氢原子的角向概率密度和径向概率密度

*{范例14.9}氢原子的角向概率密度和径向概率密度(1)求氢原子角向概率密度，说明角向概率密度的变化规律。(2)当氢原子主量子数n一定时，说明各种角量子数的径向概率密度的分布规律。[解析](1)求氢原子薛定谔方程可得到电子的波函数ψnlm(r,θ,φ)。每一组量子数(n,l,m)，都有一组波函数描述一个确定的状态ψnlm(r,θ,φ)=Rnl(r)Θlm(θ)Φm(φ)，1/2π是归一化常数。纬度分布函数为||()P(cos),mlmlmlNPlm(x)是缔合(连带)勒让德多项式，Nlm是归一化常数(21)(||)!2(||).!lmllmNlm这里，Φm(φ)是氢原子的经度分布函数，Θlm(θ)是纬度分布函数，Rnl(r)是径向分布函数。氢原子的经度分布函数为1()exp(i),2πmm为了简单起见，用m表示轨道磁量子数ml。*{范例14.9}氢原子的角向概率密度和径向概率密度在氢原子中取一个体积元dV=r2sinθdrdθdφ=r2drdΩ，dΩ=sinθdθdφ是立体角。电子出现在距核为r，纬度为θ，经度为φ处的体积元dV中的概率为wnlmdV=|ψnlm|2dV=|Rnl|2|Θlm|2|Φm|2dV。电子出现在φ到φ+dφ之间的概率为wmdφ=|Φm|2dφ。根据经度分布函数可知：|Φm|2是常量，因此概率的角分布关于z轴具有旋转对称性。电子出现在立体角dΩ之内的概率为wlmdΩ=|Θlm|2|Φm|2dΩ21|()|d2πlm根据纬度分布函数可得角向概率密度2||211()|()|[P(cos)]2π2π.mlmlmlmlwN当氢原子角量子数为0时(l=0)，磁量子数只能取0(m=0)，氢原子中s态电子的角向概率密度wlm呈球状，其剖面是圆。当l=1，m=0时，氢原子中p态电子的角向概率密度wlm之一呈纺锤状，其剖面是直立的双纽线。当l=1，m=±1时，氢原子中p态电子的角向概率密度wlm之一呈轮胎状，其剖面是横置的双纽线。当l=2，m=0时，氢原子中d态电子的角向概率密度wlm之一呈带盘的纺锤状，其剖面是带叶的双纽线。当l=2，m=±1时，氢原子中d态电子的角向概率密度wlm之一呈双钵状，其剖面是四叶玫瑰线。当l=2，m=±2时，氢原子中d态电子的角向概率密度wlm之一呈轮胎状。与l=1，m=±1的图形相比，这种轮胎形状更扁。当氢原子角量子数l=3时，磁量子数m可取0，±1，±2，±3，角向概率密度如图所示。当m=0时，角向概率密度呈带盘的纺锤状；当m=l时，角向概率密度呈轮胎状；当m是其他数整数时，角向概率密度呈双钵状和带盘的双钵状。(2)当氢原子主量子数n一定时，各种角量子数的径向概率密度随距离分布的规律是什么？[解析](2)氢原子薛定谔方程的径向分布函数为设是缔合(连带)拉盖尔多项式。Z为原子序数(氢原子Z=1)，a0是第一玻尔半径，Mnl是归一化常数(以区别Nlm)2100022()exp()()L()llnlnlnlZZZRrMrrrnanana3302(1)!()2[()!]nlZnlMnannl02,Zxrna21L()lnlx下标n+l表示拉盖尔多项式阶数，即n+l阶拉盖尔多项式Ln+l(x)；上标2l+1表示对Ln+l(x)求2l+1阶导数。*{范例14.9}氢原子的角向概率密度和径向概率密度(2)当氢原子主量子数n一定时，各种角量子数的径向概率密度随距离分布的规律是什么？n阶拉盖尔多项式为对于幂函数y=xk，因此缔合拉盖尔多项式为n+l阶拉盖尔多项式为设k-2l–1=i，即k=i+2l+1，可得220(1)(!)L()(!)()!knknknxxknk220(1)[()!]L()(!)()!knlknlknlxxknlk()!(1)...(1)()!nknknkykkknxxkn212121dL()L()dllnlnllxxx22121(1)[(+)!]!()!(21)!kklnlklnlxknlkkl+121210(1)[(+)!]L()(1)!(2+1+)!!inllinlinlxxnlilii氢原子中的电子出现在r到dr之间的概率为wnldr=|Rnl|2r2dr径向概率密度为2221200022()|()|[exp()()L(.)]llnlnlnlnlZZZwrRrrMrrrrnanana其n阶导数为*{范例14.9}氢原子的角向概率密度和径向概率密度当氢原子主量子数n为1时，角量子数l只能取0，径向概率密度wnl随距离的增加先增后减，其峰值出现在r=a0处。当主量子数n为2时，如果l为0，径向概率密度有两个峰，两峰之间有一个节点；如果l为1，径向概率密度只有一个峰，峰值出现在r=4a0处。当主量子数n为3时，如果l为0，曲线有3个峰，随着距离增加，一个峰比一个峰高，曲线共有2个节点；如果l为1，曲线有2个峰，1个节点；如果l为2，曲线只有1个峰，峰值出现在r=9a0处。当n=4时，曲线族如图所示。当n=5时，曲线族如图所示。当n=6时，曲线族如图所示。比较这些图可知：对于主量子数n来说，角量子数l可取0，1，...，n–1，共n个值，每条曲线有n-l个峰。当l=n–1时，峰值出现在r=n2a0处，这个峰比其他曲线的最高峰还要高一些。当n=7时，曲线族如图所示。