大学物理动量与角动量

第3章动量与角动量（momentumandangularmomentum）描述力的时间累积作用的物理量。1.定义:21ttdtFI2.恒力的冲量:)(12ttFI一、冲量I:§3.1冲量与动量定律212121ttzzttyyttxxdtFIdtFIdtFI分量式：（注意可取+-号）单位:N•∙s注意：冲量是过程矢量，称为一段时间的冲量。其方向和大小取决于力的大小和方向及其作用时间。dFt——无穷小时间间隔内的冲量二、动量:1.定义:vmP单位:kg·m·s-12.性质：动量是瞬时矢量,并且具有相对性。三、质点动量定理dtpdF1.微分形式：21ttdtFI——质点动量定理质点所受合外力的冲量，等于质点动量的增量。1221PPPdtt意义:PddtF2.积分形式：对上式作积分，即zzttzyyttyxxttxmvmvdtFmvmvdtFmvmvdtF121212212121（1）动量为状态量，冲量为过程量。（2）冲量仅决定于始末运动状态的变化，与中间过程无关。（3）注意矢量式，分量式为：质点所受合外力的冲量在某一方向上的分量等于质点动量在该方向上分量的增量。注意21ttdtFI1221PPPdtt例1:质量为m的物体,原来向北运动,速率为vo,它突然受到外力的打击,变为向东运动，速率为。求打击过程外力的冲量大小和方向。ov3oXY1vm2vmp解:jmvvmpo11imvvmpo322(3)根据动量定理建方程12ppI（一般碰撞、打击问题可忽略重力的冲量）223)mv()mv(Ioo与水平方向的夹角xyIItano30jmvimvoo3omv231(1)取m为研究对象，建立坐标系如图。(2)分析动量变化：四、质点的动量定理的应用方法一：外力的冲量为：大小：oXY1vm2vmp解:xxxmvmvI22yyymvmvI12(3)根据动量定理建方程12ppIY方向：223)mv()mv(Ioo与x轴的夹角为xyIItano30omv231(1)取m为研究对象，建立坐标系如图。方法二：X方向：大小：02mv03mv10mv0mv即有：03mvIx0mvIy方向：应用动量定理解题的一般步骤：1.确定研究对象，动量变化的过程2.分析对象受力3.选参照系建坐标系4.计算过程中合外力的冲量及始末态的动量;5.由动量定理列方程求解动量定理一般用于研究冲击问题。因为冲力很难测量,但是碰撞前后的动量极易测量,故可由动量增量求冲量,并估计平均冲力。例2、质量为2.5g的乒乓球以10m/s的速率飞来，被板推挡后，又以20m/s的速率飞出。设两速度在垂直于板面的同一平面内，且它们与板面法线的夹角分别为45o和30o，求:（1）乒乓球得到的冲量；（2）若撞击时间为0.01s，求板施于球的平均冲力的大小和方向。45o30o2v1vxy解:(1)取球为研究对象，由于作用时间很短，忽略重力影响。设挡板对球的冲力为则有：F12vmvmdtFI取坐标系，列分量方程，有：)45cos(30cos12mvmvdtFIxx45sin30sin12mvmvdtFIyy)45cos(30cos12mvmvIx45sin30sin12mvmvIy0.01stN)(7.0N)(1.6yxFF为I与x方向的夹角:6.54tan11480.IIxy(Ns)1014.6222yxIIItFdtFIxxxtFdtFIyyym=2.5g=2.5×10–3kgv1=10m/s,v2=20m/s(2)45o30o2v1vxy0.061(Ns)xI0.007(Ns)yI解方程得：N)(14.622yxFFF例3：一辆煤车以v=3m/s的速率从煤斗下面通过,每秒钟落入车厢的煤为Q=500kg。如果车厢的速率保持不变,应用多大的牵引力拉车厢?（2）设以地面为参考系，建立直角坐标系如图，解:（1）研究对象：dm，分析煤落入车厢的过程mdmvFOX0ivmd（4）计算:ivmdpdtdFNvvtdmdF150003500Q问题：若煤从h高处落下,煤对车的作用力多大？落前动量：落后动量：设dt时间内落入车厢的煤的质量dm（3）分析：由动量定理可得:（2）设以地面为参考系，建立直角坐标系如图，解:(1)研究对象：dm，分析煤落入车厢的过程jghmd2imvd由动量定理可得:)jghdm(idmvtdF2)jghiv()jghiv(tdmdF22QOXY落前动量:落后动量:mdmvh=0.5m)jghiv(dm2（3）分析：（4）计算:)(Q2ghvF22方向：设与x轴成角vghtg2研究对象:外力:内力:iFijfm1m2mnmiF1FiF2Fnf12fi2f21f1ifi1五、质点系动量定理运用质点动量定理对各个物体列方程，然后各式相加整理得：系统-------多个质点构成的整体。td)F(Iniitt121niiniiPP1112niiP1系统所合外力的冲量等于该系统动量的增量-------质点系动量定理。一、质点动量守恒定律:时0F当cvmvm12二、质点系动量守恒定律:01niiF当时cPnii1在某一过程中，当质点所受合外力为零时，质点动量守恒。在某一过程中,当质点系所受合外力为零时,质点系动量守恒。§3.2动量守恒定律niiiniiivmvm101即PdtFtt21niiniittPtd)F(1121三、直角坐标系下的动量守恒定律:常量xxP,F0当常量yyP,F0当常量zzP,F0当当系统在某一方向上受合外力为零时,系统动量在该方向的分量守恒。