板壳力学ch5-大挠度理论

TONGJIUniversity68-1平板理论第五章薄板的大挠度理论平板理论大挠度(也称为几何非线性?)问题的理论描述；经典求解方法。仍为小应变问题(Largedeformation,deflection,displacement)Mar.2012板壳结构TONGJIUniversity68-2§5.1基本假定平板理论1)板单元的荷载与内力Mar.2012板壳结构TONGJIUniversity68-32)基本假定(1)板的挠度w与板厚t为同一数量级，但与板的平面尺寸相比较，仍为小量；(2)与挠度w相比较，中面位移u、v是很小的量；(3)变形前垂直于中面的直线，变形后仍为直线，且垂直于变形后的中面，并保持原长；保持原长：意味着z=0，板厚度不变；变形后仍为直线：意味着yz=zx=0，直法线假定；由于u、v引起的面内伸缩一致。(4)正应力z与x、y、xy相比，属于小量。平板理论Mar.2012板壳结构TONGJIUniversity68-4平板理论与小挠度理论的不同点：中面内各点,由于挠度w将产生面内(纵向)位移u、v;由于中面位移u、v,将产生中面应变和应力；板内各层由于u、v产生伸缩变形一致。小挠度理论大挠度理论Mar.2012板壳结构TONGJIUniversity68-5§5.2薄板大挠度弯曲的基本方程5.2.1中面应变分量与应变协调方程设坐标系oxy与板中面重合，z轴向下为正。当平板弯曲时，中面上点P(x,y,z)的位移为u、v、w，在x,y方向的正应变为x、y,剪应变为xy,中面的曲率及扭率为Kx、Ky。平板理论Mar.2012板壳结构TONGJIUniversity68-6平板理论1)中面的曲率及扭率根据直法线假定;且薄板各层由于u、v产生的伸缩变形是均匀的;u、v对挠曲变形w没有影响。因而，大变形条件下，挠曲变形模式与小挠度理论中相同，故此，两种理论下，中面曲率和扭率表达式相同。即2x2wKx2y2wKy2xywKxyMar.2012板壳结构TONGJIUniversity68-7平板理论2)中面应变中面应变x、y、xy，仅由u、v、w产生。Mar.2012板壳结构TONGJIUniversity68-8平板理论(1)由u、v产生的应变①微元的AB线变形变形前长度为dx，变形后长度为ds1221111uvudsABdxdxdxdxxxx由此长度变化产生的应变为1xdsdxudxxMar.2012板壳结构TONGJIUniversity68-9平板理论②微元的AC线变形变形前长度为dy，变形后长度为ds2。222111vuvdsACdydydydyyyy由此，同理可得dy长度变化产生的应变2ydsdyvdyyMar.2012板壳结构TONGJIUniversity68-10平板理论vvdxvvxtgdxx③微元的AB、AC线角变形xyuvyxAB线角变形BC线角变形uudyuuytgdyy则，剪应变为Mar.2012板壳结构TONGJIUniversity68-11平板理论(2)由w产生的应变微元的AB线因w产生的长度变化，变形后长度为ds3；AC线因w产生的长度变化，变形后长度为ds4。Mar.2012板壳结构TONGJIUniversity68-12平板理论①微元AB线因w产生的长度变化，变形后长度为ds3222322112wwdsABdxdxdxxx由此长度变化产生的应变为2312xdsdxwdxxMar.2012板壳结构TONGJIUniversity68-13平板理论②微元AC线因w产生的长度变化，变形后长度为ds4222422112wwdsACdydydyyy由此长度变化产生的应变为2412ydsdywdyyMar.2012板壳结构TONGJIUniversity68-14平板理论③微元AB、AC线因w产生的角变形xy由上节几何关系可求得22222223221wwdsABdxdxdxxx22222224221wwdsACdydydyyy则222252222222dsBCBCBBCCwwdxdydxdyxy(A)Mar.2012板壳结构TONGJIUniversity68-15平板理论222534342cos2xydsdsdsdsdsBAC变形前为直角(/2),变形后为/2-xy,则由余弦定理可求得(C)因为xy为小变形，即有cossin2xyxyxy则式(B)简化为222534342xydsdsdsdsds(B)Mar.2012板壳结构TONGJIUniversity68-16平板理论由式(A)=式(C)可得到2222234342xywwdxdydxdydsdsdsdsxy经过简化可得因w产生的剪应变xywwxyMar.2012板壳结构TONGJIUniversity68-17平板理论(3)总应变大变形条件下，薄板中面上的应变212xxxuwxxxyxyxyuvwwyxxy212yyyvwyy几何非线性项Mar.2012板壳结构TONGJIUniversity68-18平板理论大变形条件下，薄板上距中面为z的点的变形Mar.2012板壳结构TONGJIUniversity68-19平板理论由直法线假定,得到大变形条件下,薄板上距中面为z的点的应变222()2212zxxwuwwzzxxxx22()22zxyxywuv222()2212zyywvwwzzyyyyMar.2012板壳结构TONGJIUniversity68-20平板理论mb大变形条件下，薄板的应变模式Mar.2012板壳结构TONGJIUniversity68-21平板理论大变形条件下，薄板上距中面为z的点的应变()()zzxmxbx()()zzxymxybxy()()zzymybym=membrane薄膜(合力作用在面内)；b=bending弯曲(合力作用在面外)。Mar.2012板壳结构TONGJIUniversity68-22平板理论3)应变协调方程——相容方程(中面连续条件)x、y、xy是u、v、w的函数,u、v、w是坐标x、y的函数，则x、y、xy相互关联。对x关于y求导两次，对y关于x求导两次，对xy关于x、y各求导一次，得到2222222yxyx2222上式为薄板大挠度弯曲中面应变协调方程，或称为中面连续条件。满足连续条件，中面不发生撕裂，也不发生皱褶。Mar.2012板壳结构TONGJIUniversity68-23平板理论5.2.2应力分量、内力、内力矩1)应力分量由虎克定律及小挠度理论的前两个假定可得,距中面为z的点的应力为22()()()2222222222211111zzzxxyxyxxxyEEEzwwxyEzwwxyEzKKMar.2012板壳结构TONGJIUniversity68-24平板理论22()()()2222222222211111zzzyyxyxyyyxEEEzwwyxEzwwyxEzKK2()()22212112111zzxyxyxyxyxyxyxyEEEzwEEzKxyEK其中，x、y、xy为中面应力，称为薄膜应力。Mar.2012板壳结构TONGJIUniversity68-25平板理论mb大变形条件下，薄板的应力模式Mar.2012板壳结构TONGJIUniversity68-26平板理论大变形条件下，薄板上距中面为z的点的应力()()zzxmxbx()()zzxymxybxy()()zzymybyMar.2012板壳结构TONGJIUniversity68-27平板理论2)内力与内力矩(1)内力矩、横向力与薄膜力无关,因而,与小挠度理论表达式相同内力矩为(面内应力沿板厚积分)：Mar.2012板壳结构TONGJIUniversity68-28平板理论横向剪力(通过与弯矩的关系式得到)为：Mar.2012板壳结构TONGJIUniversity68-29平板理论根据直法线假定,薄膜应力x、y、xy沿板厚均匀分布,则中面力—薄膜力—可表示为(沿板厚积分)：xxNt(2)中面内力—薄膜力yyNtxyxyNtmb单位宽度的中面力?Mar.2012板壳结构TONGJIUniversity68-30平板理论11xxyxyNNEEt中面应变与内力的关系11yyxyxNNEEt21xyxyxyxyNEGGtMar.2012板壳结构TONGJIUniversity68-31平板理论将内力代入应力表达式，得到用内力表示的应力()312zxxxNMztt()312yyzyNMztt()312xyxyzxyNMztt上式中，第一项为薄膜应力，第二项为弯曲应力。在小挠度理论中，薄膜应力为0。Mar.2012板壳结构TONGJIUniversity68-32平板理论5.2.3基本微分方程与小挠度理论不同:板单元的内力增加了薄膜内力;建立平衡方程的条件：板的状态?Mar.2012板壳结构TONGJIUniversity68-33平板理论1)基本方程根据板微元的平衡方程，确定力与变形间的关系。(1)由Fx=00yNxNyxx(2)由Fy=00xNyNxyy(1)(2)Mar.2012板壳结构TONGJIUniversity68-34平板理论(3)由Fz=0①横向内力及荷载产生的分量dxdyqyQxQyx②薄膜力产生的分量Nx因板挠曲变形在z向产生的分量为dydxxwxwdxxNNdyxwNxxx22Mar.2012板壳结构TONGJIUniversity68-35平板理论略去高阶项，变为dxdyxwxNxwNxx22Mar.2012板壳结构TONGJIUniversity68-36平板理论同理，Ny因板挠曲变形在z向产生的分量为dxdyywyNywNyy22Nxy、Nyx因板挠曲变形在z向产生的分量Mar.2012板壳结构TONGJIUniversi