分钟，由上述表格算出时针和分针各转了多少度，再在钟面上比较，求出结果.现举例说明.时钟问题可以看做是一个特殊的圆形轨道上2人追及或相遇问题，不过这里的两个“人”分别是时钟的分针和时针。我们通常把研究时钟上时针和分针的问题称为时钟问题，其中包括时钟的快慢，时钟的周期，时钟上时针与分针所成的角度等等。时钟问题有别于其他行程问题是因为它的速度和总路程的度量方式不再是常规的米每秒或者千米每小时，而是2个指针“每分钟走多少角度”或者“每分钟走多少小格”。对于正常的时钟，分针速度：每分钟走1小格，每分钟走6度时针速度：每分钟走1/12小格，每分钟走0.5度注意：但是在许多时钟问题中，往往我们会遇到各种“怪钟”，或者是“坏了的钟”，它们的时针和分针每分钟走的度数会与常规的时钟不同，这就需要我们要学会对不同的问题进行独立的分析。要把时钟问题当做行程问题来看，分针快，时针慢，所以分针与时针的问题，就是他们之间的追及问题。例如：时钟问题需要记住标准的钟，时针与分针从一次重合到下一次重合，所需时间为分一、整点时刻两针的夹角例1求下午4时，时针与分针之间的夹角.分析：下午4时，时针指在4上，分针指在12上，于是可求出它们之间的夹角.解：因为下午4时，时针指在4上，分针指在12上，所以4×30°＝120°.评注：因为整点时，分针始终指向12，所以可把分针看作角的始边，时针看作角的终边，时针旋转一周360º需要12个小时，所以时针每小时旋转的角度为360º÷12＝30º.由于我们现在研究的角都是小于平角的角，所以在1到6小时，两针的夹角为30º×n(n＝1，2，…，6)；在7到12小时，两针的夹角为360º－30º×n(n＝7，8，…，12).显然，任意整点时刻时针与分针的夹角我们都可以通过上面的两个公式求出来，值得注意的是，钟面上两针的夹角有可能会相等，如3点和9点时两针的夹角都是90º，但在不同时刻.二、任意时刻两针的夹角例2钟表上2时15分时，时针与分针所形成的锐角的度数是多少？分析要求解此问题，只要弄清时针每小时转过多少度的角，弄清该时针该分针的位置，即经过15分钟转过的角度即可.解因为×2＝30°×＝67.5°，×15＝90°，所以90°－67.5°＝22.5°.评注：通过对本题的求解，同学们可以记住每分钟分针比时针多转了5.5°，必要时可以利用方程求解此类问题，有时会显得更加简捷.三、时针与分针分别转过的角度例3若时针由2点30分走到2点55分，问时针、分针各转过多大角度？分析:弄清时针、分针每分钟各转过多少度即可求解.解:因为时针由2点30分走到2点55分，历经25分钟，所以分针转过的角度为×(55－30)＝6°×25＝150°，时针转过的角度为×(55－30)＝150°×＝12.5°.评注：解答此类题目，抓住时针每分转0.5°，分针每分转6°是求解的关键.【例题1】从钟表的12点整开始，时针与分针的第一次垂直与再一次重叠中间相隔的时间约（）A.43分钟B.45分钟C.49分钟D.61分钟垂直时：时针与分针夹角是90°重合时：时针与分针是360°追及距离：270°速度差：5.5°追及时间=追及距离/速度差=270/5.5min=49min四、成直线问题【例题2】四点半钟后，时针与分针第一次成直线的时刻为（）A、4点40分B、4点45又4/11分C、4点54又6/11分D、4点57分【解析】4：00时刻，时针分针夹角为120°，成直线角度为180°所以分针还要相对时针多走300°t=300/5.5=54又6/11分五、重合问题【例题3】从6时整开始，经过多少分钟后，时针与分针第一次重合？【解析】第一次重合，分针要追时针180°所以：追及时间=追及距离/追及速度即：t=180/5.5=360/11=32又8/11分六、垂直问题【例题4】在4点与5点之间，时针与分针什么时候成直角？【解析】分两种情况：分针在时针之前,4：00两针夹角为120°，垂直时90°分针还需走30°，则：30/5.5min=5又5/11min即：4点零5又5/11分时为直角分针在时针之后,分针还需走120°+90°=210°210/5.5min=38又2/11min例现在是2点，什么时候时针与分针第一次重合？分析：如右图所示，2点分针指向12，时针指向2，分针在时针后面七、追及问题八、时针与分针的追及与相遇问题【例1】王叔叔有一只手表，他发现手表比家里的闹钟每小时快30秒.而闹钟却比标准时间每小时慢30秒，那么王叔叔的手表一昼夜比标准时间差多少秒？闹钟比标准的慢那么它一小时只走（3600-30）/3600个小时，手表又比闹钟快那么它一小时走（3600+30）/3600个小时，则标准时间走1小时手表则走（3600-30）/3600*（3600+30）/3600个小时，手表每小时比标准时间慢1—【（3600-30）/3600*（3600+30）/3600】=1—14399/14400=1/14400个小时，也就是1/14400*3600=四分之一秒，所以一昼夜24小时比标准时间慢四分之一乘以24等于6秒时钟问题小结基本思路：封闭曲线上的追及问题关键问题确定分针与时针的初始位置；确定分针与时针的路程差。基本方法：度数方法公式：【路程差（角度差）*2】/11时针和分针的速度差：5.5°/min追及距离/速度差=追及时间（相当于行程问题中的同向运动）1、在7点与8点之间，时针与分针在什么时刻相互垂直？分析与解：7点时分针指向12，时针指向7（见右图），分针在时针后面5×7＝35（格）。时针与分针垂直，即时针与分针相差15格，在7点与8点之间，有下图所示的两种情况：巩固练习题（1）顺时针方向看，分针在时针后面15格。从7点开始，分针要比时针多走35-15=20（格），需（2）顺时针方向看，分针在时针前面15格。从7点开始，分针要比时针多走35＋15＝50（格），需2、在3点与4点之间，时针和分针在什么时刻位于一条直线上？分析与解：3点时分针指向12，时针指向3（见右图），分针在时针后面5×3＝15（格）。时针与分针在一条直线上，可分为时针与分针重合、时针与分针成180°角两种情况（见下图）：1）时针与分针重合。从3点开始，分针要比时针多走15格，需15÷2）时针与分针成180°角。从3点开始，分针要比时针多走15＋303、3点过多少分时，时针和分针离“3”的距离相等，并且在“3”的两边？分析与解：假设3点以后，时针以相反的方向行走，时针和分针相遇的时刻就是本题所求的时刻。这就变成了相遇问题，两针所行距离和是15个格。4、有一座时钟现在显示10时整．那么，经过多少分钟，分针与时针第一次重合；再经过多少分钟，分针与时针第二次重合?1、时钟的时针、分针从一次重合到下一次重合需多长时间？24小时之内可有多少次重合？2、时钟的时针和分针在24小时之内可成多少次平角？成多少次直角？3、小红傍晚6点钟去商场买本，走进商场看到钟表上的时针和分针的夹角是120°，买完本后，走出商场看到钟表上的时针和分针的夹角又是120°，但已近晚上7点钟了，问小红买本用了多长时间？