高中数学课件第四节 基本不等式

备考基础·查清热点命题·悟通迁移应用·练透课堂练通考点课下提升考能首页上一页下一页末页结束数学第四节基本不等式1．基本不等式ab≤a＋b2(1)基本不等式成立的条件：.第四节基本不等式a0，b0(2)等号成立的条件：当且仅当时取等号．a＝b备考基础·查清热点命题·悟通迁移应用·练透课堂练通考点课下提升考能首页上一页下一页末页结束数学第四节基本不等式2．算术平均数与几何平均数设a0，b0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为：____________________________________________．两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数3．利用基本不等式求最值问题已知x0，y0，则：(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当时，x＋y有最小值是.(简记：积定和最小)x＝y(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当时，xy有最大值是.(简记：和定积最大)x＝ya＋b2ab2pp24备考基础·查清热点命题·悟通迁移应用·练透课堂练通考点课下提升考能首页上一页下一页末页结束数学第四节基本不等式1．求最值时要注意三点：一是各项为正；二是寻求定值；三是考虑等号成立的条件．2．多次使用基本不等式时，易忽视取等号的条件的一致性．备考基础·查清热点命题·悟通迁移应用·练透课堂练通考点课下提升考能首页上一页下一页末页结束数学第四节基本不等式[试一试]1．“a0且b0”是“a＋b2≥ab”成立的________条件．答案：充分不必要2．(2014·扬州期末)已知x，y∈R，且x＋2y＝1，则2x＋4y的最小值是________．解析：因为x＋2y＝1，所以x＝1－2y，从而2x＋4y＝21－2y＋22y＝222y＋22y≥22，当且仅当y＝14时取等号．故2x＋4y的最小值为22.答案：22备考基础·查清热点命题·悟通迁移应用·练透课堂练通考点课下提升考能首页上一页下一页末页结束数学第四节基本不等式1．活用几个重要的不等式a2＋b2≥2ab(a，b∈R)；ba＋ab≥2(a，b同号)．ab≤a＋b22(a，b∈R)；a＋b22≤a2＋b22(a，b∈R)．2．巧用“拆”“拼”“凑”在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．备考基础·查清热点命题·悟通迁移应用·练透课堂练通考点课下提升考能首页上一页下一页末页结束数学第四节基本不等式[练一练]若x1，则x＋4x－1的最小值为________．解析：x＋4x－1＝x－1＋4x－1＋1≥4＋1＝5.当且仅当x－1＝4x－1，即x＝3时等号成立．答案：5备考基础·查清热点命题·悟通迁移应用·练透课堂练通考点课下提升考能首页上一页下一页末页结束数学第四节基本不等式[典例]已知a0，b0，a＋b＝1，求证：1＋1a1＋1b≥9.[证明]法一：∵a0，b0，a＋b＝1，∴1＋1a＝1＋a＋ba＝2＋ba.同理，1＋1b＝2＋ab.∴1＋1a1＋1b＝2＋ba2＋ab备考基础·查清热点命题·悟通迁移应用·练透课堂练通考点课下提升考能首页上一页下一页末页结束数学第四节基本不等式＝5＋2ba＋ab≥5＋4＝9，当且仅当ba＝ab，即a＝b＝12时取“＝”．∴1＋1a1＋1b≥9，当且仅当a＝b＝12时等号成立．法二：1＋1a1＋1b＝1＋1a＋1b＋1ab＝1＋a＋bab＋1ab＝1＋2ab，备考基础·查清热点命题·悟通迁移应用·练透课堂练通考点课下提升考能首页上一页下一页末页结束数学第四节基本不等式∵a，b为正数，a＋b＝1，∴ab≤a＋b22＝14，当且仅当a＝b＝12时取“＝”．于是1ab≥4，2ab≥8，当且仅当a＝b＝12时取“＝”．∴1＋1a1＋1b≥1＋8＝9，当且仅当a＝b＝12时等号成立．备考基础·查清热点命题·悟通迁移应用·练透课堂练通考点课下提升考能首页上一页下一页末页结束数学第四节基本不等式[类题通法]利用基本不等式证明不等式的方法技巧利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不等式，对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项，并项，也可乘上一个数或加上一个数，“1”的代换法等．备考基础·查清热点命题·悟通迁移应用·练透课堂练通考点课下提升考能首页上一页下一页末页结束数学第四节基本不等式[针对训练]设a，b均为正实数，求证：1a2＋1b2＋ab≥22.证明：由于a、b均为正实数，所以1a2＋1b2≥21a2·1b2＝2ab，当且仅当1a2＝1b2，即a＝b时等号成立，备考基础·查清热点命题·悟通迁移应用·练透课堂练通考点课下提升考能首页上一页下一页末页结束数学第四节基本不等式又因为2ab＋ab≥22ab·ab＝22，当且仅当2ab＝ab时等号成立，所以1a2＋1b2＋ab≥2ab＋ab≥22，当且仅当1a2＝1b2，2ab＝ab，即a＝b＝42时取等号．备考基础·查清热点命题·悟通迁移应用·练透课堂练通考点课下提升考能首页上一页下一页末页结束数学第四节基本不等式[典例](1)(2013·徐州、宿迁三检)若a＞0，b＞0，且12a＋b＋1b＋1＝1，则a＋2b的最小值为________．[解析]法一：由已知等式得2a＋2b＋1＝2ab＋2a＋b2＋b，从而a＝b－b2＋12b.a＋2b＝b－b2＋12b＋2b＝12＋32b＋12b≥12＋234＝23＋12，故有最小值23＋12.备考基础·查清热点命题·悟通迁移应用·练透课堂练通考点课下提升考能首页上一页下一页末页结束数学第四节基本不等式法二：设2a＋b＝m，b＋1＝n，则2a＝m－n＋1，b＝n－1，所以a＋2b＝m－n＋12＋2n－2＝12(m＋3n)－32.所以m＋3n＝(m＋3n)·1m＋1n＝4＋3nm＋mn≥4＋23，当且仅当m2＝3n2，即1m＋1n＝1，m＝3n，即m＝3＋1，n＝1＋13时取等号，所以a＋2b的最小值为23＋12.