高中数学课件 第六章 第四节 《基本不等式》

1.了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.1.基本不等式2.几个重要的不等式3.算术平均数与几何平均数设a0，b0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为：两个正数的不小于其.算术平均数几何平均数4.利用基本不等式求最值问题已知x0，y0，则：(1)如果积xy是定值P，那么当且仅当时，x＋y有值是(简记：积定和最小).(2)如果和x＋y是定值P，那么当且仅当时，xy有值是(简记：和定积最大).x＝y小x＝y最大[思考探究]在利用基本不等式求最值时，应注意哪些方面？提示：利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正、二定、三相等”.“一正”即公式中a、b必须是正数，“二定”即必须有定值(和为定值或积为定值)，“三相等”即公式中的等号必须成立，必要时要合理拆分项或配凑因式，以满足上述三个条件.1.已知ab≠0，a，b∈R，则下列式子总能成立的是()A.≥2B.≥－2C.≤－2D.||≥2解析：选项A、B、C中不能保证为正.答案：D2.已知f(x)＝x＋－2(x0)，则f(x)有()A.最大值为0B.最小值为0C.最大值为2D.最小值为2解析：∵x0，∴f(x)＝x＋－2≥2－2＝0，当且仅当x＝，即x＝1时，“＝”成立.答案：B3.下列函数中，y的最小值为4的是()A.y＝x＋B.y＝(x∈R)C.y＝ex＋4e－xD.y＝sinx＋(0＜x＜π)解析：对于A，当x＜0时，最小值不存在且y＜0；B中y＝＝2≥4，当且仅当x2＋2＝1时等号成立，这样的实数x不存在，故y＝(x∈R)取不到最小值4；同理对于D，等号成立的条件为sin2x＝4，这也是不可能的；只有C，y＝ex＋4e－x≥4，当且仅当ex＝2，即x＝ln2时等号成立，函数有最小值4.答案：C4.若a＞b＞1，P＝，Q＝(lga＋lgb)，R＝lg()，则P，Q，R的大小关系为.解析：∵a＞b＞1，∴＞，∴lg＞(lga＋lgb)，又∵(lga＋lgb)＞，∴R＞Q＞P.答案：R＞Q＞P5.若直线ax＋by＋1＝0(a0，b0)平分圆x2＋y2＋8x＋2y＋1＝0，则的最小值为.解析：由x2＋y2＋8x＋2y＋1＝0得(x＋4)2＋(y＋1)2＝16，∴设圆的圆心坐标为(－4，－1)，∴－4a－b＋1＝0，即4a＋b＝1，∴由1＝4a＋b≥2＝4，得ab≤，∴≥16，∴的最小值为16.答案：161.创设应用基本不等式的条件(1)合理拆分项或配凑因式是常用的技巧，而拆与凑的目标在于使等号成立，且每项为正值，必要时需出现积为定值或和为定值.(2)当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错，因此在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，而且也是检验转换是否有误的一种方法.2.基本不等式的集中变形公式对于基本不等式，不仅要记住原始形式，而且还要掌握它的几种常见的变形形式及公式的逆运用等.如(1)设0＜x＜2，求函数y＝的最大值；(2)求＋a的取值范围；(3)已知x＞0，y＞0，且x＋y＝1，求的最小值.[思路点拨][课堂笔记](1)∵0＜x＜2，∴0＜3x＜6,8－3x＞2＞0，∴y＝≤＝＝4，当且仅当3x＝8－3x，即x＝时，取等号.∴当x＝，y＝的最大值是4.(2)显然a≠4，当a＞4时，a－4＞0，∴＋a＝＋(a－4)＋4≥2＋4＝2＋4，当且仅当＝a－4，即a＝4＋时，取等号；当a＜4时，a－4＜0，∴＋a＝＋(a－4)＋4＝－[＋(4－a)]＋4≤－2＋4＝－2＋4，当且仅当＝(4－a)，即a＝4－时，取等号.∴＋a的取值范围是(－∞，－2＋4]∪[2＋4，＋∞).(3)∵x＞0，y＞0，且x＋y＝1，∴＋＝()(x＋y)＝10＋≥10＋2＝18.当且仅当，即x＝2y时等号成立，∴当x＝，y＝时，有最小值18.若x∈[0,1]，求函数y＝的最大值.解：由例1(1)的解答知，当x∈[0,1]时，函数的最大值不能用基本不等式.