横截面上内力只有剪力和弯矩

第2章杆件的内力2.1内力的概念2.2轴力与轴力图2.3梁的内力与内力图第2章杆件的内力问题引入2.1内力的概念外力内力如荷载、约束反力如轴力、剪力、弯矩等构件外部之力构件内部之力（由表及里）?2.1.1内力的概念荷载作用结论：力的外效应力的内效应内力计算分析强度、刚度、稳定性的基础结构处于平衡约束反力＋结构发生变形附加内力＋2.1.2基本变形1）构件的几何特征构件长度横截面尺寸远大于杆抽象成轴线和横截面几何特征等截面直杆等截面曲杆横截面横截面矩形截面折杆变截面直杆变截面曲杆直杆长度方向垂直横截面形心轴线连线垂直曲杆弧长方向横截面形心连线轴线2）杆件的基本变形①轴向拉伸或压缩②剪切③扭转外力作用方式有关（外力作用线与杆轴线重合）（横向外力相距很近、方向相反）（一对转向相反的力偶作用）④弯曲（纵向平面内的一对力偶作用）纯弯曲（横向力作用）弯曲＋剪切横力弯曲组合变形基本变形分解叠加＋＝双向偏心受压柱两单向偏心受压柱之和既受压又受弯扭弯组合扭转弯曲＋＝2.1.3截面法用一平面截杆暴露内力确定内力1）截取横截面（m—m）两部分Ⅰ和Ⅱ截断杆若取Ⅰ为研究对象，则弃掉Ⅱ，反之亦然。2）代替分布内力（合力N）Ⅱ对Ⅰ的反作用力Ⅰ对Ⅱ的作用力3）平衡0:0PNXPN观察思考截面m—m截杆为Ⅰ和Ⅱ，取Ⅱ为研究对象，判断截面上之内力。2.2轴力与轴力图问题引入如何用截面法求出轴力？轴力沿杆之轴线是如何变化的？2.2.1轴力与轴力图与杆轴线重合之内力，称之为轴向内力，简称轴力。PmmⅠ轴力N正负号规定：拉为正（＋），压为负（－）。ⅠⅡmm当轴向外力多于两个时，其轴力将沿轴线变化——轴力图。ⅡmmⅠPmmⅠNN【例2.1】现有一等直杆，试求各截面的轴力并作出轴力图。RkN1020255540R11R111NkN101RN2222R2NkN50402RN33R333NkN555403RN（负值表示轴力为压）44444NkN204N轴力图：轴力沿杆长变化的图形。【解】2.2.2举例3m4m【例2.2】图示砖柱，上段截面尺寸为240mm240mm，承受荷载P1＝50kN；下段370mm370mm，承受荷载P2＝100kN；已知砖的容重，试求各段轴力。3mkN19【解】设AB段的自重为q1，横截面积为A1，则kN/m1.124.024.01911Aq设BC段的自重为q2，横截面积为A2，则kN/m6.237.037.01922Aq11N122N211223m4mq2q2q2q1q110.4kN3.3kN50153.3160.4单位：kNN1=P1=50kNN2=P1＋P2=150kN在B处自重产生之轴力:1.1×3＝3.3kN；同理在C处的轴力:2.6×4＝10.4kN。2.3梁的内力与内力图问题引入直线变形曲线变形轴力横截面内力横截面内力剪力和弯矩比较轴向拉压变形梁的弯曲变形？2.3.1梁的剪力与弯矩1）工程中的受弯杆梁AB简支梁悬臂梁外伸梁受弯构件形状细长犹如“杆”，以直线示之。横截面上内力只有剪力和弯矩。杆梁（外部看）（内部看）2）平面弯曲横截面外力作用在纵向对称平面内平面弯曲荷载只研究梁的平面弯曲3）剪力与弯矩的由来弯曲变形分析中性层力偶力偶矩M使梁发生弯曲变形弯矩弯曲变形梁块错动摩擦力如剪刀剪切截面剪力剪力与弯矩求法截面法平衡方程M、V力（荷载）对梁的效应外效应内效应平衡约束反力=+变形剪力和弯矩=+4）求梁之剪力与弯矩①截取:取m—m截面截梁成两部分；②内力：剪力V、弯矩M；③平衡：因V=YA且V与YA构成一力偶，则必有一反力偶M与之平衡。0:0VYYA0:0oaYMFMA5）剪力、弯矩正负号规定（V绕梁段顺时针转动，则为正）（V绕梁段逆时针转动，则为负）（M使梁段上部受压，下部受拉，则为正）（M使梁段下部受压，上部受拉，则为负）MVMVoAYVaYMAVVVV【例2.3】求图示外伸梁在1－1和2－2截面之内力。【解】（1）求支座反力kN14AYkN9BY1－1截面kN1131411PYVA013:011OAYPMFMmkN53111PYMA2-2截面（2）求截面内力kN9B2YV05.1:02OBYMFMmkN5.1395.15.12BYM规律：PV1.