二次函数与相似三角形综合题20160203

二次函数与相似三角形例1如图1，已知抛物线xx41y2的顶点为A，且经过原，与x轴交于点O、B。（1）若点C在抛物线的对称轴上，点D在抛物线上，且以O、C、D、B四点为顶点的四边形为平行四边形，求D点的坐标；（2）连接OA、AB，如图2，在x轴下方的抛物线上是否存在点P，使得△OBP与△OAB相似？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由。分析:1.当给出四边形的两个顶点时应以两个顶点的连线．．．．．．．为四边形的边和对角线来考虑问题以O、C、D、B四点为顶点的四边形为平行四边形要分类讨论:按OB为边和对角线两种情况2.函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径①求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边．和角．的特点，进而得出已知三角形是否为特殊三角形。根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论。②或利用已知三角形中对应角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小。③若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，之后利用相似来列方程求解。解:⑴如图1,当OB为边即四边形OCDB是平行四边形时,CD∥＝OB,由1)2x(4102得4x,0x21,∴B(4,0),OB＝4.∴D点的横坐标为6将x＝6代入1)2x(41y2,得y＝－3,∴D(6,－3);例1题图图1OAByxOAByx图2COABDyx图1根据抛物线的对称性可知,在对称轴的左侧抛物线上存在点D,使得四边形ODCB是平行四边形,此时D点的坐标为(－2,－3),当OB为对角线即四边形OCBD是平行四边形时,D点即为A点,此时D点的坐标为(2,1)⑵如图2，由抛物线的对称性可知:AO＝AB,∠AOB＝∠ABO.若△BOP与△AOB相似,必须有∠POB＝∠BOA＝∠BPO设OP交抛物线的对称轴于A′点,显然A′(2,－1)∴直线OP的解析式为x21y由xx41x212,得6x,0x21.∴P(6,－3)过P作PE⊥x轴,在Rt△BEP中,BE＝2,PE＝3,∴PB＝13≠4.∴PB≠OB,∴∠BOP≠∠BPO,∴△PBO与△BAO不相似,同理可说明在对称轴左边的抛物线上也不存在符合条件的P点.所以在该抛物线上不存在点P,使得△BOP与△AOB相似.例2（2013凉山州压轴题）如图，抛物线y=﹣x2+x+4交x轴于A、B两点，与y轴交于点C，以OC、OA为边作矩形OADC交抛物线于点G．（1）抛物线的对称轴l在边OA（不包括O、A两点）上平行移动，分别交x轴于点E，交CD于点F，交AC于点M，交抛物线于点P，若点M的横坐标为m，请用含m的代数式表示PM的长；（2）在（1）的条件下，连结PC，则在CD上方的抛物线部分是否存在这样的点P，使得以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相似？若存在，求出此时m的值，并直接判断△PCM的形状；若不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题．分析：（1）将A（3，0），C（0，4）代入y=ax2﹣2ax+c，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式；EA'OABPyx图2（2）先根据A、C的坐标，用待定系数法求出直线AC的解析式，进而根据抛物线和直线AC的解析式分别表示出点P、点M的坐标，即可得到PM的长；（3）由于∠PFC和∠AEM都是直角，F和E对应，则若以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相似时，分两种情况进行讨论：①△PFC∽△AEM，②△CFP∽△AEM；可分别用含m的代数式表示出AE、EM、CF、PF的长，根据相似三角形对应边的比相等列出比例式，求出m的值，再根据相似三角形的性质，直角三角形、等腰三角形的判定判断出△PCM的形状．解答：解：（1）∵抛物线y=ax2﹣2ax+c（a≠0）经过点A（3，0），点C（0，4），∴，解得，∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x+4；（2）设直线AC的解析式为y=kx+b，∵A（3，0），点C（0，4），∴，解得，∴直线AC的解析式为y=﹣43x+4．∵点M的横坐标为m，点M在AC上，∴M点的坐标为（m，﹣43m+4），∵点P的横坐标为m，点P在抛物线y=﹣x2+x+4上，∴点P的坐标为（m，﹣m2+m+4），∴PM=PE﹣ME=（﹣m2+m+4）﹣（﹣43m+4）=﹣m2+73m，即PM=﹣m2+73m（0＜m＜3）；（3）在（2）的条件下，连结PC，在CD上方的抛物线部分存在这样的点P，使得以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相似．理由如下：由题意，可得AE=3﹣m，EM=﹣m+4，CF=m，PF=﹣m2+m+4﹣4=﹣m2+m．若以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相似，分两种情况：①若△PFC∽△AEM，则PF：AE=FC：EM，即（﹣m2+m）：（3﹣m）=m：（﹣m+4），∵m≠0且m≠3，∴m=．∵△PFC∽△AEM，∴∠PCF=∠AME，∵∠AME=∠CMF，∴∠PCF=∠CMF．在直角△CMF中，∵∠CMF+∠MCF=90°，∴∠PCF+∠MCF=90°，即∠PCM=90°，∴△PCM为直角三角形；②若△CFP∽△AEM，则CF：AE=PF：EM，即m：（3﹣m）=（﹣m2+m）：（﹣m+4），∵m≠0且m≠3，yxEQPCBOA∴m=1．∵△CFP∽△AEM，∴∠CPF=∠AME，∵∠AME=∠CMF，∴∠CPF=∠CMF．