∵y＝(x∈[0,1])，∴函数在[0,1]上单调递增.∴ymax＝.利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，是指从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”.[特别警示]证明不等式时要注意灵活变形，多次利用基本不等式时，要注意每次等号是否都成立，同时也要注意基本不等式的变形形式的应用.已知a0，b0且a＋b＝1.求证：(1)≥4；(2)≤2.[思路点拨][课堂笔记](1)∵a0，b0，且a＋b＝1.∴≥2＋2＝4.当且仅当＝，即a＝b＝时，等号成立.∴原不等式成立.(2)∵a0，b0，且a＋b＝1.∴原不等式⇔≤4⇔a＋b＋1＋2≤4⇔2＋2≤4⇔≤1⇔≤1⇔ab＋(a＋b)＋≤1⇔ab＋×1＋≤1⇔ab≤.∵a0，b0，∴1＝a＋b≥2(当且仅当a＝b＝时取等号).∴ab≤.故原不等式成立.应用基本不等式解决实际问题的步骤是：(1)仔细阅读题目，透彻理解题意；(2)分析实际问题中的数量关系，引入未知数，并用它表示其他的变量，把要求最值的变量设为函数；(3)应用基本不等式求出函数的最值；(4)还原实际问题，作出解答.[特别警示](1)解应用题时，一定要注意变量的实际意义，即其取值范围.(2)在求函数最值时，除应用基本不等式外，有时会出现基本不等式取不到等号，此时可利用函数的单调性解决.(2009·湖北高考)围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图所示.已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m.设利用的旧墙长度为x(单位：m)，修建此矩形场地围墙总费用为y(单位：元).(1)将y表示为x的函数；(2)试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用.[思路点拨][课堂笔记](1)如图，设矩形的另一边长为am，则y＝45x＋180(x－2)＋180·2a＝225x＋360a－360.由已知xa＝360，得a＝，所以y＝225x＋－360(x＞0).(2)∵x＞0，∴225x＋≥2＝10800.∴y＝225x＋－360≥10440.当且仅当225x＝时，等号成立.即当x＝24m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元.以选择题或填空题的形式考查基本不等式在求最值中的应用，是高考对本节内容的常规考法.近几年高考中多次出现应用基本不等式求最值的应用题，如09年湖北、江苏高考，符合新课标对学生应用所学知识分析解决实际问题能力的要求，仍是今后高考对本节内容的一个考查方向.[考题印证](2009·江苏高考)(12分)按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为a元，如果他卖出该产品的单价为m元，则他的满意度为如果他买进该产品的单价为n元，则他的满意度为.如果一个人对两种交易(卖出或买进)的满意度分别为h1和h2，则他对这两种交易的综合满意度为现假设甲生产A、B两种产品的单件成本分别为12元和5元，乙生产A、B两种产品的单件成本分别为3元和20元，设产品A、B的单价分别为mA元和mB元，甲买进A与卖出B的综合满意度为h甲，乙卖出A与买进B的综合满意度为h乙.(1)求h甲和h乙关于mA、mB的表达式；当mA＝mB时，求证：h甲＝h乙；(2)设mA＝mB，当mA、mB分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？(3)记(2)中最大的综合满意度为h0，试问能否适当选取mA、mB的值，使得h甲≥h0和h乙≥h0同时成立，但等号不同时成立？试说明理由.【解】设mA＝x，mB＝y.