[答案]23＋12备考基础·查清热点命题·悟通迁移应用·练透课堂练通考点课下提升考能首页上一页下一页末页结束数学第四节基本不等式(2)已知x＞0，y＞0，且2x＋1y＝1，若x＋2y＞m2＋2m恒成立，则实数m的取值范围是________．[解析]因为x＞0，y＞0，且2x＋1y＝1，所以x＋2y＝(x＋2y)·2x＋1y＝4＋4yx＋xy≥4＋24yx·xy＝8，当且仅当4yx＝xy，即x＝4，y＝2时取到最小值8.所以转化为m2＋2m＜8恒成立问题，解得－4＜m＜2.[答案](－4,2)备考基础·查清热点命题·悟通迁移应用·练透课堂练通考点课下提升考能首页上一页下一页末页结束数学第四节基本不等式(3)设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则zxy的最小值为________．[解析]z＝x2－3xy＋4y2(x，y，z∈R＋)，∴zxy＝x2－3xy＋4y2xy＝xy＋4yx－3≥2xy·4yx－3＝1.当且仅当xy＝4yx，即x＝2y＝4时“＝”成立．[答案]1备考基础·查清热点命题·悟通迁移应用·练透课堂练通考点课下提升考能首页上一页下一页末页结束数学第四节基本不等式在(3)的条件中，当zxy取最小值时，求x＋2y－z的最大值.解：由(3)知当zxy取最小值时x＝2y.∴z＝x2－3xy＋4y2＝4y2－6y2＋4y2＝2y2，∴x＋2y－z＝2y＋2y－2y2＝－2y2＋4y＝－2(y－1)2＋2.∴当y＝1时，x＋2y－z取最大值2.备考基础·查清热点命题·悟通迁移应用·练透课堂练通考点课下提升考能首页上一页下一页末页结束数学第四节基本不等式[类题通法]两个正数的和与积的转化基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，因此可以用在一些不等式的证明中，还可以用于求代数式的最值或取值范围．如果条件等式中，同时含有两个变量的和与积的形式，就可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化，然后通过解不等式进行求解．注意：形如y＝x＋ax(a0)的函数求最值时，首先考虑用基本不等式，若等号取不到，再利用该函数的单调性求解．备考基础·查清热点命题·悟通迁移应用·练透课堂练通考点课下提升考能首页上一页下一页末页结束数学第四节基本不等式[针对训练](1)当x＞0时，则f(x)＝2xx2＋1的最大值为________．解析：(1)∵x＞0，∴f(x)＝2xx2＋1＝2x＋1x≤22＝1，当且仅当x＝1x，即x＝1时取等号．(2)已知log2a＋log2b≥1，则3a＋9b的最小值为________．(3)已知x＞0，y＞0，xy＝x＋2y，若xy≥m－2恒成立，则实数m的最大值是________．备考基础·查清热点命题·悟通迁移应用·练透课堂练通考点课下提升考能首页上一页下一页末页结束数学第四节基本不等式(2)由log2a＋log2b≥1得log2(ab)≥1，即ab≥2，∴3a＋9b＝3a＋32b≥2×3a＋2b2(当且仅当3a＝32b，即a＝2b时取等号)．又∵a＋2b≥22ab≥4(当且仅当a＝2b时取等号)，∴3a＋9b≥2×32＝18.即当a＝2b时，3a＋9b有最小值18.(3)由x＞0，y＞0，xy＝x＋2y≥22xy，得xy≥8，于是由m－2≤xy恒成立，得m－2≤8，即m≤10.故m的最大值为10.答案：(1)1(2)18(3)10备考基础·查清热点命题·悟通迁移应用·练透课堂练通考点课下提升考能首页上一页下一页末页结束数学第四节基本不等式[典例]某厂家拟在2013年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m万元(m≥0)满足x＝3－km＋1(k为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件．已知2013年生产该产品的固定投入为8万元．每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．(1)将2013年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；(2)该厂家2013年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？备考基础·查清热点命题·悟通迁移应用·练透课堂练通考点课下提升考能首页上一页下一页末页结束数学第四节基本不等式[解](1)由题意知，当m＝0时，x＝1(万件)，∴1＝3－k⇒k＝2，∴x＝3－2m＋1，每件产品的销售价格为1.5×8＋16xx(元)，∴2013年的利润y＝1.5x×8＋16xx－8－16x－m＝－16m＋1＋m＋1＋29(m≥0)．备考基础·查清热点命题·悟通迁移应用·练透课堂练通考点课下提升考能首页上一页下一页末页结束数学第四节基本不等式(2)∵m≥0时，16m＋1＋(m＋1)≥216＝8，∴y≤－8＋29＝21，当且仅当16m＋1＝m＋1⇒m＝3(万元)时，ymax＝21(万元)．故该厂家2013年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为21万元．备考基础·查清热点命题·悟通迁移应用·练透课堂练通考点课下提升考能首页上一页下一页末页结束数学第四节基本不等式[类题通法]利用基本不等式求解实际应用题的方法(1)问题的背景是人们关心的社会热点问题，如“物价、销售、税收、原材料”等，题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解．(2)当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使用基本不等式求解，此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解．备考基础·查清热点命题·悟通迁移应用·练透课堂练通考点课下提升考能首页上一页下一页末页结束数学第四节基本不等式[针对训练](2014