用样本的数字特征估计总体的数字特征课件

成才之路·数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索人教A版·必修3统计第二章2.2用样本估计总体第二章2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征互动课堂2随堂测评3课后精练4预习导学1预习导学•●课标展示•1．掌握众数、中位数、平均数、标准差、方差的定义和特征．•2．会求众数、中位数、平均数、标准差、方差，并能用来解决有关问题．•●温故知新•旧知再现•1．在初中，我们已经学过平均数描述了数据的__________平均水平，定量地反映了数据的集中趋势所处的水平．我们也知道可以用样本的平均数去估计总体的平均水平，而样本数据的方差、标准差则反映了数据的离散程度．方差或标准差越__________小，数据越集中，总体越均衡；方差或标准差越__________大，数据越分散，总体越不均衡．•而中位数则是指样本数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列后，处于__________中间位置的一个量，当样本数据个数为奇数时，__________中间一个数据就是中位数，它是样本数据；当样本数据个数为偶数时，中位数则是中间两个数据的__________平均数，当这两个数据相等时，中位数是样本数据，否则它不是样本数据，众数则是指在样本数据中出现次数__________最多的数据，众数不一定__________唯一．•2．(2012·陕西卷)对某商店一个月内每天的顾客人数进行统计，得到样本的茎叶图(如图所示)，则该样本的中位数、众数、极差分别是()•A．46、45、56B．46、45、53•C．47、45、56D．45、47、53•[答案]A•[解析]本题考查样本数据的中位数、众数及极差．根据茎叶图可知样本总共有30个数据，中位数为46，出现次数最多的是45，最大数与最小数的差为68－12＝56，故选A.•新知导学•1．众数•(1)定义：一组数据中出现次数__________最多的数称为这组数据的众数．•(2)特征：一组数据中的众数可能__________不止一个，也可能没有，反映了该组数据的__________集中趋势．•[破疑点]众数体现了样本数据的最大集中点，但它对其他数据信息的忽视使其无法客观地反映总体特征．•2．中位数•(1)定义：一组数据按从小到大的顺序排成一列，处于__________中间位置的数称为这组数据的中位数．•(2)特征：一组数据中的中位数是__________唯一的，反映了该组数据的__________集中趋势．在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积__________相等．•[破疑点]中位数不受少数几个极端值的影响，这在某些情况下是优点，但它对极端值的不敏感有时也会成为缺点．3．平均数(1)定义：一组数据的和与这组数据的个数的商．数据x1，x2，…，xn的平均数为xn＝________________.•(2)特征：平均数对数据有“取齐”的作用，代表该组数据的__________．任何一个数据的改变都会引起平均数的变化，这是众数和中位数都不具有的性质．所以与众数、中位数比较起来，平均数可以反映出更多的关于样本数据全体的______，但平均数受数据中__________的影响较大，使平均数在估计总体时可靠性降低．x1＋x2＋…＋xnn平均水平信息极端值•4．标准差•(1)定义：标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s表示，通常用以下公式来计算•s＝_________________________________________.•可以用计算器或计算机计算标准差．•(2)特征：标准差描述一组数据围绕__________波动的大小，反映了一组数据变化的幅度和离散程度的大小．标准差较大，数据的离散程度较______；标准差较小，数据的离散程度较_______．1n[x1－x2＋x2－x2＋…＋xn－x2]平均数大小•5．方差•(1)定义：标准差的平方，•即s2＝______________________________________．•(2)特征：与__________的作用相同，描述一组数据围绕平均数波动程度的大小．•(3)取值范围：__________．1n[(x1－x)2＋(x2－x)2＋…＋(xn－x)2]标准差[0，＋∞)[知识拓展]数据组x1，x2，…，xn的平均数为x，方差为s2，标准差为s，则数据组ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b(a，b为常数)的平均数为ax＋b，方差为a2s2，标准差为as.•6．用样本估计总体•现实中的总体所包含的个体数往往很多，总体的平均数、众数、中位数、标准差、方差是不知道的，因此，通常用________的平均数、众数、中位数、标准差、方差来估计．这与上一节用________的频率分布来近似地代替总体分布是类似的．只要样本的代表性好，这样做就是合理的，也是可以接受的．样本样本•规律总结：用样本的数字特征估计总体的数字特征分两类：用样本平均数估计总体平均数；用样本标准差估计总体标准差，样本容量越大，估计就越精确．•●自我检测•1．下列刻画一组数据离散程度的是()•A．平均数B．方差•C．中位数D．众数•[答案]B•2．下列判断正确的是()•A．样本平均数一定小于总体平均数•B．样本平均数一定大于总体平均数•C．样本平均数一定等于总体平均数•D．样本容量越大，样本平均数越接近总体平均数•[答案]D•3．在某次考试中，10名同学得分如下：84,77,84,83,68,78,70,85,79,95.则这一组数据的众数和中位数分别为()•A．84,68B．84,78•C．84,81D．78,81•[答案]C•4．在某项体育比赛中，七位裁判为一选手打出的分数如下：•90899095939493•去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为()•A．92,2B．92,2.8•C．93,2D．