数学物理方成的分类

1回顾1、定解问题的边界条件2、定解问题的分类与适定性3、二阶线性偏微分方程的有关概念4、常系数线性偏微分方程的通解2方程的通解和特解例子7.4二阶线性非齐次偏微方程2xyuyx的通解是221,2uxyxyxyFxGy,其中FxGy、是任意两个独立的函数.如果指定=0Fx，0Gy;则221,2uxyxyxy是原方程的一个特解.一般地，一个n阶常微分方程的通解含有n常数。一个n阶偏微分方程的通解含有n个任意函数。3数学物理方程的分类220axbxycydxeyf考察二元二次方程：容易知道,若设24bac,则分别当00、和0时该方程分别对应于xy平面上的双曲线、抛物线和椭圆。一般地,对于一个任意的二次函数总可以化为如下标准形式：1,11,,nnnijijiiijifxxaxxbxc2111',,'''''nnniiiiiifxxdxbxc二次型的主轴定理4,0ijinnijxxixijiaubucuf类似地，二阶线性偏微分方程一定可以改写为如下“形式”：''''''0iiinnixxixiidubucufxyyxDDDD5根据id符号的不同可以划分方程的类型如下：有某些0id，抛物型；所有0id，且均同号，椭圆型；1n个id同号,另一个反号，双曲型；0id,正和负的个数都不止一个超双曲型。由二次型的性质可知，上述分类方法在区域上任一点总是可行的；但方程在不同的点可能属于不同的类型。6两个自变量的情形抛物型：xxxyubucuduf椭圆型：2xxyyxyuaubucuduf双曲型：2xxyyxyuaubucuduf显然，弦的横振动方程和杆的纵振动方程是双曲型方程；一维扩散和传导方程是抛物型方程；二维静电场方程是椭圆型方程。（三维波动方程、扩散和传导方程以及三维Poisson方程和Schrödinger方程是什么类型的方程？）7常系数线性偏微分方程如果在二阶线性偏微分方程,0ijinnijxxixijiaubucuf中,所有系数均为常数,则方程可以进一步简化为:'''0iinixxiducuf8行波法d’Alembert公式行波法是以自变量的线性组合作变量代换，对方程进行求解的一种方法，它对波动方程类型的问题求解十分有效.一维无界弦自由振动（即无外力）定解问题为：20,0,0ttxxtuauuxxuxx9在本问题中，泛定方程是常系数的；根据前边的讨论，该方程的附加方程为：220a;且解为a.故原方程的通解可以表示为:12,uxtfxatfxat把通解代入初始条件易得:0121201''xxfxfxxfxfxxdxCa从中易解得:001211['']211['']2xxxxfxxxdxCafxxxdxCa10故原方程满足初始条件的特解可以表示为:11,[]+''22xatxatuxtxatxatxdxad’Alembert公式其中的,xx为任意二次可微函数.考察泛定方程的通解:12,uxtfxatfxat作一变换:'xxat,则有11'fxatfx.这表明在相对于原来坐标轴以速度a运动的坐标系中来看,通解中的第一部分贡献是和时间无关的;回到原来坐标系中观察,则第一部分贡献的波形随时间变化以速度a沿x轴正向移动.同理,通解中第二部分可以看作另外一列反向传播的行波的贡献.111.齐次偏微分方程的求解（P172）d’Alembert公式的应用2.非齐次偏微分方程的求解2,,,0,00,,00ttxxtuaufxtxtuxux该体系在外力作用下开始振动，可以看作外界持续给体系施加以冲量，体系的振动即为持续冲量效果的叠加。从这一思路出发求解问题被称为冲量原理法。12时间(足够短)内,外力的冲量为,fx,时刻该冲量在弦中引起的振动可以由以下方程确定:20,,,0,,,ttxxtvavxtvxvxfx而原问题的解则可以看作持续冲量作用在弦中产生的振动的叠加,即:而且1,','2xatxatvxfxdxa0,,;tuxtvxtd13()0()1(,)(,)dd2txatxatuxtfa根据以上分析，易得上述纯受迫振动的解为：142,(,0)(,0)0,(,0)0ttxxtuauxatxtuxux例7.5求解如下定解问题：解:由上述讨论可知,该定解问题的解为:01,''2112326txatxatuxtxadxdaxtat15例7.6求解如下定解问题：2(,),(,0)(,0)(),(,0)()ttxxtuaufxtxtuxxuxx解:本题可根据线性方程的性质,假定原问题的解可以表示为:其中1u是如下定解问题(弦的自由振动问题)的解:20,,0,0,,0ttxxtuauxtuxxuxx2u是上述纯强迫振动问题的解.12uuu16求出问题的通解，然后再结合定解条件确定满足相应初始条件和边界条件的特解，仅对非常有限的问题适用，很多定解问题很难直接求出通解。更为普遍的处理办法是把泛定方程和定解条件作为整体处理，直接求出定解问题的解。171.行波法；2.分离变量法；3.幂级数解法；4.格林函数法；5.积分变换法；6.保角变换法；7.变分法；8.计算机仿真解法；9.数值计算法数学物理方程的求解18P1611.P1791.8.第七章作业