正方形判定的方法

一个角是直角有一个角是直角且一组邻边相等的平行四边形叫做正方形正方形平行四边形正方形的两条对角线互相垂直平分且相等,每条对角线平分一组对角正方形的对边平行且相等正方形的四个角都是直角边对角线角正方形的定义正方形的性质一组邻边相等复习回顾有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形。1.定义法：2.矩形菱形法：1）一组邻边相等的矩形是正方形2）有一个角是直角的菱形是正方形1．四个内角都相等的四边形一定是：A．正方形B．菱形C．矩形D．平行四边形2．在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的是：A．AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BDB．AD∥BC∠A＝∠CC．AO＝COBO＝DOAB＝BCD．AC＝BD3．四个内角都相等，四条边也都相等的四边形一定是：A．正方形B．菱形C．矩形D．平行四边形练习：正方形的定义可知：正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是邻边相等的特殊矩形，也是有一个角是直角的特殊的菱形。它们的包含关系如图(1)：矩形、菱形、正方形都是有特殊条件的平行四边形。从图(1)中可以知道，平行四边形包含了矩形、菱形、正方形、而正方形又被包含在矩形和菱形中，因而要判定一个四边形是正方形，可以从两步来着手，一步：先判定四边形是矩形，再一步菱形；二步：先判定四边形是菱形，再判定这个菱形也是矩形。例1：已知：如图(2)，点A‘、B’、C‘、D’分别是正方形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，求证：四边形A'B'C'D'是正方形。分析（1）你能证明四边形是矩形吗？（2）你能证明四边形是菱形吗？（3）你能证明四边形是正方形吗？？证明：∵四边形ABCD是正方形∴AD＝AB＝BC，∠A＝∠B＝90°又∵D’,A’,B’是DA、AB、BC的中点∴AD’＝AA’＝A’B＝BB’∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝45°∴∠D’A’B’＝180°－∠1－∠3＝90°同理：∠A’B’C’＝90°∠B’C’D’＝90°∴四边形A’B’C’D’是矩形（①）在△D’AA’和△A’BB’中AD’=AB’,∠A=∠B,AA’=BB’∴△D‘AA’≌△A‘BB’(SAS)∴A‘D’＝A‘B’∴四边形A‘B’C‘D’是正方形(②)已知：在△ABC中，∠ACB＝90°，CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为E、F．求证：四边形CFDE是正方形．图20.4.1∵CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC，∴DE＝DF（①）．又∵∠DEC＝∠ECF＝∠CFD＝90°，∴四边形CFDE是矩形（②），∴四边形CFDE是正方形（③）．练习：求证：对角线垂直平分且相等的四边形是正方形。已知：如图(3)，AC＝BD，AO＝CO，BO＝DO，AC⊥BD。求证：四边形ABCD是正方形。请大家先根据题意，画出图形然后写出已知，求证，求证：对角线垂直平分且相等的四边形是正方形。已知：AC、BD相交于点O，且AC＝BD，AO＝CO，BO＝DO，AC⊥BD。求证：四边形ABCD是正方形。证明：∵AO＝CO,BO＝DO∴四边形ABCD是平行四边形∵AC＝BD∴平行四边形ABCD是矩形(①)∵AC⊥BD∴平行四边形ABCD是菱形(②)∴四边形ABCD是正方形(③)1、请大家说出正方形与平行四边形、矩形、菱形的内在联系？掌握正方形的判定的方法。正方形中，课本上没有给出明显的判定定理，它只告诉我们，要判定一个四边形是正方形，分两个步骤：2、平行四边形它包含了矩形、菱形、正方形；而正方形又包含在矩形和菱形中。第一步：先判定四边形是矩形，再判定这个矩形又是菱形；第二步：先判定四边形是菱形，再判定这个菱形又是矩形，即可判定它是正方形。如图，在直角三角形中，∠C=90°，∠A、∠B的平分线交于点D。DE⊥AC，DF⊥AB。求证:四边形CEDF为正方形ABCDEFG证明：过点D作DG⊥AB，垂足为G∵AD是∠CAB的平分线DE⊥AC，DG⊥AB∴DE=DG同理：DG=DF∴ED=DF∵DE⊥AC，DF⊥AB∴∠DEC=∠DFC=90°又∵∠C=90°∴四边形ADFC是矩形∴四边形ADFC是正方形5种识别方法一个角是直角且一组邻边相等平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定小结课堂作业：1．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别E、F，试证明四边形CFDE为正方形.2．已知：如图，点A′、B′、C′、D′分别是正方形ABCD四条边上的点,并且AA′=BB′=CC′=DD′.求证：四边形A′B′C′D′是正方形.3．如图，在正方形ABCD中，CE⊥DF．求证：CE＝DF．