奥赛辅导第7讲振动与波动(湖南郴州市湘南中学 陈礼生)

第1页共15页第七讲振动与波动湖南郴州市湘南中学陈礼生一、知识点击1．简谐运动的描述和基本模型⑴简谐振动的描述：当一质点，或一物体的质心偏离其平衡位置x，且其所受合力F满足(0)Fkxk，故得2kaxxm，km则该物体将在其平衡位置附近作简谐振动。⑵简谐运动的能量：一个弹簧振子的能量由振子的动能和弹簧的弹性势能构成，即222111222EmkxkA⑶简谐运动的周期：如果能证明一个物体受的合外力Fkx，那么这个物体一定做简谐运动，而且振动的周期22mTk，式中m是振动物体的质量。⑷弹簧振子：恒力对弹簧振子的作用：只要m和k都相同，则弹簧振子的振动周期T就是相同的，这就是说，一个振动方向上的恒力一般不会改变振动的周期。多振子系统：如果在一个振动系统中有不止一个振子，那么我们一般要找振动系统的等效质量。悬点不固定的弹簧振子：如果弹簧振子是有加速度的，那么在研究振子的运动时应加上惯性力．⑸单摆及等效摆：单摆的运动在摆角小于50时可近似地看做是一个简谐运动，振动的周期为2lTg，在一些“异型单摆”中，lg和的含义及值会发生变化。（6）同方向、同频率简谐振动的合成：若有两个同方向的简谐振动，它们的圆频率都是ω，振幅分别为A1和A2，初相分别为1和2，则它们的运动学方程分别为111cos()xAt222cos()xAt因振动是同方向的，所以这两个简谐振动在任一时刻的合位移x仍应在同一直线上，而且等于这两个分振动位移的代数和，即12xxx由旋转矢量法，可求得合振动的运动学方程为cos()xAt这表明，合振动仍是简谐振动，它的圆频率与分振动的圆频率相同，而其合振幅为第2页共15页221212212cos()AAAAA合振动的初相满足11221122sinsintancoscosAAAA2．机械波：（1）机械波的描述：如果有一列波沿x方向传播，振源的振动方程为y=Acosωt，波的传播速度为，那么在离振源x远处一个质点的振动方程便是cos()xyAt，在此方程中有两个自变量：t和x，当t不变时，这个方程描写某一时刻波上各点相对平衡位置的位移；当x不变时，这个方程就是波中某一点的振动方程．（2）简谐波的波动方程：简谐振动在均匀、无吸收的弹性介质中传播所形成的波叫做平面简谐波。如果一列简谐波在oxy平面内，以波速u沿ox轴正方向传播，振源（设其位于坐标原点）的振动方程为cos()yAt，由于波是振动状态的传播，故知坐标原点的振动状态传播到离振源(0)xx处要滞后0xtu的时间。这表明若坐标原点振动了t时间，x处的质点只振动了0tt的时间，于是x处振动质点的位移可表为cos()xyAtu显然，上式适用于表述ox轴上所有质点的振动，它就是平面简谐波的波函数，也常称为平面简谐波的波动方程。同理，如果简谐波沿ox轴负方向传播，则波函数为cos()xyAtu为了加深对波函数物理含义的理解，下面以cos()xyAtu为例做－讨论。①当0xx时（好似用摄像机对着坐标为0x这一质点进行拍摄），则00cos()cos()xxyAtAtuu。它表示的是坐标为0x的质点在不同时刻的位移，即该处质点的振动方程。②当0tt时（好似用照相机对一组质点在0t时刻进行照相），则第3页共15页00cos()cos()xxyAtAtuu。它表示在给定的0t时刻各质点的位移分布情况，相应的图像称为0t时刻的波形图。3．波的干涉和多普勒效应⑴波的叠加：几列波在同一介质中传播时，在它们相遇的区域内，每列波都将保持各自原有的频率、波长和传播方向，并不相互干扰．波的这种性质叫做波的独立性．