高考数学二轮总复习专题11数列求和及综合应用(共32张PPT)

专题11数列求和及综合应用-2-能力目标解读热点考题诠释本部分主要考查数列的各种求和方法及等差、等比数列的综合应用.通过历年的高考试卷分析,求和方法的考查在主、客观题中均有出现,数列作为解答题和解三角形部分的解答题在高考中出现了交替考查现象.本部分考查内容主要是:以等差、等比数列为载体,考查数列通项、求和;利用递推关系求数列的通项、前n项和.该部分的重点是等差、等比数列的基本公式、常用性质和各种求和方法;该部分的难点是数列与其他知识点的交汇问题.如数列中的给定信息题、探索题、证明题、恒成立问题等.3-3-能力目标解读热点考题诠释123451.(2014天津高考,理11)设{an}是首项为a1,公差为-1的等差数列,Sn为其前n项和.若S1,S2,S4成等比数列,则a1的值为.命题定位:本题考查了等差数列的前n项和公式及等比数列的性质.对方程的思想及运算求解能力有较高要求.答案解析解析关闭由已知得S1=a1,S2=a1+a2=2a1-1,S4=4a1+4×32×(-1)=4a1-6,而S1,S2,S4成等比数列,所以(2a1-1)2=a1(4a1-6),整理得2a1+1=0,解得a1=-12.答案解析关闭-12-4-能力目标解读热点考题诠释123452.(2012课标全国高考,理16)数列{an}满足an+1+(-1)nan=2n-1,则{an}的前60项和为.命题定位:本题综合考查了数列的递推公式及数列的求和.题目需要对递推关系进行分类讨论、深入探究才能知道其内在规律,对于求和要求较高,没有现成的公式可套用,要重新组合才能利用已知条件,试题难度较大.答案解析解析关闭∵an+1+(-1)nan=2n-1,∴a2=1+a1,a3=2-a1,a4=7-a1,a5=a1,a6=9+a1,a7=2-a1,a8=15-a1,a9=a1,a10=17+a1,a11=2-a1,a12=23-a1,…,a57=a1,a58=113+a1,a59=2-a1,a60=119-a1,∴a1+a2+…+a60=(a1+a2+a3+a4)+(a5+a6+a7+a8)+…+(a57+a58+a59+a60)=10+26+42+…+234=15×(10+234)2=1830.答案解析关闭1830-5-能力目标解读热点考题诠释123453.(2014大纲全国高考,理18)等差数列{an}的前n项和为Sn.已知a1=10,a2为整数,且Sn≤S4.(1)求{an}的通项公式;(2)设bn=1𝑎𝑛𝑎𝑛+1,求数列{bn}的前n项和Tn.命题定位:本题综合考查等差数列的通项公式、裂项相消法求和.利用和的关系及等差数列的特点求公差体现了思维的灵活性,求和过程注重裂项的准确性及运算能力.答案答案关闭解:(1)由a1=10,a2为整数知,等差数列{an}的公差d为整数.又因为Sn≤S4,所以a4≥0,a5≤0,即10+3d≥0,10+4d≤0.解得-103≤d≤-52,所以d=-3.数列{an}的通项公式为an=13-3n.(2)因为bn=1(13-3𝑛)(10-3𝑛)=13110-3𝑛-113-3𝑛,所以Tn=b1+b2+…+bn=1317-110+14-17+…+110-3𝑛-113-3𝑛=13110-3𝑛-110=𝑛10(10-3𝑛).-6-能力目标解读热点考题诠释123454.(2014江西高考,理17)已知首项都是1的两个数列{an},{bn}(bn≠0,n∈N*)满足anbn+1-an+1bn+2bn+1bn=0.(1)令cn=𝑎𝑛𝑏𝑛,求数列{cn}的通项公式;(2)若bn=3n-1,求数列{an}的前n项和Sn.命题定位:本题主要考查等差数列的概念和通项公式、错位相减法求和.对已知条件的转化和构造体现了对能力的考查,利用错位相减法求和强化了化归和运算能力.