同济高等数学第六版上册第三章

第三章中值定理应用研究函数性质及曲线性态利用导数解决实际问题罗尔中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理泰勒公式(第三节)推广微分中值定理与导数的应用目录上页下页返回结束一、罗尔(Rolle)定理第一节二、拉格朗日(Lagrange)中值定理三、柯西(Cauchy)中值定理中值定理第三章目录上页下页返回结束费马(fermat)引理一、罗尔(Rolle)定理,)(0有定义在xU且)(0xf存在,)()(0xfxf)(或0)(0xf证:设,)()(,)(0000xfxxfxUxx则)(0xfxxfxxfx)()(lim000)0(x)(0xf)0(x)(0xf000)(0xf)(xfy费马证毕xyO0x目录上页下页返回结束罗尔（Rolle）定理)(xfy满足:(1)在区间[a,b]上连续(2)在区间(a,b)内可导(3)f(a)=f(b),使.0)(f证:，上连续在因],[)(baxf故在[a,b]上取得最大值M和最小值m.若M=m,则,],[,)(baxMxf因此.0)(,),(fba在(a,b)内至少存在一点xyab)(xfyO目录上页下页返回结束若Mm,则M和m中至少有一个与端点值不等,不妨设,)(afM则至少存在一点,),(ba使,)(Mf.0)(f注意:1)定理条件条件不全具备,结论不一定成立.1,010,)(xxxxf则由费马引理得]1,1[)(xxxf]1,0[)(xxxfx1yOx1y1Ox1yOxyab)(xfyO不连续在]1,0[不可导在)1,0()1()0(ff例如,目录上页下页返回结束使2)定理条件只是充分的.本定理可推广为)(xfy在(a,b)内可导,且)(limxfax)(limxfbx在(a,b)内至少存在一点,.0)(f证明提示:设证F(x)在[a,b]上满足罗尔定理.)(xFaxaf,)(bxaxf,)(bxbf,)(目录上页下页返回结束例1.证明方程0155xx,15)(5xxxf.3)1(,1)0(ff,0)(0xf,,)1,0(011xxx)1(5)(4xxf),1,0(,0x有且仅有一个小于1的正实根.证:1)存在性.则)(xf在[0,1]连续,且由介值定理知存在,)1,0(0x使即方程有小于1的正根.0x2)唯一性.假设另有,0)(1xf使在以)(xf10,xx为端点的区间满足罗尔定理条件,之间在10,xx至少存在一点,.0)(f使但矛盾,故假设不真!设目录上页下页返回结束二、拉格朗日中值定理)((1)在区间[a,b]上连续)(xfy满足:(2)在区间(a,b)内可导至少存在一点,),(ba使.)()()(abafbff思路:利用逆向思维找出一个满足罗尔定理条件的函数作辅助函数显然,)(x在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且证:问题转化为证)(x)(xfxabafbf)()()(a由罗尔定理知至少存在一点,),(ba,0)(使即定理结论成立.,)(babbfaafb)()(拉氏0)()()(abafbff证毕xyab)(xfyOxyabafbf)()(目录上页下页返回结束),(,)()()(baabafbff拉格朗日中值定理的有限增量形式:推论:若函数在区间I上满足,0)(xf则)(xf在I上必为常数.)(xf证:在I上任取两点,)(,2121xxxx上用拉在],[21xx格朗日中值公式,得0)()(12xfxf))((12xxf)(21xx)()(12xfxf由的任意性知,21,xx)(xf在I上为常数.)10()(0xxxfy,,00xxbxa令则目录上页下页返回结束例2.证明等式.]1,1[,2πarccosarcsinxxx证:设,arccosarcsin)(xxxf上则在)1,1()(xf由推论可知Cxxxfarccosarcsin)((常数)令x=0,得.2πC又,2π)1(f故所证等式在定义域上成立.]1,1[自证:),(x,2πcotarcarctanxx211x211x0经验:欲证Ix时,)(0Cxf只需证在I上,0)(xf,0Ix且.)(00Cxf使目录上页下页返回结束例3.证明不等式证:设,)1ln()(ttf上满足拉格朗日在则],0[)(xtf中值定理条件,即因为故.)0()1ln(1xxxxx)0()(fxf)1ln(xxx0,11xxx1x)0()1ln(1xxxxxxxf0,)0)((因此应有目录上页下页返回结束三、柯西(Cauchy)中值定理0)()()()()()(fFaFbFafbf)(分析:)(xf及(1)在闭区间[a,b]上连续(2)在开区间(a,b)内可导(3)在开区间(a,b)内至少存在一点,),(ba使.)()()()()()(FfaFbFafbf满足:)(xF0)(xF)()(aFbF))((abFba0问题转化为证)()()()()()()(xfxFaFbFafbfx柯西构造辅助函数目录上页下页返回结束证:作辅助函数)()()()()()()(xfxFaFbFafbfx)()()()()()()()(baFbFbFafaFbfa,),(,],[)(内可导在上连续在则babax且,),(ba使,0)(即由罗尔定理知,至少存在一点.)