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是否现在的我们确实感觉艰累?既要承受种种外部的压力,更要面对自己内心的煎熬。在苦苦挣扎中,在题海中沐浴,窒息,作呕----是否如果有人向你投以理解的目光,会感到一种生命的暖意,或许仅有短暂的一瞥,就足以令你感奋不已。然而,快乐总有悲伤伴陪,雨过总会是晴天。坚持-----成功越来越近Emmer1、确定一个圆的位置与大小的条件是什么?①.圆心与半径2、叙述角平分线的性质与判定性质:角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。判定:到这个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。3、下图中△ABC与圆O的关系?△ABC是圆O的内接三角形;圆O是△ABC的外接圆圆心O点叫△ABC的外心或②.不在同一直线上的三点ABCO如图是一块三角形木料,木工师傅要从中裁下一块圆形用料,怎样才能使裁下的圆的面积尽可能大呢?ABCABC三角形的外接圆在实际中很有用,但还有用它不能解决的问题.如CBADFEOr思考下列问题:1.如图,若⊙O与∠ABC的两边相切,那么圆心O的位置有什么特点?圆心0在∠ABC的平分线上。2.如图2,如果⊙O与△ABC的内角∠ABC的两边相切,且与内角∠ACB的两边也相切,那么此⊙O的圆心在什么位置?圆心0在∠BAC,∠ABC与∠ACB的三个角的角平分线的交点上。OMABCNO图2ABC探究:三角形内切圆的作法作法:ABC1、作∠B、∠C的平分线BM和CN,交点为I。I2.过点I作ID⊥BC,垂足为D。3.以I为圆心,ID为半径作⊙I.⊙I就是所求的圆。MND试一试:你能画出一个三角形的内切圆吗?•这样的圆可以作出几个?为什么?.想一想1∵直线BE和CF只有一个交点I,并且点I到△ABC三边的距离相等(为什么?),∴因此和△ABC三边都相切的圆可以作出一个,并且只能作一个.三角形与圆的位置关系ABCI●┓●EF三角形与圆的位置关系•这圆叫做三角形的内切圆.这个三角形叫做圆的外切三角形.•内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点,叫做三角形的内心.议一议3老李提示:多边形的边与圆的位置关系称为切.ABC●I定义:和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心叫做三角形的内心,这个三角形叫做圆的外切三角形。1.三角形的内心到三角形各边的距离相等;性质:CBADFEOr2.三角形的内心在三角形的角平分线上;ABCO名称确定方法图形性质ABCO内心(三角形内切圆的圆心)三角形三边中垂线的交点三角形三条角平分线的交点(1)OA=OB=OC(2)外心不一定在三角形的内部.(1)到三边的距离相等;(2)OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB;(3)内心在三角形内部.外心(三角形外接圆的圆心)定义:和多边形各边都相切的圆叫做,这个多边形叫做。多边形的内切圆圆的外切多边形内切外切如上图,四边形DEFG是⊙O的四边形,⊙O是四边形DEFG的圆,DEFG.O思考:我们所学的平行四边形,矩形,菱形,正方形,等腰梯形中,哪些四边形一定有内切圆?(菱形,正方形一定有内切圆)1.如图1,△ABC是⊙O的三角形。⊙O是△ABC的圆,点O叫△ABC的,它是三角形的交点。外接内接外心三边中垂线2.如图2,△DEF是⊙I的三角形,⊙I是△DEF的圆,点I是△DEF的心,它是三角形的交点。ABCO.图1IDEF.图2外切内切内三条角平分线3.三角形的内切圆能作____个,圆的外切三角形有_____个,三角形的内心在三角形的_______.1无数内部探讨1:(1)任意一个三角形一定有一个外接圆,并且只有一个外接圆.(2)任意一个圆一定有一个内接三角形,并且只有一个内接三角形.(3)任意一个三角形一定有一个内切圆,并且只有一个内切圆.(4)任意一个圆一定有一个外切三角形,并且只有一个外切三角形正确说法有_______________________(1)(3)1.一个三角形有且只有一个内切圆;2.一个圆有无数个外切三角形;3.三角形的内心就是三角形三条内角平分线的交点;4.三角形的内心到三角形三边的距离相等。例题赏析4如图,在△ABC中,∠A=68°,点I是内心,求∠BIC的度数问你:若点I是外心呢?(2)若∠A=80°,则∠BOC=度。(3)若∠BOC=100°,则∠A=度。解:13020(1)∵点O是△ABC的内心,∴∠BOC=180°-(∠1+∠3)=180°-(25°+35°)例1如图,在△ABC中,点O是内心,(1)若∠ABC=50°,∠ACB=70°,求∠BOC的度数ABCO=120°)1(324同理∠3=∠4=∠ACB=70°=35°2121∴∠1=∠2=∠ABC=50°=25°2121例题赏析1理由:∵点O是△ABC的内心,∴∠1+∠3=(∠ABC+∠ACB)21∴∠1=∠ABC,∠3=∠ACB2121=180°-(90°-∠A)21=(180°-∠A)21=90°+∠A21=90°-∠A21答:∠BOC=90°+∠A21(4)试探索:∠A与∠BOC之间存在怎样的数量关系?