截面图形几何性质

材料力学Ⅰ电子教案1•第一节静矩和形心一、静矩(面积矩）定义：微面积dA对z轴和y轴的静矩分别为和dAydAz截面（面积A)对z轴和y轴的静矩分别为：;AydAzS;AzdAyS静矩为代数值。静矩单位：;;33mmm不同截面对同一坐标轴的静矩不同；同一截面对不同坐标轴的静矩也不同。若截面形心坐标为zc、yc，将面积视为平行力（即看作等厚、均质薄板的重力），由合力矩定理可得：;cAzyAdAyS;cAyzAdAzS当Sz=0或Sy=0时，必有yc=0或zc=0，可知截面对某轴的静矩为零时，该轴必通过截面形心；反之，若某轴通过形心，则截面对该轴的静矩为零。材料力学Ⅰ电子教案2二、形心公式：.;ASzASyyczc三、组合截面的静矩：n个简单图形组成的截面，其静矩为：;1niciizyAS;1niciiyzAS四、组合截面形心公式：;11niiniciicAyAy;11niiniciicAzAz例5-1求图示T形截面形心位置。解：取参考坐标轴y、z,由对称图形,zc=0。分解图形为１、２两个矩形，则;2.1,48.0;46.2,072.0222121mymAmymA;36.148.0072.02.148.046.2072.0212211mAAyAyAyc若分解为１、２、３三个矩形，则;16.04.22.0252.26.0)2.126.1(52.26.0'myc材料力学Ⅰ电子教案3解：将此图形分别为I、II、III三部分，以图形的铅垂对称轴为y轴，过II、III的形心且与y轴垂直的轴线取为x轴，则求图示图形的形心。x150yCOx1y120010yC300IIIIII10mm8.38)30010(2102000)30010(2)1505()10200(iiiAyAyCC由于对称知：xc=0目录材料力学Ⅰ电子教案4求图示半径为r的半圆形对其直径轴x的静矩及其形心坐标yC。OCrxydAyCydy解：过圆心O作与x轴垂直的y轴，在距x任意高度y处取一个与x轴平行的窄条，ydyrAd222所以3022322ryd)yr(yAdySrAx3423223r/r/rASyxC目录材料力学Ⅰ电子教案5第二节惯性矩和惯性积一、极惯性矩：定义：平面图形中任一微面积dA与它到坐标原点Ｏ的距离ρ平方的乘积ρ2dA,称为该面积dA对于坐标原点o的极惯性矩。截面对坐标原点o的极惯性矩为：APdAI;2简单图形的极惯性矩可由定义式积分计算。实心圆截面：;3224202DdAIDP空心圆截面：)();1(3244DdDIP二、惯性矩：定义：平面图形中任一微面积dA对z轴、y轴的惯性矩分别为：y2dA和Z2dA；则整个图形（面积为A)对z轴、y轴的惯性矩分别为：;2AzdAyI;2AydAzI材料力学Ⅰ电子教案6定义:平面图形内，微面积dA与其两个坐标z、y的乘积zydA在整个图形内的积分称为该图形对z、y轴的惯性积。;AzydAyzI特点：①惯性积是截面对某两个正交坐标轴而言。不同截面对同一对轴或同一截面对不同轴的惯性积均不同。惯性积是代数值。单位：;,44mmm②若截面有一根为对称轴,则该截面对包括此对称轴在内的一对正交坐标轴的惯性积必为零。惯性矩是对某轴而言的，同一截面对不同轴的惯性矩值不同。惯性矩单位：m4或mm4；惯性矩恒为正值。简单图形对轴的惯性矩由定义式积分计算。三、惯性积：材料力学Ⅰ电子教案7例5-2求矩形截面对其对称轴的惯性矩和惯性积。解：取yoz坐标系。取微面积dA=bdy,则：;1232/2/22bhbdyydAyIhhAz;1232/2/22hbhdzzdAzIbbAy取微面积dA=hdz,则：例5-3圆形截面对其形心轴的惯性矩。解：取yoz坐标系。取微面积dA=2zdy,则：;6442442222DRdyyRydAyIRRAz;644DIIzy由对称性：,222zy＝由几何关系：.)(222yZAAPIIdAzydAI取微面积dA=dzdy，则：;0zyI材料力学Ⅰ电子教案8第三节惯性矩和惯性积的平行移轴公式组合截面的惯性矩和惯性积1.惯性矩和惯性积的平行移轴公式设有面积为A的任意形状的截面。C为其形心，Cxcyc为形心坐标系。与该形心坐标轴分别平行的任意坐标系为Oxy,形心C在在Oxy坐标系下的坐标为(a,b)任意微面元dA在两坐标系下的坐标关系为：ayybxxCCycyxcxCObdAxcycyx材料力学Ⅰ电子教案9AaIAayAaIAaAyaAyAayAyIccxcxAAcAcAcAx2222222dd2ddd同理，有：AaIIcxx2AbIIcyy2abAIIccyxxy（此为平行移轴公式）注意：•式中的a、b代表坐标值，有时可能取负值。•等号右边各首项为相对于形心轴的量。