第六章 信号的矢量空间分析

第六章信号的矢量空间分析§6.1引言信号表示式与多维矢量之间存在许多形式上的类似，信号用多维矢量描述便于对信号的性能、信号分析与处理进行更深入的研究。本章主要内容•利用矢量空间方法研究信号理论的基本概念；•信号的正交函数分解；•相关函数；•能量谱和功率谱；•相关、正交概念的应用：匹配滤波器，码分复用技术。§6.2信号矢量空间的基本概念一．线性空间定义：是这样一种集合，其中任意两元素相加可构成此集合内的另一元素，任意元素与任意数（可以是实数也可以是复数）相乘后得到此集合内的另一元素。例:NNR维实数空间NNC维复数空间L连续时间信号空间l离散时间信号空间二．范数表示，满足以下公理的范数以符号线性空间中元素xx。　　　三角形不等式　　　；　有　　量　正齐性　　对所有数；时当且仅当　正定性　　　yxyx3xx,20x0x,0x1ααα空间的范数；与NNC.R1阶范数定义为的空间元素与在为实数，令pxxxxppNNN,,,CR,121max1def111pxpxxiNipNipip对于对于常用范数11,1max21121121xxx)Euclidean(2范数或欧氏距。也称为欧氏矢量的长度。理意义是空间中，二阶范数的物在二维或三维实数矢量x中的范数和离散时间信号空间连续时间信号空间lL.2定义如下阶范数的中，元素连续时间信号空间ppxLx1sup1dx1ptxpttxpppsup1xp1pnxpnxnpp这里sup表示信号的最小上界，对于定义在闭区间内的信号，sup表示其幅度值。的定义阶范数的元素中离散时间信号空间ppnxlx,2(3)常用的范数Ldx1空间ttx空间lnxnx1可见，一阶范数表示信号作用的强度。一阶范数dxdxL2222122ttxttx即空间xx2222122nnnxnxl即空间物理意义：二阶范数的平方表示信号的能量。二阶范数supxLtx空间supxnxl空间,号的幅度。可测得的峰值，也即信表示信号闭区间上的物理意义：对于定义在xtx三．内积21222211cosyxyxyx内积（点积）运算对应于二维矢量空间的2211yxyx121x2x1y2yxy212221212221221121cosyyxxyxyx直角坐标平面内两矢量相对位置关系利用范数符号，将矢量长度分别写作21222122122212yxyyxx于是上式表明：给定的矢量长度，标量乘积式反映了两矢量之间相对位置的“校准”情况。即标量乘积为零两矢量之夹角为,90,0cos21标量乘积取最大值两矢量夹角为,0,1cos2121222211cosyxyxyx332211yxyxyx多维维实线性空间NyxiNiiy,x1维复线性空间NyxiNiiy,x1三维推广信号空间dyx,连续时间信号ttytxyx,Z离散时间信号nnynx对于L空间或l空间，信号x与其自身的内积运算为xdxx,222连续ttxxxx,222离散Znnx内的两连续信号的内积Ly,yx,xy,x2四．柯西－施瓦茨不等式Cauchy-Schwarz不等式§6.3信号的正交函数分解将任意信号分解为单元信号之和，从而考查信号的特性。简化系统分析与运算，总响应=单元响应之和。信号分解的目的niitete0teiHtriniiniitrteHteHtr002VVeeVVcV2121误差矢量)cos(211212VVVVc2221222121221112)cos()cos(VVVVVVVVVVVVVVc系数021VV两矢量正交怎样分解，能得到最小的误差分量？012c即1V2V21Vc1eV2eVeV22Vc212Vc方式不是惟一的：表示，用21VV1211eVVcV一．矢量的正交分解eVVc212222eVVc正交分解•空间中任一矢量可分解为x,y,z三方向矢量。•平面中任一矢量可分解为x,y二方向矢量。•一个三维空间矢量，必须用三个正交的矢量来表示，如果用二维矢量表示就会出现误差：hzjyixV0,hzVjyixVe二．正交函数表示，即用内，信号在区间tftfttt2121)()(2121tfctf误差21d)(1)(22121222ttettfctftttfε求得必需使最小的为求使,0dd,122122cctftftftfttfttftfctttt(),((),(d)(d)()(22212221122121称为正交函数，满足则，若)(),(02112tftfc0d)()(2121ttftftt系数三．正交函数集任意信号f(t)可表示为n维正交函数之和：nrrrnnrrtgctgctgctgctgctf12211)()()()()()(原函数近似函数)(),()(),(d)()(d)(d)()(2121212tgtgtgtfKttgtfttgttgtfcrrrrttrttrttrr相互正交：tgtgtgr21,jiKjittgtgittji,,0d)()(21r=0,1,2,...n基底函数正交函数集tgtgtgr21,分解原则是误差函数方均值最小d)]()([1)(21122122误差信号功率误差信号能量ettnrrrefttgctftttf表达式可得令rnrcCCCC0,,0,,0,0222212理解rttrttrttrrKttgtfttgttgtfc212121d)()(d)(d)()(2•正交函数集规定：所有函数应两两正交。