必修5――等比数列(第一课时)

一、复习引入1、等差数列的定义，2、通项公式，3、递推公式•阅读课本P48~50，思考以下问题：•1、书本上的数列①②③④有何共同特点？•2、等比数列的定义？•3、等比数列的公比如何定义？•4、书本上的数列①②③④的公比依次是多少？其通项公式分别是多少？一、2、自学等比数列•1、定义：一般地，如果一个数列{an},从第2项起每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比。公比通常用字母q表示。那么对于以上四组等比数列，它们的公比依次是(1)从第2项起(2)后项比前项(3)比是同一个常数注:定义中有哪些关键字眼？二、（一）等比数列的定义1.已知等比数列{an}：(1)an能不能是零？(2)公比q能不能是1？2.用下列方法表示的数列中能确定是等比数列的是.①1，-1，1，…，(-1)n+1；②1，2，4，6…；③a，a，a，…，a；④已知a1=2，an=3an+1；⑤⑥2a，2a，2a，…，2a.3.什么样的数列既是等差数列又是等比数列？不能能√√√×××非零的常数列①④⑥2、思考1：23,2,4,8,...mmmm思考2：若a,G,b三个数成等比数列，那么这三个数有何恒等关系？结论：G2=abG叫做a,b的等比中项•4、符号表示•问：递推公式是通过首项（或前几项）和数列相邻几项的关系来表示数列的，如何用递推公式来描述等比数列的定义？二、（一）等比数列的定义如果数列{an}，满足an/an-1=q（q为常数，n≥2，且n∈N*），则数列{an}叫做以q为公比的等比数列。•１、导入：•（１）问题１：如同我们在前一节看到的，能否确定一个数列的通项公式对研究这个数列具有重要的意义。前面四个数列的通项公式存在吗？如果存在，分别是什么？•比如：二、（二）等比数列的通项公式（2）思考：如何用a1和q表示第n项ana2/a1=qa3/a2=qa4/a3=q…an/an-1=q其中，a1与q均不为0。由于当n=1时上面等式两边均为a1，即等式也成立，说明上面公式当n∈N*时都成立，因此它就是等比数列｛an｝的通项公式。这n-1个式子相乘得an/a1=qn-1所以an=a1qn-11.叠乘法（累乘法）a2=a1qa3=a2q=a1q2a4=a3q=a1q3…an=a1qn-12.不完全归纳法二、（二）等比数列的通项公式金太阳教育网项起，每一项与前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列.这个常数叫做等差数列的公差，用d表示an+1-an=dan=a1+（n-1）d如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的比都等于同一个常数,那么这个数列叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比，用q表示qaann111nnqaa二、（二）等比数列的通项公式4、方法探究问1：等比数列的通项公式中，有几个量？问2：要求其中的一个量，需要知道其余几个？这个过程体现了什么样的思想方法？称为基本量其中qaanqan,,,,,11三个。方程思想11nnqaa例如：数列{an}的首项是a1=1,公比q=2,则通项公式是：＿＿＿＿＿＿上式还可以写成nna221可见，这个等比数列的图象都在函数的图象上，如右图所示。xy22101234nan87654321····的点函数的图象上一些孤立的图象是其对应的等比数列结论na：思考4：等比数列的通项公式与函数有怎样的关系？-12nna例1（1）求等比数列5，-15，45，…的①通项公式，②第7项；（2）判断76.8是不是等比数列1.2，2.4，4.8，…的项?如果是，是第几项，如果不是，说明理由。分析（1）由给出的等比数列前三项，先找到首项a1,求出公比q,写出通项公式，就可以求出第7项.分析（2）要想判断76.8是否为这个数列中的项，关键是求出通项公式，看是否存在正整数n,使得an=76.8。