请说明理由。ABCO)1(324在△OBC中,∠BOC=180°-(∠1+∠3)例2△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F,且AB=9cm,BC=14cm,CA=13cm,求AF、BD、CE的长.解:设AF=x(cm),BD=y(cm),CE=z(cm)∴AF=4(cm),BD=5(cm),CE=9(cm).∵⊙O与△ABC的三边都相切∴AF=AE,BD=BF,CE=CD则有x+y=9y+z=14x+z=13解得x=4y=5z=9已知:在△ABC中,BC=14,AC=9,AB=13,它的内切圆分别和BC、AC、AB切于点D、E、F,求AF、BD和CE的长。ABCFDExx13-x13-x9-x9-x∴(13-x)+(9-x)=14解得x=4∴AF=4,BD=9,CE=51.△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、AC分别相切于点D、E、F,且AB=5厘米,BC=9厘米,AC=6厘米,则AD=______,BE=_______,CF=______.(第1题)1厘米4厘米5厘米·BDEFOCA如图,△ABC的内切圆的半径为r,△ABC的周长为l,求△ABC的面积S.解:设△ABC的内切圆与三边相切于D、E、F,连结OA、OB、OC、OD、OE、OF,则OD⊥AB,OE⊥BC,OF⊥AC.∴S△ABC=S△AOB+S△BOC+S△AOC=AB·OD+BC·OE+AC·OF21212121=l·r设△ABC的三边为a、b、c,面积为S,则△ABC的内切圆的半径r=2Sa+b+c三角形的内切圆的有关计算·ABCEDFO如图,Rt△ABC中,∠C=90°,BC=a,AC=b,AB=c,⊙O为Rt△ABC的内切圆.求:Rt△ABC的内切圆的半径r.设AD=x,BE=y,CE=r∵⊙O与Rt△ABC的三边都相切∴AD=AF,BE=BF,CE=CD则有x+r=by+r=ax+y=c解:设Rt△ABC的内切圆与三边相切于D、E、F,连结OD、OE、OF则OA⊥AC,OE⊥BC,OF⊥AB。解得r=a+b-c2设Rt△ABC的直角边为a、b,斜边为c,则Rt△ABC的内切圆的半径r=或r=a+b-c2aba+b+c·ABCEDFO如图,Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3,AC=4,⊙O为Rt△ABC的内切圆.(1)求Rt△ABC的内切圆的半径.(2)若移动点O的位置,使⊙O保持与△ABC的边AC、BC都相切,求⊙O的半径r的取值范围。设AD=x,BE=y,CE=r∵⊙O与Rt△ABC的三边都相切∴AD=AF,BE=BF,CE=CD则有x+r=4y+r=3x+y=5解:(1)设Rt△ABC的内切圆与三边相切于D、E、F,连结OD、OE、OF则OA⊥AC,OE⊥BC,OF⊥AB。解得r=1在Rt△ABC中,BC=3,AC=4,∴AB=5由已知可得四边形ODCE为正方形,∴CD=CE=OD∴Rt△ABC的内切圆的半径为1。(2)如图所示,设与BC、AC相切的最大圆与BC、AC的切点分别为B、D,连结OB、OD,则四边形BODC为正方形。·ABODC∴OB=BC=3∴半径r的取值范围为0<r≤3几何问题代数化是解决几何问题的一种重要方法。比一比看谁做得快.ABC直角三角形的两直角边分别是5cm,12cm.则其内切圆的半径为______。O2cm在△ABC中,∠C=90°,BC=3,AC=4.求这个三角形的外接圆半径和内切圆半径.BAC解:如图:由勾股定理可得:O5432222BCACAB∴外接圆半径R=2.5由我们推导的三角形的面积公式可知:rACBCABSABC)(21rBCACABBCAC)(2121r)345(214321解得:r=1r小结:三角形的内切圆(1)三角形的内心是三角形内切圆的圆心(2)三角形的内心是三角形各角平分线的交点(3)三角形内心到三边的距离相等(4)三角形面积(C为三角形周长,r为内切圆半径)rCS212cbar(5)直角三角形的内切圆的半径为r与各边长a、b、c的关系是2、菱形ABCD中,周长为40,∠ABC=120°,则内切圆的半径为()(A)(B)(C)(D)332232225325ABCDEFO3、如图,⊙O是△ABC的内切圆,D、E、F是切点,∠A=50°,∠C=60°,则∠DOE=()(A)70°(B)110°(C)120°(D)130°(A)梯形(B)菱形(C)矩形(D)平行四边形1、下列图形中,一定有内切圆的四边形是()BB4、等边三角形的内切圆半径、外接圆的半径和高的比为()(A)1∶∶(B)1∶2∶(C)1∶∶2(D)1∶2∶323335、存在内切圆和外接圆的四边形一定是()(A)矩形(B)菱形(C)正方形(D)平行四边形DCCABRrOD6.已知:△ABC的内切圆分别和BC、AC、AB相切于点D、E、F,∠DIE=120°,∠EIF=130°.求△ABC的三个内角的度数.ABC●IDEF7.如图,△ABC中,E是内心,∠A的平分线和△ABC的外接圆相交于点D.求证:DE=DBDECBA12345DE²=AE·DF.F
本文标题:三角形内切圆
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