高中理科数学解题方法篇(圆锥曲线)

第1页共16页攻克圆锥曲线解答题的策略第一、知识储备：1.直线方程的形式（1）直线方程的形式有五件：点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。（2）与直线相关的重要内容①倾斜角与斜率tan,[0,)k②点到直线的距离0022AxByCdAB③夹角公式：2121tan1kkkk（3）弦长公式直线ykxb上两点1122(,),(,)AxyBxy间的距离：2121ABkxx221212(1)[()4]kxxxx或12211AByyk（4）两条直线的位置关系①1212llkk=-1②212121//bbkkll且2、圆锥曲线方程及性质(1)、椭圆的方程的形式有几种？（三种形式）标准方程：221(0,0)xymnmnmn且距离式方程：2222()()2xcyxcya参数方程：cos,sinxayb(2)、双曲线的方程的形式有两种标准方程：221(0)xymnmn距离式方程：2222|()()|2xcyxcya(3)、三种圆锥曲线的通径你记得吗？22222bbpaa椭圆：；双曲线：；抛物线：(4)、圆锥曲线的定义你记清楚了吗？如：已知21FF、是椭圆13422yx的两个焦点，平面内一个动点M满足221MFMF则动点M的轨迹是（）A、双曲线；B、双曲线的一支；C、两条射线；D、一条射线第2页共16页(5)、焦点三角形面积公式：122tan2FPFPb在椭圆上时，S122cot2FPFPb在双曲线上时，S（其中2221212121212||||4,cos,||||cos||||PFPFcFPFPFPFPFPFPFPF）(6)、记住焦半径公式：（1）00;xaexaey椭圆焦点在轴上时为焦点在y轴上时为，可简记为“左加右减，上加下减”。（2）0||xexa双曲线焦点在轴上时为（3）11||,||22ppxxy抛物线焦点在轴上时为焦点在y轴上时为(6)、椭圆和双曲线的基本量三角形你清楚吗？第二、方法储备1、点差法（中点弦问题）设11,yxA、22,yxB，baM,为椭圆13422yx的弦AB中点则有1342121yx，1342222yx；两式相减得03422212221yyxx3421212121yyyyxxxxABk=ba432、联立消元法：你会解直线与圆锥曲线的位置关系一类的问题吗？经典套路是什么？如果有两个参数怎么办？设直线的方程，并且与曲线的方程联立，消去一个未知数，得到一个二次方程，使用判别式0，以及根与系数的关系，代入弦长公式，设曲线上的两点1122(,),(,)AxyBxy，将这两点代入曲线方程得到○1○2两个式子，然后○1-○2，整体消元······，若有两个字母未知数，则要找到它们的联系，消去一个，比如直线过焦点，则可以利用三点A、B、F共线解决之。若有向量的关系，则寻找坐标之间的关系，根与系数的关系结合消元处理。一旦设直线为ykxb，就意味着k存在。例1、已知三角形ABC的三个顶点均在椭圆805422yx上，且点A是椭圆短轴的一个端点（点A在y轴正半轴上）.（1）若三角形ABC的重心是椭圆的右焦点，试求直线BC的方程;（2）若角A为090，AD垂直BC于D，试求点D的轨迹方程.分析：第一问抓住“重心”，利用点差法及重心坐标公式可求出中点弦BC的斜率，从而写出直线BC的方程。第二问抓住角A为090可得出AB⊥AC，从而得016)(14212121yyyyxx，然后利用联立消元法及交轨法求出点D的轨迹方程；第3页共16页解：（1）设B（1x,1y）,C(2x,2y),BC中点为(00,yx),F(2,0)则有11620,1162022222121yxyx两式作差有016))((20))((21212121yyyyxxxx04500kyx(1)F(2,0)为三角形重心，所以由2321xx，得30x，由03421yy得20y，代入（1）得56k直线BC的方程为02856yx2)由AB⊥AC得016)(14212121yyyyxx（2）设直线BC方程为8054,22yxbkxy代入，得080510)54(222bbkxxk2215410kkbxx，222154805kbxx2222122154804,548kkbyykkyy代入（2）式得0541632922kbb，解得)(4舍b或94b直线过定点（0，)94，设D（x,y），则1494xyxy，即016329922yxy所以所求点D的轨迹方程是)4()920()916(222yyx。4、设而不求法例2、如图，已知梯形ABCD中CDAB2，点E分有向线段AC所成的比为，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点当4332时，求双曲线离心率e的取值范围。分析：本小题主要考查坐标法、定比分点坐标公式、双曲线的概念和性质，推理、运算能力和综合运用数学知识解决问题的能力。建立直角坐标系xOy，如图，若设Chc,2，代入12222byax，求得h，进而求得,,EExy再代入12222byax，建立目标函数(,,,)0fabc，整理(,)0fe，此运算量可见是难上加难.我们对h可采取设而不求的解题策略,建立目标函数(,,,)0fabc，整理(,)0fe,化繁为简.