注意:即0ixiixivmvm0iyiiyivmvm即0iziizivmvm即1.动量定理及动量守恒定律只适用于惯性系，各速度应是相对同一惯性参考系。动量和力是矢量，可沿坐标轴分解用分量计算。2.若某个方向上合外力为零，则该方向上动量守恒，尽管总动量可能并不守恒。4.动量守恒定律比牛顿定律更普遍、更基本，在宏观和微观领域均适用。5.用守恒定律做题，应注意选择系统，分析过程和条件。3.实际问题中,当外力内力且作用时间极短时（如碰撞）可认为动量近似守恒。例1:质量为M，仰角为α的炮车发射了一枚质量为m的炮弹，炮弹发射时相对炮身的速率为u，不计摩擦，求：炮弹出口时炮车的速率v1；设炮弹相对于地面的速度为v2gm解:系统:炮车和炮弹参考系:地面，建立直角坐标系如图系统所受外力分析：由相对速度的概念可得12vuv得12cosvuvxLuyxONgMN，Mg，mg都沿竖直方向，水平方向合外力为零，系统总动量x分量守恒。021xmvMv则有：整理可得021xmvMv12cosvuvx解得cos1umMmv“－”号表示炮车反冲速度与x轴正向相反。gmLuyxONgM运用动量守恒定理解题步骤：1.选系统，确定研究对象，建立坐标系；2.找出研究过程，分析系统受力；3.合外力为零时，可用动量守恒定理列方程求解。（一般在给定坐标系下用分量形式列方程。）4.若合外力不为零，但某个方向上合外力为零，可运用该方向上动量守恒列方程求解。注意列方程时各物理量均用字母表示，不要代数值，所有表示未知量的字母前都取“正号”，当最终解得结果大于0时，说明它的方向与选定的坐标轴正方向相同，否则相反。两个或两个以上的物体相互作用，且作用力较大时间极为短暂的过程。本节主要研究对心碰撞，即碰撞前后物体在一条直线上。四、碰撞1.碰撞：由于碰撞过程中物体之间的相互作用时间极为短暂，而相互作用的冲力很大，物体所受的其他常规作用力（如重力)可忽略，因此，系统的动量守恒。碰撞过程的特点：1、各个物体的动量明显改变。2、系统的总动量守恒。（3）完全非弹性碰撞：两球碰后合为一体，以共同的速度运动。（2）非弹性碰撞：2.碰撞分类：（1）(完全)弹性碰撞：碰撞后，物体可恢复原状，系统的机械能（动能）完全没有损失。特点：动量守恒，机械能（动能）守恒，碰撞过程中系统的机械能（动能）要损失一部分。特点：动量守恒。机械能不守恒，特点：动量守恒，机械能不守恒。例：质量M的沙箱，悬挂在线的下端，质量m，速率v0的子弹水平地射入沙箱，并与沙箱一起摆至某一高度h为止。试求子弹的速率v0，并说明在此过程中机械能损失多少。0mMh解：经历两个过程。2.上升过程，只有重力作功，子弹、沙箱、地球组成的系统机械能守恒。mghMm2)(01.子弹与沙箱碰撞，水平方向受外力为0，水平方向动量守恒。碰撞过程中机械能不守恒。机械能损失为：220)(2121MmmEkghMmmM)(即有：)(0MmmghMmMm)()(212解得：例3:质量为M的木块在光滑的固定斜面上由A点静止下滑，经路程l后到B点时，木块被一水平射来速度为v的子弹m击中，子弹射入木块中，求:射中后二者的共同速度。分析：分为两个阶段：第一阶段：A到B，机械能守恒sin212MglMvB第二阶段：M，m碰撞阶段，取木块与子弹组成的系统为研究对象，内力外力，可用动量守恒定律求近似解。AvBxyBv由机械能守恒，沿斜面方向动量守恒有：mMglMmvVsin2cosVmMMvmvB)(cos解：建立坐标如图，解方程得：设木块运动到B点的速度为vB,,共同速度为V例：一质量为m的物体，从质量为M的圆弧形槽顶由静止滑下，圆弧形槽的半径为R，张角为900。如果所有摩擦可以忽略。求：1.物体刚离开槽底端时，物体和槽的速度各是多少？2.物体从A滑到B的过程中，物体对槽所做的功。3.物体达B时对槽的压力N’。RAB解:1.设物体刚离开槽时，物体和槽的速度分别是v,V，222121MVmvmgR0MVmvmMMgRv2Xo解方程可得:)(mMMgRmV2vVmgN将物体与槽视为系统，只有重力做功，且水平方向合外力为零：2.物体从A滑到B的过程中，物体对槽所做的功：mMgRmMVA22213.物体相对于槽的速度是：4.由牛顿第二定律有RvmmgN2'mgMmN)23()mM(MgRmmMMgRVvv22物体对槽的压力是N’=-NRABvVmgN[例2]如图，一个有1/4圆弧滑槽的大物体的质量为M，停在光滑的水平面上，另一质量为m的小物体自圆弧顶点由静止下滑。求当小物体m滑到底时，大物体M在水平面上移动的距离。解:如图，系统水平方向动量守恒。对上式积分有：即：MVmxttxtVMtm00dd以S和S‘分别表示m和M在水平方向移动的距离，则有SS’SMmSRMmmSttxtVStS00d,d因而有又可得SRSXZYOm2r2m1r1miricrcrNmN§3.3质心iiiiicmrmr对于分立体系：直角坐标系下：mxmxiiicmymyiiicmzmziiicmrmiii质点系质量中心的简称质心一、质心dmdmrrc对于连续体：直角坐标系下：mxdmxcmydmycmzdmzcXZYOcrcmdmrdmr(1)几何形状对称的均质物体，质心就是几何对称中心。(2)有些物体的质心可能不在所求的物体上。(3)重心是重力合力的作用点，尺寸不大的物体，质心与重心重合。●c●c几点说明：iiiiicmrmrtrvccddiii