材料力学Ⅰ电子教案102.组合截面的惯性矩和惯性积根据惯性矩和惯性积的定义易得组合截面对于某轴的惯性矩（或惯性积）等于其各组成部分对于同一轴的惯性矩（或惯性积）之和：nixxiII1niyyiII1nixyxyiII1材料力学Ⅰ电子教案11求图示直径为d的半圆对其自身形心轴xc的惯性矩。解：（1）求形心坐标222)(yRyb12d2d)(d3222020dyyRyyybyAySddAxπ328π1223dddASyxcxyb(y)ycCdxc材料力学Ⅰ电子教案12（2）求对形心轴xc的惯性矩128π264π44ddIxπ18128π8π)(4422dddyIIcxxc由平行移轴公式得：xyb(y)ycCdxc材料力学Ⅰ电子教案13试求图a所示截面对于对称轴x的惯性矩。解：将截面看作一个矩形和两个半圆组成。（1）矩形对x的惯性矩：44331mm1053331220080122adIx（2）一个半圆对其自身形心轴xc的惯性矩（见上例）π18128π8π)(4422dddyIIcxxcxyC(a)d=8040100a=10040a+2d3材料力学Ⅰ电子教案14（3）一个半圆对x的惯性矩：由平行移轴公式得：44222222mm103467π322324π8ππ32adaddddaIIcxx（4）整个截面对于对称轴x的惯性矩：444421mm101227010346721053332xxxIII材料力学Ⅰ电子教案15第四节主惯性轴和主惯性矩：主惯性轴（主轴）—使截面对zo、yo轴的惯性积的这对正交坐标轴；0ooyzI主惯性矩（主惯矩）—截面对主惯性轴的惯性矩；形心主惯性轴（形心主轴）—通过形心的主惯性轴；形心主惯性矩（形心主惯矩）—截面对形心主轴的惯性矩。返回下一张上一张小结•若截面有一根对称轴，则此轴即为形心主惯性轴之一，另一形心主惯性轴为通过形心并与对称轴垂直的轴。•若截面有二根对称轴，则此二轴即为形心主惯性轴。•若截面有三根对称轴，则通过形心的任一轴均为形心主惯性轴，且主惯性矩相等。几个结论材料力学Ⅰ电子教案16303055CC2C1y221y1zC1zC2求T形截面对形心轴的惯性矩先求形心的位置：取参考坐标系如图，则：iiiCCAyAyz0mmAAyAyA75.23212211即截面的形心轴。、CCzy再求截面对形心轴的惯性矩：433115601230512530mmICy422212122212134530])([])([)()(2121mmAyyIAyyIAaIAaIICzCzzzzCCCCC由平行移轴定理得：yCzyCzC材料力学Ⅰ电子教案17求图示圆对其切线AB的惯性矩。解：求解此题有两种方法：一是按定义直接积分；二是用平行移轴定理等知识求。B建立形心坐标如图,求图形对形心轴的惯性矩。6424dIIIPyx6454644442dddAdIIxABAdxyOxyxIIIdI2324圆材料力学Ⅰ电子教案18思考：O为直角三角形ABD斜边上的中点，x、y轴为过点Ｏ且分别平行于两条直角边的两根轴，关于惯性积和惯性矩有四种答案(已知ba)：（A）Ixy＞０（B）Ixy０(C)Ixy=０（D）Ix=Iy正确答案是(C)xABDyOab材料力学Ⅰ电子教案19思考：等腰直角三角形如图所示，x、y轴是过斜边中点的任意一对坐标轴（即图中为任意值），该图形的:(1)惯性积Ixy＝＿＿(2)惯性矩Ix＝＿＿、Iy＿＿＿。yxaa答案：0；a4/24;a4/24材料力学Ⅰ电子教案20小结一、静矩：;cAzyAdAyS;cAyzAdAzS性质：截面对某轴的静矩为零时，该轴必通过截面形心；APdAI;2;324DIP)();1(3244DdDIP二、极惯性矩：实心圆截面：空心圆截面：三、惯性矩：;2AzdAyI;2AydAzI;AzydAyzI四、惯性积：矩形截面：圆形截面：;123bhIz;123hbIy;644DIIzy.)(222yZAAPIIdAzydAI几何关系：五、平行移轴公式：;21Abyy;11abAIIzyyz;21AaIzz返回下一张上一张小结材料力学Ⅰ电子教案21六、主惯性轴和主惯性矩：形心主惯性轴（形心主轴）—通过形心的主惯性轴；形心主惯性矩（形心主惯矩）—截面对形心主轴的惯性矩。主惯性轴（主轴）—使的这对正交坐标轴；主惯性矩（主惯矩）—截面对主惯性轴的惯性矩；0ooyzI七、平面图形几何性质的几何意义：1.静矩：图形的形心相对于指定坐标轴之间距离的远近程度；2.极惯性矩：图形的面积相对于指定坐标原点之间分布的集中或分散程度；3.惯性矩：图形的面积相对于指定坐标轴之间分布的集中或分散程度；4.惯性积：图形面积相对于指定的一对正交坐标轴之间分布的集中或分散程度。返回下一张上一张小结