因此在几列波重叠的区域内，每个介质质点都将同时参与几列波引起的振动，每个质点的振动都是由几个分振动合成的．故在任一时刻，每个质点的位移都是几列波各自的分振动引起的位移的矢量和．这种现象称为波的叠加．⑵波的干涉：两列频率相同、振动方向相同、相位差恒定的波叫做相干波。两列相干波传到同一个区域，可使某些位置的质点振动加强，某些位置的质点振动减弱，而且振动加强和振动减弱的区域相互间隔，这种现象叫做波的干涉。⑶多普勒效应：当声源和观察者之间存在相对运动时，会发生收听频率和声源频率不一致的现象．该种现象神称为多普勒效应．为了简单，这里仅讨论波源或观察者的运动方向与波的传播方向共线的情况．设波速为0，波的频率为f，接收到的频率为f：（a）观察者以速度u向波源运动：00uff(b)波源以速度向观察者运动：00ff(c)波源和观察者都运动：00uff二、方法演练类型一、根据简谐振动的基本模型和各种变形的振动模型，求振动周期是振动问题的一种基本类型，解题中要注意简谐振动的动力学特征Fkx或kaxm的形式，从中得出有关等效量。例1．一简谐运动的系统如图7—1所示，不计一切摩擦，绳不可伸长，m1、m2及弹簧的劲度系数k已知求m2上下振动的周期。分析和解：本题是一个弹簧振子的变式模型，解题时要根据受力分析由牛顿运动定律得出振动的动力学特征，然后由周期公式就可求出其振动周期设某一时刻弹簧伸长x，绳上张力是FT。分析m1：11TkxmgFma分析m2：222TaFmgm第4页共15页消去FT：212122(2)2mkxmgmgam，假设振子平衡时弹簧伸长0x，此时m1、m2的加速度为零，则有02122kxmgmg设m1偏离平衡位置的位移为x，则0xxx201212()2(2)2mkxxmgmgam①将21022mgmgxk代入①式，可得212(2)2mkxam21()4mFkxam所以这个振子系统的等效质量是214mm，周期为12424mmTk例2．如图7—2所示，轻杆AB左端A被光滑铰链固定，右端B被一劲度系数为k2的弹簧拉住，弹簧的上端系于一固定点D。杆上的C点系有另一劲度系数为k1的轻弹簧，弹簧的下端系有一质量为m的物体。系统平衡时，杆恰处于水平而两弹簧轴线均沿竖直方向．已知AC＝a，AB＝b，求杆绕A点在竖直平面内作微小振动的周期．分析和解：该题的解答过程即将整个系统等效为一弹簧振子并求其劲度系数的过程：将物体移动x,计算出其受力为f=-k'x,则kˊ即为等效的劲度系数．注意到系统在初始状态下已平衡，所以可以不考虑重力的影响．现设物体偏离平衡位置一极小位移x，由此而引起两个弹簧的长度变化为1x，2x，则有12axxxb又AB为轻杆，其受合力矩必定为0.即1122kxakxb由以上两式解得2212212bkxxakbk物体受力满足212112212bkkfkxxakbk2212212()2makbkTbkk类型二、波的干涉问题大多是问题简单，解答繁复，根据矢量叠加原理和波的干涉特征，大多产生多值问题，在处理这类问题时，一般先不急于代人数据，文字运算有助于从物理意义角度思考问题．例3．如图7—3所示，在半径为45m的圆形跑道的P点和圆第5页共15页心Q点各有一个相同的扬声器，发出的都是波长10m的完全相同的声波，一个人从直径PH的H点出发，沿逆时针方向绕圆周走一圈，问他离开H点后，到达P点前共听到几次最弱的声音？分析和解：本题是根据波的干涉原理来解决声波干涉的现象，解题时可从波程差和振动加强或减弱的条件出发。