——V值＝所取截面一侧所有外力代数和；左上下右的外力引起正剪力，反之为负剪力。)(OPmM2.——M值＝所取截面一侧所有外力对本截面之矩代数和；向上的外力引起正弯矩，反之为负弯矩。V1M1V2M20:011PVYYA0:02VYYB观察思考试求各梁指定截面的剪力和弯矩。aqaV232323qaMqaV222221qaMqaV212125qaMqaV404MqaV12121qaMqaV232222qaMkNV301mkN451M02VmkN402MlqV87121169lqMlqV2122281lqM2.3.2梁的剪力图和弯矩图xV剪力图之坐标Mx弯矩图之坐标【例2.4】绘制悬臂梁之剪力图和弯矩图PxVlx0xPxMlx0【解】用m—m截面在距A端为x处，截梁并取左段为对象。③M坐标设向下为正，其实是把弯矩图画在梁的哪一侧？mmVMV图和M图剪力方程弯矩方程讨论:①V和M均为负值，这是为什么？②倘若V和M一开始就按实际方向设，结果又如何？x轴——横截面位置V=V（x）——剪力方程M=M（x）——弯矩方程Vx1x2ab【例2.5】绘制图示各梁之剪力图和弯矩图AC段lPbV111xlPbMax10BC段lPaV222xllPaMlxa2AC段lmV111xlmMax10BC段lmRVB222xllmMlxa2规律：在集中力P作用处，剪力图突变，突变值等于P；而弯矩图有转折。规律：在力偶m作用处，弯矩图突变，突变值等于m；而剪力图无变化。VMabx1x2l11V1M1VMM111V1V2M222V2M222【例2.6】绘制简支梁在均布荷载作用下之剪力图和弯矩图mmVMxqqlxV21lx022121xqxqlxMlx0【解】1.求支座反力2.求剪力和弯矩方程3.画V图和M图规律：在均布荷载q作用之区段，V图直线变化；M图呈抛物线形状。规律：（微分关系）xVqdxxdV)(剪力对x的一阶导数等于荷载集度xVxqxV弯矩对x的一阶导数等于剪力，xMxqqldxxdM21)((规定:荷载集度向上为正；向下为负)2maxqlV（在A、B截面）2max81qlM（在截面）2lx若，则M在有极值0)()(xVdxxdM2lx若，则V图直线斜向下，反之斜向上，而M图下凸，反之上凸0)()(22dxXdVdxxdMV=0之处，M有极值q0，V图直线斜向下V2BAqlRR在几种荷载作用下梁的V图和M图MP/2P/2P口诀：荷载均布线，剪力斜直线，弯矩抛物线口诀：集中荷载间，剪力水平线，弯矩斜直线集中荷载点，剪力有突变，弯矩折成尖m/l/2/2V=0口诀：集中力偶点，剪力无变化，弯矩有突变○－qlV图【例2.7】作梁之剪力图和弯矩图注意：在D处V=0，但M=0，并非最大值，Mmax=8kN·m在C处截面。注意：Mmax=27kN·m在何处？设V=0之截面距C端为a，则0618BaqaYVm3a22B362131821qaaYMmkN272754YA=8kNYB=20kNYA=6kNYB=18kNV图M图M图2.3.3叠加法作梁之内力图qxpVmqxpxM221mqpVVVVmqpMMMM叠加原理：若干个荷载共同作用引起的内力＝等于各荷载单独作用引起的内力之代数和。【例2.8】用叠加法作梁之剪力图和弯矩图V【例2.9】用叠加法作梁之弯矩图【例2.10】起吊一根自重量为q(N/m)的等截面钢筋混凝土梁，问起吊点的合理位置x应为多少？【解】1.梁之计算简图梁之吊点2.作梁之弯矩图3.x之合理位置合理设置吊点位置（即x值），使梁内弯矩峰值为最小。条件：2222128121xqxlqxq2221)2(81qxxlq04422lxlx5207.0llx这相当把两支座各内移(1/5)l，由支座负弯矩来减少跨内正弯矩。la=？a=？问题：欲使梁内弯矩峰值为最小，梁两端应外伸多少？即求a=?注意：悬臂作用对梁弯矩影响当a=l/2时，弯矩图如何？固定铰链可动铰链(钢筋砼梁计算简图)外伸梁练习作业2.试判断如图所示的各梁的弯矩图孰对孰错？错者，请说明原因并更正之。1.试判断图中上下两根梁的内力图是否相同，为什么？谢谢！B4