不能因一个函数集中某几个函数相互正交就说该函数集是正交函数。•是相互独立的，互不影响，计算时先抽取哪一个都可以，非正交函数就无此特性。nccc,,21•此公式是个通式，适合于任何正交函数集。•两周期信号在同一周期内(同区间内)正交的条件是c12=0，即：总结0d)()(21Tttftf•两个信号不正交，就有相关关系，必能分解出另一信号。•对一般信号在给定区间正交，而在其他区间不一定满足正交。四.复变函数的正交特性jitgtgttgtgjittji0)(),(d)()(21*iiittiiKtgtgttgtg)(),(d)()(21*求系数表示用),(),2,1,0(,)(tfnrtgr的共轭为)()(,d)()(d)()(2121tgtgttgtgttgtfcrrttrrttrr则此复变函数集为正交函数集。0d)()(d)()(21211221ttttttftfttftf满足关系内，复变函数集若在区间nrtgttr,,2,1,21内相互正交的条件是两复变函数在区间21,tt§6.4完备正交函数集、帕塞瓦尔定理定义1：定义2：一．完备正交函数集nrrrnnrrtgctgctgctgctgctf12211)()()()()()(为完备的正交函数集。，此时，则下降，若增加时，当tgtgtgtgnnnr2122,0不完备。数集于此正交函数集，原函必属，则有如果存在函数tgtgtgtgtxttxtgtxnrttr21,0d)()(,21二．帕塞瓦尔定理物理意义：一个信号所含有的能量（功率）恒等于此信号在完备正交函数集中各分量能量（功率）之和。121222212121d)(ddrttrrrttrrttttgCttgCttf信号的能量基底信号的能量各信号分量的能量数学本质：矢量空间信号正交变换的范数不变性。§6.5相关Rtitp)()(2在一个周期内，R消耗的能量222220000d)(d)(TTTTttiRttpE22200d)(1TTttvRE或平均功率可表示为222000d)(1TTttiRTP222000d)(11TTttvRTP或设i(t)为流过电阻R的电流，v(t)为R上的电压R)(ti)(tv瞬时功率为一．能量信号和功率信号定义讨论上述两个式子，只可能出现两种情况：(有限值)(有限值)满足式的称为能量信号，满足式称功率信号。E00PP0E定义：一般说来，能量总是与某一物理量的平方成正比。令R=1，则在整个时间域内，实信号f(t)的2220000d)(1limTTTttfTP平均功率222000d)(limTTTttfE能量一般规律一般周期信号为功率信号。非周期信号，在有限区间有值，为能量信号。还有一些非周期信号，也是非能量信号。如u(t)是功率信号；而tu(t)为非功率非能量信号;δ(t)是无定义的非功率非能量信号。数学本质:相关系数是信号矢量空间内积与范数特征的具体表现。物理本质:相关与信号能量特征有着密切联系。21)(),()(),()(),(22112112tftftftftftf222121)()()(),(tftftftf1．相关系数12由两个信号的内积所决定：二．相关系数与相关函数由柯西－施瓦尔茨不等式，得21ddd222121ttfttfttftf所以112等于零此时完全一样与若21221,1,tftf最大此时为正交函数与若21221,0,tftf,2112运算给出了定量说明。利用矢量空间的的内积的相关特性与描述了信号从信号能量误差的角度相关系数tftf2．相关函数•f1(t)与f2(t)是能量有限信号f1(t)与f2(t)为实函数f1(t)与f2(t)为复函数•f1(t)与f2(t)是功率有限信号f1(t)与f2(t)为实函数f1(t)与f2(t)为复函数分如下几种情况讨论：(1)f1(t)与f2(t)是能量有限信号①f1(t)与f2(t)为实函数:相关函数定义:ttftfRd)()()(2112ttftfd)()(21ttftfRd)()()(2121ttftfd)()(21可以证明：)()(2112RR时，自相关函数为当)()()(21tftftfttftfRd)()()(ttftfd)()()()(RRτ的偶函数相关函数：ttftfRd)()()(*2112ttftfd)()(*21ttftfRd)()()(2*121ttftfd)()(2*1ttftfRd)()()(*ttftfd)()(*同时具有性质：)()(*2112RR)()(*RR(1)f1(t)与f2(t)是能量有限信号②f1(t)与f2(t)为复函数:相关函数：222112d)()(1lim)(TTTttftfTR221221d)()(1lim)(TT