(1)甲买进产品A的满意度：h1甲＝；甲卖出产品B的满意度：h2甲＝；甲买进产品A和卖出产品B的综合满意度：h甲＝；┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄(3分)同理，乙卖出产品A和买进产品B的综合满意度：h乙＝┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄(4分)当x＝y时，故h甲＝h乙.┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄(6分)(2)当x＝y时，由(1)知h甲＝h乙＝，因为，且等号成立当且仅当y＝10时成立.当y＝10时，x＝6.因此，当mA＝6，mB＝10时，甲、乙两人的综合满意度均最大，且最大的综合满意度为.┄┄┄(8分)(3)由(2)知h0＝.因为h甲h乙＝＝┄┄┄┄┄(10分)所以，当h甲≥，h乙≥时，有h甲＝h乙＝.因此，不能取到mA，mB的值，使得h甲≥h0和h乙≥h0同时成立，但等号不同时成立.┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄(12分)[自主体验]某养殖厂需定期购买饲料，已知该厂每天需要饲料200千克，每千克饲料的价格为1.8元，饲料的保管与其他费用为平均每千克每天0.03元，购买饲料每次支付运费300元.(1)求该厂多少天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少？(2)若提供饲料的公司规定，当一次购买饲料不少于5吨时其价格可享受八五折优惠(即为原价的85%).问该厂是否可以考虑利用此优惠条件？请说明理由.解：(1)设该厂应隔x(x∈N＋)天购买一次饲料，平均每天支付的总费用为y1.∵饲料的保管与其他费用每天比前一天少200×0.03＝6(元)，∴x天饲料的保管与其他费用共是6(x－1)＋6(x－2)＋…＋6＝3x2－3x(元).从而有1y＝(3x2－3x＋300)＋200×1.8＝＋3x＋357≥417.当且仅当＝3x，即x＝10时，y1有最小值.即每隔10天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少.(2)若厂家利用此优惠条件，则至少25天购买一次饲料，设该厂利用此优惠条件，每隔x天(x≥25)购买一次饲料，平均每天支付的总费用为y2，则y2＝(3x2－3x＋300)＋200×1.8×0.85＝＋3x＋303(x≥25).∵y2′＝－＋3，∴当x≥25时，y2′＞0，即函数y2在[25，＋∞)上是增函数，∴当x＝25时，y2取得最小值为390.而390＜417，∴该厂可以接受此优惠条件.1.下列结论正确的是()A.当x＞0且x≠1时，lgx＋≥2B.当x0时，＋≥2C.当x≥2时，x＋的最小值为2D.当0x≤2时，x－无最大值解析：x0，≥2＝2，当且仅当，即x＝1时，等号成立.答案：B2.(2009·天津高考)设x，y∈R，a＞1，b＞1.若ax＝by＝3，a＋b＝2，则的最大值为()A.2B.C.1D.解析：∵ax＝by＝3，∴x＝loga3，y＝logb3，∴＝log3a＋log3b＝log3ab≤log3＝log33＝1.答案：C3.已知x0，y0，lg2x＋lg8y＝lg2，则的最小值是()A.2B.2C.4D.2解析：因为x0，y0，且lg2x＋lg8y＝lg2，所以x＋3y＝1，于是有＝(x＋3y)()＝2＋()≥4.答案：C4.已知0＜x＜，则函数y＝5x(3－4x)的最大值为.解析：因为0＜x＜，所以－x＞0，所以y＝5x(3－4x)＝20x(－x)≤20当且仅当x＝－x，即x＝时等号成立.答案：5.(2010·忻州模拟)设x，y，z为正实数，满足x－2y＋3z＝0，则的最小值是.解析：由x－2y＋3z＝0得y＝，代入得＝3，当且仅当x＝3z时取“＝”.答案：36.某学校拟建一块周长为400m的操场如图所示，操场的两头是半圆形，中间区域是矩形，学生做操一般安排在矩形区域，为了能让学生的做操区域尽可能大，试问如何设计矩形的长和宽？解：设矩形的长为xm，半圆的直径是d，中间的矩形区域面积为Sm2.由题知：S＝dx，且2x＋πd＝400.∴S＝(πd)(2x)当且仅当πd＝2x＝200，即x＝100时等号成立.此时，d＝答：设计矩形的长为100m，宽约为63.7m时，矩形面积最大.