()()()()()(FfaFbFafbf思考:柯西定理的下述证法对吗?),(,))(()()(baabfafbf),(,))(()()(baabFaFbF两个不一定相同错!上面两式相比即得结论.目录上页下页返回结束柯西定理的几何意义:)()()()()()(FfaFbFafbf)(F)(aF)()(tfytFx)(af)(bF)(bf)()(ddtFtfxy注意:弦的斜率切线斜率xyO目录上页下页返回结束)0()1(ff)0()1(FF例4.设)].0()1([2)(fff2)(01)0()1(fffxxxf)()(2,)(2xxF,)1,0(,]1,0[)(内可导在上连续在xf至少存在一点),1,0(使证:问题转化为证设则)(,)(xFxf在[0,1]上满足柯西中值定理条件,因此在(0,1)内至少存在一点,使)(f)(F012即)]0()1([2)(fff证明目录上页下页返回结束11lncos1lnlne1lnsinlnesin)e,1(,)()()1((e))1((e)FfFFff例5.试证至少存在一点)e,1(使.lncos1sinlncos1sin证:法1用柯西中值定理.xxFxxfln)(,lnsin)(则f(x),F(x)在[1,e]上满足柯西中值定理条件,令因此11lncoslncos1sin即分析:目录上页下页返回结束例5.试证至少存在一点)e,1(使.lncos1sin法2令xxflnsin)(则f(x)在[1,e]上满足罗尔中值定理条件,,e),1(使0)(fxlncos)(xf1sinx1lncos1sin因此存在x1xln1sin目录上页下页返回结束内容小结1.微分中值定理的条件、结论及关系罗尔定理拉格朗日中值定理柯西中值定理)()(afbfxxF)()()(afbfxxF)(2.微分中值定理的应用(1)证明恒等式(2)证明不等式(3)证明有关中值问题的结论关键:利用逆向思维设辅助函数费马引理目录上页下页返回结束44123412思考与练习1.填空题1)函数4)(xxf在区间[1,2]上满足拉格朗日定理条件,则中值._____2)设有个根,它们分别在区间341530)(xf)4,3(,)2,1(,)3,2(上.,)4)(3)(2)(1()(xxxxxf方程目录上页下页返回结束2.设],π,0[)(Cxf且在)π,0(内可导,证明至少存在一点,)π,0(使.cot)()(ff提示:由结论可知,只需证0cos)(sin)(ff即0sin)(xxxf验证)(xF在]π,0[上满足罗尔定理条件.设xxfxFsin)()(目录上页下页返回结束3.若)(xf可导,试证在其两个零点间一定有)()(xfxf的零点.提示:设,,0)()(2121xxxfxf欲证:,),(21xx使0)()(ff只要证0)()(ffee亦即0])(e[xxxf作辅助函数,)(e)(xfxFx验证)(xF在],[21xx上满足罗尔定理条件.目录上页下页返回结束4.思考:在0,00,sin)(12xxxxfx],0[x),0(,)0)(()0()(xxffxf即xx12sin1sin2(,)cos1x),0(xxx111sinsin2cos当,00x时.0cos1问是否可由此得出?0coslim10xx不能!因为)(x是依赖于x的一个特殊的函数.因此由上式得表示x从右侧以任意方式趋于0.0x应用拉格朗日中值定理得上对函数目录上页下页返回结束备用题求证存在,)1,0(.0)()(ffn使1.设]1,0[可导，且,0)1(f在连续，)1,0()(xf证:设辅助函数)()(xfxxn,)1,0(因此至少存在显然)(x在上满足罗尔定理条件,]1,0[)(即0)()(ffn使得)()(1ffnnn0目录上页下页返回结束0)0(,0)(fxf设证明对任意0,021xx有)()()(2121xfxfxxf证：210xx)()()(1221xfxfxxf12)(xf0))((121fx)()()(2121xfxfxxf,(2122xxx2.不妨设)0()()()(1221fxfxfxxf)(21)011x11)(xf目录上页下页返回结束三、其他未定式二、型未定式一、型未定式00第二节洛必达法则第三章目录上页下页返回结束)()(limxgxf微分中值定理函数的性态导数的性态函数之商的极限导数之商的极限转化00(或型))()(limxgxf本节研究:洛必达法则洛必达目录上页下页返回结束一、0)(lim)(lim)1xFxfaxax)()(lim)3xFxfax存在(或为))()(lim)()(limxFxfxFxfaxax,)()()()2内可导在与aUxFxf0)(xF且定理1.型未定式00(洛必达法则)目录上页下页返回结束(在x,a之间)证:无妨假设,0)()(aFaf在指出的邻域内任取,ax则)(,)(xFxf在以x,a为端点的区间上满足柯0)(lim)(lim)1xFxfaxax故)()()()()()(aFxFafxfxFxf)()(Ff)()(limxFxfax)()(limFfax)()(limxFxfax)3定理条件:西定理条件,)()(lim)3xFxfax存在(或为)