如图7—4所示，设人走到圆弧上的A点处，∠APH=θ，则P、Q两点波源到A的路程差ΔS满足：ΔS＝2Rcosθ­R考虑人的运动范围，对于θ，有02，RSR①为使人能听到最弱的声音，ΔS又应满足：(21)2SnnN②结合①②，将R=45m，λ=10m代入，得到N=0，±1,±2,±3,±4,­5时，人能听到最弱的声音，共10次。类型三、波动问题的最大特征就是其多解性，包括速度的正负方向，距离相差整数倍波长时振动的完全等效，都应仔细考虑，在处理这类问题时，一般应先求出产生多解量的表达式，然后通过文字运算得到所求量的表达式，最后根据有关物理意义确定题解。例4．图7—5中的实线和虚线分别表示沿x轴方向传播的正弦波t=0和t=1s时刻的波形。（1）求该波的频率和波速；（2）写出X=0及X=1m处的质点振动方程。分析和解：本题的特点是波的传播方向不确定和周期的不确定（或距离相差整数倍波长时振动的完全等效）形成多解。（1）由题给图象可知，如果波向x正方向传播，则两时间间隔内该机械波可能向前传播了1()4n，其中n=0，1，2，3，…1()142()/4nSnmstt，1()4fnHz第6页共15页同理，如果波沿x轴负方向传播3()342()/4nnmst,3()4fnHz（2）如果波向x轴正方向传播，则有x=0时，0(41)cos()0.01cos22nyAttmx=lm时，0(41)3cos()0.01cos22nyAttm同理，如果波向x轴负方向传播，则有x=0时，(43)30.01cos22nytmx=1时，(43)0.01cos22nytm类型四、等效摆的问题也简谐振动的另一基本模型单摆的变形模型，求振动周期时一般考虑等效摆长和等效重力加速度，但对于刚体构成的复摆，其等效量的计算往往要考虑质心及刚体的转动惯量才能简化解题过程。例5．如图7—6所示，由匀质金属丝做成的等腰三角形可在图示平面内作小振幅振动．在位置（a）和（b）的情形，长边是水平的．所有三种情形的振动周期均相等．试求出该周期．分析和解：该题中，悬挂的三角形架为一复摆，而复摆的周期公式为2ITmgh，对象是刚体，I为刚体对悬点的转动惯量，h为质心与悬点间的距离．另外，题中得出两位置相异、周期相同的置点与质量心间的距离S1、S2满足21224TgSS，与m，I无关，这是一个非常重要的结论。如图7—7，设三个悬点分别距金属架Sa，Sb，Sc，对于悬挂点距质心为S的复摆的周期T，讨论如下：2022ImSITmghmgS第7页共15页220204ITgSSm①其中Io为系统绕质心的转动惯量。将①式视为一关于S的一元二次方程，则当T为一确定G位于AC的中点，Sa=Sc=5cm，2221.6bcSSBCcm①式的两解为Sa=5cm，Sb=21.6cm即21.04abSSTsg类型五、多普勒效应的问题是波源或观察者的运动与波的传播三者间的相对运动的问题，一般地说可化为行程问题来解，但解题过程会比较复杂，所以直接用推导得出的公式比较简单。例6．一个人站在广场中央，对着甲、乙、丙三个伙伴吹哨子（频率1200Hz），甲、乙、丙距广场中央都是100m远，且分别在广场中央的南东北面，第四个伙伴丁从西面乘车以40m/s的速度赶来，忽然有一阵稳定的风由南向北吹来，速度为速度为10m/s，如图7—8所示，求甲、乙、丙、丁四人听到哨声的频率各是多少？已知当时声速为320m/s。分析和解：由于风吹动引起介质相对声源和观察者以速度F运动，即Fu，应用多普勒效应公式VV1200Hz对甲：F，Fu则1200FFVHzV甲对乙：由于F在东西方向无速度分量，故0u，所以012000VHzV乙对丙：F，Fu，1200FFVHzV丙对丁：u=0，40/ms，32040120013500320VHzV丁三、小试身手1．如果沿地球的直径挖一条隧道，求物体从此隧道一