93,2.8•[答案]B[解析]去掉一个最高分95与一个最低分89后，所得的5个数分别为90,90,93,94,93，所以x＝90＋90＋93＋94＋935＝4605＝92，s2＝2×90－922＋2×93－922＋94－9225＝145＝2.8，故选B.互动课堂•中位数、众数、平均数的应用•●典例探究据报道，某公司的33名职工的月工资(以元为单位)如下：职务董事长副董事长董事总经理经理管理员职员人数11215320工资5500500035003000250020001500•(1)求该公司的职工月工资的平均数、中位数、众数．•(2)假设副董事长的工资从5000元提升到20000元，董事长的工资从5500元提升到30000元，那么新的平均数、中位数、众数又是什么？(精确到1元)•(3)你认为哪个统计量更能反映这个公司职工的工资水平？结合此问题谈一谈你的看法．•[分析]利用平均数、中位数、众数的定义求解即可．[解析](1)平均数是x＝1500＋4000＋3500＋2000×2＋1500＋1000×5＋500×3＋0×2033≈1500＋591＝2091(元)．中位数是1500元，众数是1500元．(2)平均数是x′＝1500＋28500＋18500＋2000×2＋1500＋1000×5＋500×3＋0×2033≈1500＋1788＝3288(元)．中位数是1500元，众数是1500元．(3)在这个问题中，中位数或众数均能反映该公司职工的工资水平．因为公司中少数人的工资额与大多数人的工资额差别较大，这样导致平均数偏差较大，所以平均数不能反映这个公司职工的工资水平．•规律总结：关于众数、中位数、平均数的几个问题•(1)一组数据中的众数可能不止一个，如果两个数据出现的次数相同，并且比其他数据出现的次数都多，那么这两个数据都是这组数据的众数．•(2)一组数据中的中位数是唯一的，求中位数时，必须先将这组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列．•(3)由于平均数与每一个样本的数据有关，所以任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变，这是众数、中位数都不具备的性质．•某小区广场上有甲、乙两群市民正在进行晨练，两群市民的年龄如下(单位：岁)：•甲群13,13,14,15,15,15,16,17,17；•乙群54,3,4,4,5,5,6,6,6,57.•(1)甲群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁？其中哪个统计量能较好反映甲群市民的年龄特征？•(2)乙群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁？其中哪个统计量能较好反映乙群市民的年龄特征？[解析](1)甲群市民年龄的平均数为13＋13＋14＋15＋15＋15＋15＋16＋17＋1710＝15(岁)，中位数为15岁，众数为15岁．平均数、中位数和众数相等，因此它们都能较好地反映甲群市民的年龄特征．(2)乙群市民年龄的平均数为54＋3＋4＋4＋5＋5＋6＋6＋6＋5710＝15(岁)，中位数为5岁，众数为6岁．由于乙群市民大多数是儿童，所以中位数和众数能较好地反映乙群市民的年龄特征，而平均数的可靠性较差．•标准差、方差的应用某工厂甲、乙两名工人参加操作技能培训，他们在培训期间参加的8次测试成绩记录如下：甲9582888193798478乙8392809590808575试比较哪个工人的成绩较好．[分析]平均成绩较高成绩波动较小→成绩较好[解析]x甲＝18(78＋79＋81＋82＋84＋88＋93＋95)＝85，x乙＝18(75＋80＋80＋83＋85＋90＋92＋95)＝85.s2甲＝18[(78－85)2＋(79－85)2＋(81－85)2＋(82－85)2＋(84－85)2＋(88－85)2＋(93－85)2＋(95－85)2]＝35.5，s2乙＝18[(75－85)2＋(80－85)2＋(80－85)2＋(83－85)2＋(85－85)2＋(90－85)2＋(92－85)2＋(95－85)2]＝41.∵x甲＝x乙，s2甲＜s2乙，∴甲所成绩较稳定．综上可知，甲的成绩较好．•规律总结：用样本估计总体时，样本的平均数、标准差只是总体的平均数、标准差的近似．实际应用中，当所得数据的平均数不相等时，需先分析平均水平，再计算标准差(方差)分析稳定情况．•(1)(2013·湖北高考)某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下：•7,8,7,9,5,4,9,10,7,4•则①平均命中环数为________．•②命中环数的标准差为________．•(2)从甲、乙两种玉米的苗中各抽10株，分别测它们的株高如下：(单位：cm)•甲：25414037221419392142•乙：27164427441640401640•问：①哪种玉米的苗长得高？•②哪种玉米的苗长得齐？•[分析]1.求方差的第一步求什么？其公式是什么？•2．什么是标准差？如何求？•3．判断数据波动大小的特征数是什么？如何判断？[解析](1)平均数为110(7＋8＋7＋9＋5＋4＋9＋10＋7＋4)＝7，s2＝110[(7－7)2＋(8－7)2＋(7－7)2＋(9－7)2＋(5－7)2＋(4－7)2＋(9－7)2＋(10－7)2＋(7－7)2＋(4－7)2]＝4，s＝2.(2)看哪种玉米的苗长得高，只要比较甲、乙两种玉米的苗的均高即可；要比较哪种玉米的苗长得齐，只要看两种玉米的苗高的方差即可，因为方差是体现一组数据波动大小的特征数．①x甲＝110(25＋41＋40＋37＋22＋14＋19＋39＋21＋42)＝110×300＝30(cm)，x乙＝110(27＋16＋44＋27＋44＋16＋40＋40＋16＋40)＝110×310＝31(cm)．所以x甲＜x乙．②s2甲＝110[(25－30)2＋(41－30)2＋(40－30)2＋(37－30)2＋(22－30)2＋(14－30)2＋(19－30)2＋(39－30)2＋(21－30)2＋(42－30)2]＝110(25＋121＋100＋49＋64＋256＋121＋81＋81＋144)＝110×1042＝104.2(cm2)，s2乙＝110[(2×272＋3×162＋3×402＋2×442)－10×3