三、知识应用小结：等比数列的通项公式其实是一个关于d,a1,n,an四个量的方程，可以“知三求一”。其中体现了“方程”的思想4(1)27,3,;naqa求341(2)12,18,.aaa求例2.在等比数列中,na57912,8(2)a=4,a=6,a.求出下列等比数列中的未知项：（）a,；求变式：4a99a三、知识应用小结：已知数列中任意两项，可求出首项和公比，主要是联立二元一次方程组。(3)等比数列{an}中,a3+a6=36,a4+a7=18,an=1/2,求n.1adnna(4)(3)(2)152－8(1)量20练习：在等比数列中，填写下表：数字编号1anna解方程：方程思想三、知识应用（要求：写出解题过程）思考：解题过程中体现了什么样的思想？q数列等差数列等比数列定义式公差（比）定义变形通项公式一般形式an+1-an=d1nnaqa+=d叫公差q叫公比an+1=an+dan+1=anqan=a1+(n-1)dan=a1qn-1an=am+(n-m)dan=amqn-m比较：五、作业一、交：书本，P53，A1、2、3、7;（题目要抄）二、不交：阅读书本P50~52，并完成P52~53，练习1、2、3、4、5;谢谢第二课时•一、复习•1、等比数列的•（1）定义①文字语言②符号语言③图形语言；•（2）通项公式•（3）等比中项；•2、与等差数列的类比（见下页）•3、讲评作业：1.定义2.公比(差)3.等比(差)中项4.通项公式daann1q不可以是0,d可以是0等比中项abG等差中项baA211nnqaadnaan)1(1mnmnqaadmnaamn)(等差数列qaann1等比数列例1（1）求等比数列5，-15，45，…的①通项公式，②第7项；（2）判断76.8是不是等比数列1.2，2.4，4.8，…的项?如果是，是第几项，如果不是，说明理由。分析（1）由给出的等比数列前三项，先找到首项a1,求出公比q,写出通项公式，就可以求出第7项.分析（2）要想判断76.8是否为这个数列中的项，关键是求出通项公式，看是否存在正整数n,使得an=76.8。二、知识应用小结：等比数列的通项公式其实是一个关于d,a1,n,an四个量的方程，可以“知三求一”。其中体现了“方程”的思想例2书本P57例1阅读并思考：以下问题（1）什么叫半衰期？（2）如果这种物质最初的质量是a1，那么经过一年后的质量是多少？经过两年、三年、……n年后的质量分别是多少呢？二、知识应用例3书本P57例2阅读并思考：以下问题（1）什么叫递推公式？（2）如何判定一个数列是等比数列？例4书本P58例4阅读并思考：以下问题如何判定一个数列是等比数列？n2n3n6是n）21(n)31(n)61(是1.定义2.公比(差)3.等比(差)中项4.通项公式5.性质(若m+n=p+q)daann1q不可以是0,d可以是0等比中项abG等差中项baA211nnqaadnaan)1(1qpnmaaaaqpnmaaaamnmnqaadmnaamn)(等差数列qaann1等比数列性质1性质2性质3qpnmaaaaqpnmaaaamnmnqaadmnaamn)(等比数列等差数列等比数列也成、、则成等比数列，、、为等比数列，如果knmnaaaknma}{等差数列也成、、则成等差数列，、、为等差数列，如果knmnaaaknma}{等比数列{an}的性质性质11、证明：mnmnqaa2、例：___1622}{)1(1062aaaan则，，中，已知在等比数列___81}{)2(63qaaan则公比，中，已知在等比数列等比数列{an}的性质性质2,,,,,qpnmNqpnm且若qpnmaaaa则推论1,2,,,knmNknm且若2knmaaa则1、证明：852418109182-,}{373,}{21005,}{1aaaaaaaaaaannn，求，已知中）在等比数列（项之积。，求该数列前已知中）在等比数列（，求，已知中）在等比数列（例5•1、书本P59，练习1~3、5三、练习五、作业一、交：书本习题2.4A4B1；练习册P321-1,A3二、不交：练习册P31~32(除1-2.A5,B1、3、4、5)