∴CP=CM，∴△PCM为等腰三角形．综上所述，存在这样的点P使△PFC与△AEM相似．此时m的值为或1，△PCM为直角三角形或等腰三角形．点评：此题是二次函数的综合题，其中涉及到运用待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形、等腰三角形的判定，难度适中．要注意的是当相似三角形的对应边和对应角不明确时，要分类讨论，以免漏解．练习1、已知抛物线225333yxx经过53(33)02PE，，，及原点(00)O，．（1）过P点作平行于x轴的直线PC交y轴于C点，在抛物线对称轴右侧且位于直线PC下方的抛物线上，任取一点Q，过点Q作直线QA平行于y轴交x轴于A点，交直线PC于B点，直线QA与直线PC及两坐标轴围成矩形OABC．是否存在点Q，使得OPC△与PQB△相似？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，说明理由．（2）如果符合（2）中的Q点在x轴的上方，连结OQ，矩形OABC内的四个三角形OPCPQBOQPOQA，，，△△△△之间存在怎样的关系？为什么？（1）存在．设Q点的坐标为()mn，，则225333nmm，要使,BQPBOCPPBQCPOC△∽△，则有3333nm，即2253333333mmm解之得，12232mm，．当123m时，2n，即为Q点，所以得(232)Q，要使,BQPBOCPQBPOCCP△∽△，则有3333nm，即2253333333mmm解之得，12333mm，，当3m时，即为P点，当133m时，3n，所以得(333)Q，．故存在两个Q点使得OCP△与PBQ△相似．Q点的坐标为(232)(333)，，，．（2）在RtOCP△中，因为3tan3CPCOPOC．所以30COP．当Q点的坐标为(232)，时，30BPQCOP．所以90OPQOCPBQAO．因此，OPCPQBOPQOAQ，，，△△△△都是直角三角形．又在RtOAQ△中，因为3tan3QAQOAAO．所以30QOA．即有30POQQOAQPBCOP．所以OPCPQBOQPOQA△∽△∽△∽△，又因为QPOPQAOA，⊥⊥30POQAOQ，所以OQAOQP△≌△．2.在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数223yxx的图象与x轴交于AB，两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C．（1）若直线:(0)lykxk与线段BC交于点D（不与点BC，重合），则是否存在这样的直线l，使得以BOD，，为顶点的三角形与BAC△相似？若存在，求出该直线的函数表达式及点D的坐标；若不存在，请说明理由；(10)(30),(03)ABC，，，，（2）若点P是位于该二次函数对称轴右边图象上不与顶点重合的任意一点，试比较锐角PCO与ACO的大小（不必证明），并写出此时点P的横坐标px的取值范围．（1）假设存在直线:(0)lykxk与线段BC交于点D（不与点BC，重合），使得以BOD，，为顶点的三角形与BAC△相似．在223yxx中，令0y，则由2230xx，解得1213xx，(10)(30)AB，，，．令0x，得3y．(03)C，．设过点O的直线l交BC于点D，过点D作DEx⊥轴于点E．yClxBA1x练习3图yxBEAOCD1xl点B的坐标为(30)，，点C的坐标为(03)，，点A的坐标为(10)，．4345.ABOBOCOBC，，223332BC．要使BODBAC△∽△或BDOBAC△∽△，已有BB，则只需BDBOBCBA，①或.BOBDBCBA②成立．若是①，则有3329244BOBCBDBA．而45OBCBEDE，．在RtBDE△中，由勾股定理，得222229224BEDEBEBD．解得94BEDE（负值舍去）．93344OEOBBE．点D的坐标为3944，．将点D的坐标代入(0)ykxk中，求得3k．满足条件的直线l的函数表达式为3yx．［或求出直线AC的函数表达式为33yx，则与直线AC平行的直线l的函数表达式为3yx．此时易知BODBAC△∽△，再求出直线BC的函数表达式为3yx．联立33yxyx，求得点D的坐标为3944，．］若是②，则有342232BOBABDBC．而45OBCBEDE，．在RtBDE△中，由勾股定理，得222222(22)BEDEBEBD．解得2BEDE（负值舍去）．321OEOBBE．点D的坐标为(12)，．将点D的坐标代入(0)ykxk中，求得2k．∴满足条件的直线l的函数表达式为2yx．存在直线:3lyx或2yx与线段BC交于点D（不与点BC，重合），使得以BOD，，为顶点的三角形与BAC△相似，且点D的坐标分别为3944，或(12)，．（2）设过点(03)(10)CE，，，的直线3(0)ykxk与该二次函数的图象交于点P．将点(10)E，的坐标代入3ykx中，求得3k．此直线的函数表达式为33yx．设点P的坐标为(33)xx，，并代入223yxx，得250xx．解得1250xx，（不合题意，舍去）．512xy，．点P的坐标为(512)，．此时，锐角PCOACO．又二次函数的对称轴为1x，点C关于对称轴对称的点C的坐标为(23)，．当5px时，锐角PCOACO；当5px时，锐角PCOACO；当25px时，锐角PCOACO．OxBEAOC1xPC·3.如图所示，已知抛物线21yx与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，过点A作AP∥CB交抛物线于点P．在x轴上方的抛物线上是否存在一点M，过M作MGx轴于点G，使以A、M、G三点为顶点的三角形与PCA相似．若存在，请求出M点的坐标；否则，请说明理由．解：假设存在A(1,0)B(1,0)C(0,1)∵PAB=BAC=45∴PAAC∵MGx轴于点G，∴MGA=PAC=90在Rt△AOC中，OA=OC=1∴AC=2在Rt△PAE中，AE=PE=3∴AP=32设M点的横坐标为m，则M2(,1)mm①点M在y轴左侧时，则1m(ⅰ)当AMG∽PCA时，有AGPA=MGCA∵AG=1m，MG=21m即211