傅里叶变换详解

第七章傅里叶变换在自然科学和工程技术中为了把较复杂的运算转化为较简单的运算，人们常采用变换的方法来达到目的．例如在初等数学中，数量的乘积和商可以通过对数变换化为较简单的加法和减法运算．在工程数学里积分变换能够将分析运算（如微分、积分）转化为代数运算，正是积分变换的这一特性，使得它在微分方程、偏微分方程的求解中成为重要的方法之一．积分变换的理论方法不仅在数学的诸多分支中得到广泛的应用，而且在许多科学技术领域中，例如物理学、力学、现代光学、无线电技术以及信号处理等方面，作为一种研究工具发挥着十分重要的作用．所谓积分变换，就是把某函数类A中的任意一个函数，经过某种可逆的积分方法（即为通过含参变量的积分）变为另一函数类B中的函数这里是一个确定的二元函数，通常称为该积分变换的核．称为的像函数或简称为像，称为的原函数．在这样的积分变换下，微分运算可变为乘法运算，原来的偏微分方程可以减少自变量的个数，变成像函数的常微分方程；原来的常微分方程可以变为像函数的代数方程，从而容易在像函数类B中找到解的像；再经过逆变换，便可以得到原来要在A中所求的解，而且是显式解．另外需要说明的是，当选取不同的积分区域和核函数时，就得到不同名称的积分变换:（1）特别当核函数（注意已将积分参变量改写为变量），当，则称函数为函数的傅里叶（Fourier）变换，简称为函数的傅氏变换．同时我们称为的傅里叶逆变换．（2）特别当核函数（注意已将积分参变量改写为变量），当，则称函数为函数的拉普拉斯(Laplace)变换，简称为函数的拉氏变换．同时我们称为的拉氏逆变换．7.1傅里叶级数本节简明扼要地复习高等数学中的傅里叶级数基本内容7.1.1周期函数的傅里叶展开定义7.1.1傅里叶级数傅里叶级数展开式傅里叶系数若函数以为周期，即为的光滑或分段光滑函数，且定义域为，则可取三角函数族(7.1.2)作为基本函数族，将展开为傅里叶级数（即下式右端级数）(7.1.3)式（7.1.3）称为周期函数的傅里叶级数展开式（简称傅氏级数展开），其中的展开系数称为傅里叶系数（简称傅氏系数）．函数族(7.1.2)是正交的．即为：其中任意两个函数的乘积在一个周期上的积分等于零，即利用三角函数族的正交性，可以求得(7.1.3)的展开系数为（7.1.4）其中关于傅里叶级数的收敛性问题，有如下定理：狄利克雷（Dirichlet）定理7.1.1若函数满足条件：(1)处处连续，或在每个周期内只有有限个第一类间断点；（2）在每个周期内只有有限个极值点，则级数（7.1.3）收敛，且在收敛点有：在间断点有：7.1.2奇函数及偶函数的傅里叶展开定义7.1.2傅里叶正弦级数傅里叶余弦级数若周期函数是奇函数，则由傅里叶系数的计算公式(7.1.4)可见，所有均等于零，展开式(7.1.3)成为(7.1.5)这叫作傅里叶正弦级数．容易检验（7.1.5）中的正弦级数在处为零．由于对称性，其展开系数为若周期函数是偶函数，则由傅里叶系数计算公式可见，所有均等于零，展开式(7.1.3)成为(7.1.6)这叫作傅里叶余弦级数．同样由于对称性，其展开系数为(7.1.7)由于余弦级数的导数是正弦级数，所以余弦级数的导数在处为零．而对于定义在有限区间上的非周期函数的傅里叶级数展开，需要采用类似于高等数学中的延拓法，使其延拓为周期函数．9.1.3复数形式的傅里叶级数定义7.1.3复数形式的傅里叶级数取一系列复指数函数(7.1.8)作为基本函数族，可以将周期函数展开为复数形式的傅里叶级数(7.1.9)利用复指数函数族的正交性，可以求出复数形式的傅里叶系数(7.1.10)式中“*”代表复数的共轭上式(7.1.9)的物理意义为一个周期为2l的函数可以分解为频率为，复振幅为的复简谐波的叠加．称为谱点，所有谱点的集合称为谱．对于周期函数而言，谱是离散的．尽管是实函数，但其傅里叶系数却可能是复数，且满足：或(7.1.11)7.2实数与复数形式的傅里叶积分上一节我们讨论了周期函数的傅里叶级数展开，下面讨论非周期函数的级数展开．7.2.1实数形式的傅里叶积分定义7.2.1实数形式的傅里叶变换式傅里叶积分傅里叶积分表示式设非周期函数为一个周期函数当周期时的极限情形．这样，的傅里叶级数展开式(7.2.1)在时的极限形式就是所要寻找的非周期函数的傅里叶展开．下面我们研究这一极限过程：设不连续的参量故（7.2.1）为（7.2.2）傅里叶系数为(7.2.3)代入到(7.2.2)，然后取的极限．对于系数，若有限，则而余弦部分为当，不连续参变量变为连续参量，以符号代替．对的求和变为对连续参量的积分，上式变为同理可得正弦部分若令（7.2.4）式（7.2.4）称为的（实数形式）傅里叶变换式．故（7.2.2）在时的极限形式变为（注意到）(7.2.5)上式(7.2.5)右边的积分称为（实数形式）傅里叶积分．(7.2.5)式称为非周期函数的（实数形式）傅里叶积分表示式．