第4页共16页解法一：如图，以AB为垂直平分线为y轴，直线AB为x轴，建立直角坐标系xOy，则CD⊥y轴因为双曲线经过点C、D，且以A、B为焦点，由双曲线的对称性知C、D关于y轴对称依题意，记A0,c，Chc,2，E00,yx，其中||21ABc为双曲线的半焦距，h是梯形的高，由定比分点坐标公式得122120cccx，10hy设双曲线的方程为12222byax，则离心率ace由点C、E在双曲线上，将点C、E的坐标和ace代入双曲线方程得14222bhe，①11124222bhe②由①式得14222ebh，③将③式代入②式，整理得214442e，故1312e由题设4332得，43231322e解得107e所以双曲线的离心率的取值范围为10,7分析：考虑,AEAC为焦半径,可用焦半径公式,,AEAC用,EC的横坐标表示，回避h的计算,达到设而不求的解题策略．解法二：建系同解法一，,ECAEaexACaex，22121Ecccx，又1AEAC，代入整理1312e，由题设4332得，43231322e第5页共16页解得107e所以双曲线的离心率的取值范围为10,75、判别式法例3已知双曲线122:22xyC，直线l过点0,2A，斜率为k，当10k时，双曲线的上支上有且仅有一点B到直线l的距离为2，试求k的值及此时点B的坐标。分析1：解析几何是用代数方法来研究几何图形的一门学科，因此，数形结合必然是研究解析几何问题的重要手段.从“有且仅有”这个微观入手，对照草图，不难想到：过点B作与l平行的直线，必与双曲线C相切.而相切的代数表现形式是所构造方程的判别式0.由此出发，可设计如下解题思路：10)2(:kxkylkkkxyl2222:'的值解得k解题过程略.分析2：如果从代数推理的角度去思考，就应当把距离用代数式表达，即所谓“有且仅有一点B到直线l的距离为2”，相当于化归的方程有唯一解.据此设计出如下解题思路：简解：设点)2,(2xxM为双曲线C上支上任一点，则点M到直线l的距离为：212222kkxkx10k于是，问题即可转化为如上关于x的方程.由于10k，所以kxxx22，从而有.222222kxkxkxkx于是关于x的方程把直线l’的方程代入双曲线方程，消去y，令判别式0直线l’在l的上方且到直线l的距离为2转化为一元二次方程根的问题求解问题关于x的方程10212222kkkxkx有唯一解第6页共16页)1(22222kkxkx02)1(2,)2)1(2(222222kxkkkxkkx.02)1(2,022)1(22)1(221222222kxkkkkxkkkxk由10k可知：方程022)1(22)1(22122222kkxkkkxk的二根同正，故02)1(22kxkk恒成立，于是等价于022)1(22)1(22122222kkxkkkxk.由如上关于x的方程有唯一解，得其判别式0，就可解得552k.点评：上述解法紧扣解题目标，不断进行问题转换，充分体现了全局观念与整体思维的优越性.例4已知椭圆C:xy2228和点P（4，1），过P作直线交椭圆于A、B两点，在线段AB上取点Q，使APPBAQQB，求动点Q的轨迹所在曲线的方程.分析：这是一个轨迹问题，解题困难在于多动点的困扰，学生往往不知从何入手。其实，应该想到轨迹问题可以通过参数法求解.因此，首先是选定参数，然后想方设法将点Q的横、纵坐标用参数表达，最后通过消参可达到解题的目的.由于点),(yxQ的变化是由直线AB的变化引起的，自然可选择直线AB的斜率k作为参数，如何将yx,与k联系起来？一方面利用点Q在直线AB上；另一方面就是运用题目条件：APPBAQQB来转化.由A、B、P、Q四点共线，不难得到)(82)(4BABABAxxxxxxx，要建立x与k的关系，只需将直线AB的方程代入椭圆C的方程，利用韦达定理即可.通过这样的分析，可以看出，虽然我们还没有开始解题，但对于如何解决本题，已经做到心中有数.将直线方程代入椭圆方程，消去y，利用韦达定理利用点Q满足直线AB的方程：y=k(x—4)+1，消去参数kQBAQPBAP)(82)(4BABABAxxxxxxxkfx第7页共16页在得到kfx之后，如果能够从整体上把握，认识到：所谓消参，目的不过是得到关于yx,的方程（不含k），则可由1)4(xky解得41xyk，直接代入kfx即可得到轨迹方程。从而简化消去参的过程。简解：设),(),(,,2211yxQyxByxA，，则由QBAQPBAP可得：xxxxxx212144，解之得：)(82)(4212121xxxxxxx（1）设直线AB的方程为：1)4(xky，代入椭圆C的方程，消去y得出关于x的一元二次方程：08)41(2)41(412222kxkkxk（2）∴.128)41(2,12)14(42221221kkxxkkkxx代入（1），化简得：.234kkx(3)与1)4(xky联立，消去k得：.0)4(42xyx在（2）中，由02464642kk，解得41024102k，结合（3）可求得.910216910216x故知点Q的轨迹方程为：042yx（910216910216x）.点评：由方程组实施消元，产生一个标准的关于一个变量的一元二次方程，其判别式、韦达定理模块思维易于想到.这当中，难点在引出参，活点在应用参，重点在消去参.，而“引参、用参、消参”三步曲，正是解析几何综合问题求解的一条有效通道