答案答案关闭解:(1)因为anbn+1-an+1bn+2bn+1bn=0,bn≠0(n∈N*),所以𝑎𝑛+1𝑏𝑛+1−𝑎𝑛𝑏𝑛=2,即cn+1-cn=2.所以数列{cn}是首项为1,公差为2的等差数列,故cn=2n-1.(2)由bn=3n-1知an=cnbn=(2n-1)3n-1,所以数列{an}前n项和Sn=1·30+3·31+5·32+…+(2n-1)·3n-1,3Sn=1·31+3·32+…+(2n-3)·3n-1+(2n-1)·3n,两式相减得-2Sn=1+2·(31+32+…+3n-1)-(2n-1)·3n=-2-(2n-2)3n,所以Sn=(n-1)3n+1.-7-能力目标解读热点考题诠释123455.(2014课标全国Ⅱ高考,理17)已知数列{an}满足a1=1,an+1=3an+1.(1)证明𝑎𝑛+12是等比数列,并求{an}的通项公式;(2)证明1𝑎1+1𝑎2+…+1𝑎𝑛32.命题定位:本题考查了构造法证明等比数列,求通项公式及用放缩法证明不等式.在能力上,要求会从递推关系中结合目标进行合理变形;对于证明不等式中的求和往往需要适当放缩才能套用数列的求和公式.答案答案关闭证明:(1)由an+1=3an+1得an+1+12=3𝑎𝑛+12.又因为a1+12=32,所以𝑎𝑛+12是首项为32,公比为3的等比数列,故an+12=3𝑛2,因此{an}的通项公式为an=3𝑛-12.(2)由(1)知1𝑎𝑛=23𝑛-1.因为当n≥1时,3n-1≥2×3n-1,所以13𝑛-1≤12×3𝑛-1.于是1𝑎1+1𝑎2+…+1𝑎𝑛≤1+13+…+13𝑛-1=321-13𝑛32.所以1𝑎1+1𝑎2+…+1𝑎𝑛32.-8-能力突破点一能力突破点二能力突破方略能力突破模型能力迁移训练能力突破点三能力突破点一数列求和的方法思考:数列求和的常用方法有哪些?应分别如何选取?提示:(1)公式法:若数列是等差或等比数列,则可直接由等差数列或等比数列的求和公式求和;(2)分组求和法:一个数列的通项公式是由几个等差或等比或可求和的数列通项相加减而成,求和时可用分组求和法,即先分别求和,然后再合并;(3)裂项相消法:若数列{an}的通项能转化为f(n)-f(n-1)(n≥2)的形式,常采用裂项相消法求和;(4)错位相减法:若数列{an}是等差数列,{bn}是等比数列,则求数列{an·bn}的前n项和时,可采用错位相减法;(5)倒序相加法:如果一个数列{an}满足与首末两项等“距离”的两项和相等或等于同一常数,那么求这个数列的前n项和,可用倒序相加法.9-9-能力突破点一能力突破点二能力突破方略能力突破模型能力迁移训练能力突破点三【例1】(2014山东高考,理19)已知等差数列{an}的公差为2,前n项和为Sn,且S1,S2,S4成等比数列.(1)求数列{an}的通项公式;(2)令bn=(-1)n-14𝑛𝑎𝑛𝑎𝑛+1,求数列{bn}的前n项和Tn.分析推理(1)关于数列{an}的通项公式求解,首先要想到通过已知条件明确数列的首项和公差,本题公差已知,因此需要通过S1,S2,S4成等比数列来确定a1;(2)关于数列的求和问题,首先要明确所求数列的形式特点,对于正、负交替的数列要么利用项的重组,要么利用分类讨论分别求和.-10-能力突破点一能力突破点二能力突破方略能力突破模型能力迁移训练能力突破点三我的解答:解:(1)因为S1=a1,S2=2a1+2×12×2=2a1+2,S4=4a1+4×32×2=4a1+12,由题意得(2a1+2)2=a1(4a1+12),解得a1=1,所以an=2n-1.(2)bn=(-1)n-14𝑛𝑎𝑛𝑎𝑛+1=(-1)n-14𝑛(2𝑛-1)(2𝑛+1)=(-1)n-112𝑛-1+12𝑛+1.当n为偶数时,Tn=1+13−13+15+…+12𝑛-3+12𝑛-1−12𝑛-1+12𝑛+1=1-12𝑛+1=2𝑛2𝑛+1;当n为奇数时,Tn=1+13−13+15+…-12𝑛-3+12𝑛-1+12𝑛-1+12𝑛+1=1+12𝑛+1=2𝑛+22𝑛+1.