事实上，上式（7.2.5）还可以进一步改写为（7.2.6）上式(7.2.6)的物理意义为：称为的振幅谱，称为的相位谱．可以对应于物理现象中波动（或振动）我们把上述推导归纳为下述严格定理：1．傅里叶积分定理定理7.2.1傅里叶积分定理若函数在区间上满足条件（1）在任一有限区间上满足狄利克雷条件；（2）在上绝对可积，则里叶积分形式（7.2.5)，可表为傅且在的连续点处傅里叶积分值＝；在间断点处傅里叶积分值＝2．奇函数的傅里叶积分定义7.2.2实数形式的傅里叶正弦积分傅里叶正弦变换若为奇函数，我们可推得奇函数分为傅里叶正弦积分：的傅里叶积(7.2.7)式（7.2.7）满足条件其中是的傅里叶正弦变换：（7.2.8）3.偶函数的傅里叶积分定义7.2.3实数形式的傅里叶余弦积分傅里叶余弦变换若为偶函数，的傅里叶积分为傅里叶余弦积分：(7.2.9)式（7.2.9）满足条件．其中是的傅里叶余弦变换：（7.2.10）上述公式可以写成另一种对称的形式（7.2.11）(7.2.12)7.2.2复数形式的傅里叶积分定义7.2.4复数形式的傅里叶积分复数形式的傅里叶变换式对于上述实数形式的傅里叶变换，我们觉得还不够紧凑．下面我们讨论复数形式的傅氏积分与变换，而且很多情形下，复数形式（也称为指数形式）的傅氏积分变换使用起来更加方便．利用欧拉公式则有代入式（7.2.5）得到将右端的第二个积分中的换为，则上述积分能合并为(7.2.13)其中将（7.2.4）代入上式可以证明无论对于，还是均可以合并为（7.2.14）证明：（1）时（2）时证毕．（7.2.13）是的复数形式的傅里叶积分表示式,（7.2.14）则是的复数形式的傅里叶变换式．上述变换可以写成另一种对称的傅氏变换（对）形式（7.2.15）7.2.3傅里叶变换式的物理意义——频谱傅氏变换和频谱概念有着非常密切的联系．频谱这个术语来自于光学.通过对频谱的分析，可以了解周期函数和非周期函数的一些基本性质.若已知是以为周期的周期函数，且满足狄利克雷条件，则可展成傅里叶级数(7.2.16)其中,我们将称为的第次谐波，称为第次谐波的频率．由于其中称为初相，称为第次谐波的振幅，记为，即（7.2.17）若将傅里叶级数表示为复数形式，即(7.2.18)其中恰好是次谐波的振幅的一半.我们称为复振幅.显然次谐波的振幅与复振幅有下列关系：（7.2.19）当取这些数值时，相应有不同的频率和不同的振幅，所以式(7.2.19)描述了各次谐波的振幅随频率变化的分布情况．频谱图通常是指频率和振幅的关系图.称为函数的振幅频谱（简称频谱）.若用横坐标表示频率，纵坐标表示振幅，把点用图形表示出来，这样的图形就是频谱图.由于,所以频谱不连续的，称之为离散频谱．的图形是7．3傅里叶变换定义7.3.1傅里叶变换的定义由上一节对实数和复数形式的傅里叶积分的讨论，最后我们以简洁的复数形式（即指数形式）作为傅里叶变换的定义定义7.3.1傅里叶变换若满足傅氏积分定理条件，称表达式（7.3.1）为的傅里叶变换式,记作．我们称函数为的傅里叶变换，简称傅氏变换（或称为像函数）．定义7.3.2傅里叶逆变换如果(7.3.2)则上式为的傅里叶逆变换式，记为我们称为（或称为像原函数或原函数）．的傅里叶逆变换，简称傅氏逆变换由（7.3.1）和（7.3.2）知傅里叶变换和傅里叶逆变换是互逆变换，即有(7.3.3)或者简写为7.3.2多维傅氏变换在多维（维）情况下，完全可以类似地定义函数的傅氏变换如下：它的逆变换公式为：7.3.3傅里叶变换的三种定义式在实际应用中，傅里叶变换常常采用如下三种形式，由于它们采用不同的定义式，往往给出不同的结果，为了便于相互转换，特给出如下关系式：1.第一种定义式2.第二种定义式3.第三种定义式三者之间的关系为三种定义可统一用下述变换对形式描述特别说明：不同书籍可能采用了不同的傅氏变换对定义，所以在傅氏变换的运算和推导中可能会相差一个常数倍数比如，读者应能理解．本书采用的傅氏变换(对)是大量书籍中常采用的统一定义,若未特殊申明，均使用的是第二种定义式．7.3.4广义傅里叶变换前面我们定义的傅氏变换要求满足狄利克雷条件，那么对一些很简单、很常用的函数，例如单位阶跃函数，正、余弦函数等都无法确定其傅氏变换．这无疑限制了傅氏变换的应用．所以我们引入广义傅氏变换概念系指函数及其相关函数的傅氏变换．在后面我们将看到，函数的傅氏变换在求解数理方程中有着特殊的作用．这里先介绍其有关基本定义和性质．1.函数定义定义7.3.3函数如果一个函数满足下列条件，则称之为函数，并记为(7.3.4)且(7.3.5)我们不加证明地指出与定义7.3.3等价的函数的另一定义定义7.3.4函数如果对于任意一个在区间上连续的函数恒有则称满足上式中的函数为函数，对于任意的连续可微函数,定义函数的导数为（7.3.6）根据上式显然有（7.3.7）由函数定义7.3.4有(7.3.8)2.函数性质性质1对于的实常数，有(7.3.9)性质2设，则当时，即对应为，故为偶函数．