所以Tn=2𝑛+22𝑛+1,n为奇数,2𝑛2𝑛+1,n为偶数.或𝑇𝑛=2𝑛+1+(-1)𝑛-12𝑛+1.-11-能力突破点一能力突破点二能力突破方略能力突破模型能力迁移训练能力突破点三点评:“基本量法”是解决数列通项公式的常用方法,该方法体现了高考题目对基本方法与基本能力的考查;同时求和中要能结合数列的特点对其分类讨论,从而解决了正、负项交替的现象.-12-能力突破点一能力突破点二能力突破方略能力突破模型能力迁移训练能力突破点三1.已知等差数列{log4(an-1)}(n∈N*),且a1=5,a3=65,数列{bn}的前n项和Sn=(n-2)2.(1)求数列{an},{bn}的通项公式;(2)记数列cn=(an-1)·bn,求数列{cn}的前n项和Tn.解:(1)设等差数列{log4(an-1)}的公差为d,所以2log4(a2-1)=log4(a1-1)+log4(a3-1),即2[log4(5-1)+d]=log4(5-1)+log4(65-1),得d=1,所以log4(an-1)=1+(n-1)×1=n,得an=4n+1.由Sn=(n-2)2,当n=1时,b1=S1=1;当n≥2时,bn=Sn-Sn-1=(n-2)2-(n-3)2=2n-5,所以bn=1,𝑛=1,2𝑛-5,𝑛≥2.-13-能力突破点一能力突破点二能力突破方略能力突破模型能力迁移训练能力突破点三(2)由(1)可得,当n=1时,c1=41×1;当n≥2时,cn=4n×(2n-5),则Tn=4×1+42×(-1)+43×1+44×3+…+4n×(2n-5),4Tn=42×1+43×(-1)+44×1+45×3+…+4n×(2n-7)+4n+1×(2n-5),则-3Tn=-28+2×(43+44+45+…+4n)-4n+1×(2n-5)=-28+128(4𝑛-2-1)4-1-4n+1(2n-5),所以Tn=283−128(4𝑛-2-1)9+4𝑛+1(2n-5)3=212+(24𝑛-68)4𝑛9.-14-能力突破点一能力突破点二能力突破方略能力突破模型能力迁移训练能力突破点三能力突破点二数列与不等式结合的问题思考1:对于数列中的不等式问题,你有哪些处理方法?提示:(1)涉及解不等式的问题,要明确不等式的形式,还要注意数列中角标n∈N*这一隐含条件;(2)对于比较大小问题,常采用作差比较法和放缩法;(3)证明不等式问题,常采用比较法、分析综合法或借助函数的单调性转化为求最值问题,必要时要对数列中的项进行放缩.思考2:数列中不等式的常用放缩形式有哪些?提示:1𝑘21𝑘2-1=121𝑘-1-1𝑘+1;1𝑘−1𝑘+11𝑘21𝑘-1−1𝑘;2(𝑛+1−𝑛)1𝑛2(𝑛−𝑛-1);1𝑛(𝑛+1)1𝑛21(𝑛-1)𝑛等.-15-能力突破点一能力突破点二能力突破点三能力突破方略能力突破模型能力迁移训练【例2】已知数列{an}的各项均是正数,其前n项的和为Sn,且满足an+Sn=4.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设bn=12-log2𝑎𝑛2,数列{bn}的前n项和为Tn,求证:当n≥2时,Tn2𝑛-1𝑛.分析推理(1)对于给出递推关系中含有an和Sn的数列问题,一般考虑利用Sn-Sn-1=an进行转化,对于本题最后变形为通项间的关系,再利用常见数列的结构形式求得an;(2)要先明确数列的结构形式再选用合理方法求和.有很多情况下,表面上是证明不等式,其实质仍是数列的求和问题,当没有对应的求和公式直接套用时,不妨将数列中的项灵活放缩,使其利于求和.-16-能力突破点一能力突破点二能力突破点三能力突破方略能力突破模型能力迁移训练解:(1)当n=1时,a1=2,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(4-an)-(4-an-1),整理得2an=an-1,所以数列{a