热 学

第十三章热学§13-1气体状态方程【基本内容】热力学系统：由大量分子组成的物质（气体、液体、固体）称为热力学系统,系统以外其它物体称为外界。热力学：以观察和实验为基础，研究热现象的宏观规律，总结形成热力学三大定律，对热现象的本质不作解释。统计物理学：从物质微观结构出发，按每个粒子遵循的力学规律，用统计的方法求出系统的宏观热力学规律。分子物理学：是研究物质热现象和热运动规律的学科，它应用的基本方法是统计方法。一、气体状态方程1、宏观量与微观量宏观量：表征大量分子集体性质的物理量（如P、V、T、C等）。微观量：表征个别分子状况的物理量（如分子的大小、质量、速度等）。2、热力学过程、平衡态与平衡过程热力学过程：是系统状态经过一系列变化到另一状态的经历。平衡态：是热力学系统在不受外界影响的条件下，宏观热力学性质（如P、V、T）不随时间变化的状态。它是一种热动平衡，起因于物质分子的热运动。平衡过程：热力学过程中的每一中间状态都是平衡态的热力学过程。3、理想气体的状态方程（1）理想气体的状态方程是理想气体在任一平衡态下，各状态参量之间的函数关系:RTRTMPV（2）气体压强与温度的关系P=nkT玻尔兹曼常数k=R/NA=1.38×10-23J/K，啊伏加德罗常数NA=6.028×1023/mol。ρ=nm分子数密度n=N/V，ρ——气体质量密度，m——气体分子质量。二、理想气体的压强1、理想气体的微观假设关于分子个体力学性质的假设：（a）分子本身的大小比起它们之间的距离可忽略不计。（b）除了分子碰撞瞬间外，分子之间的相互作用以忽略。（c）分子之间以及分子与器壁间的碰撞是完全弹性的。关于分子集体之间性质的假设——统计假设：（a）分子按位置的分布是均匀的，即分子沿空间各个方向运动的数目相等。（b）分子按速度方向的分布是均匀的，即分子沿空间各个方向运动的机会相等。2、理想气体的压强公式tnvnmP32312分子的平均平动动能：221vmt3、压强的统计意义P是统计平均值，是对时间、对大量分子、对面积求平均的效果。三、理想气体的温度1、分子平均平动动能与温度的关系kTt23温度的意义：气体的温度是分子平均平动动能的量度；温度标志物质内部分子无规则运动的剧烈程度。2、方均根速率2v方均根速率：是气体分子热运动时，速度的平均值。RTmkTv332四、分子间的碰撞1、平均碰撞频率是一个分子在单位时间内与其它分子碰撞的平均次数。nvdZ22d：分子有效直径，v：分子平均速率，n：分子数密度。2、平均自由程是一个分子在连续两次碰撞之间，自由运动路程的平均值。PdKTndZv22221五、能量均分定律1、自由度决定物体在空间位置所需要独立坐标的数目，称为该物体的自由度。i=t+rt：平动自由度，i：转动自由度。单原子分子t=3、r=0、i=3；刚性双原子分子t=3、r=2、i=5；刚性多原子分子t=3、r=3、i=62、能量均分定律在温度为T的平衡态下，气体分子每个自由度的平均动能均为kT21。分子的平均动能：kTik23、内能及内能的改变量内能：是组成系统所有分子的的热运动的总动能与分子相互作用的总势能之和。理想气体的内能：是组成系统所有分子的的热运动的总动能之和。TCRTiNkTiEV22理想气体的内能E是温度的单值函数：)(TEE内能的改变量：决定于系统的始未状态，与系统经历的过程有关。对理想气体：dTCdEV【典型例题】【例13-1】某容器内装有质量为0.1kg、压强为10atm、温度为470C的氧气。因容器漏气，一段时间后，压强减少为原来的5/8，温度为270C。求：（1）（1）容器的体积；（2）（2）漏出了多少氧气。【解】根据理想气体的状态方程漏气前状态：)(102.8331111111mPTRMVRTMVP漏气后状态：)(1066.63222222kgRTVPMRTMVP)(4.3321kgMMM【例13-2】图例13-2所示容器内，当左边容器温度增到50C，右边气体增到300C时，中央水银是否会移动？如何移动？【解】由理想气体的状态方程对初始状态,左边气体：1111RTMVP右边气体：2222RTMVP水银处于中央平衡位置时：2121,VVPP由以上各式可求：1221TTMM对未状态：左边气体：'11'1'1RTMVP右边气体：'22'2'2RTMVP平衡时：'1'2PP由以上各式得：19847.0303278273293'2'112'2'121'2'1TTTTTTMMVV故水银向左边移动少许。【例13-3】有2×10-3m3的刚性双原子理想气体，内能为6.75×102J。（1）（1）求该气体的压强；（2）（2）设分子总数为5.4×1023个，求分子的平均平动动能及气体的温度。【解】（1）由理想的的压强和温度的关系nkTP得：)(1035.1225PaiVEPNkTiE（2）分子的平均平动动能为：2/3kTt，故：P(10Pa)PP图13.2例13-7图0v0v1v(10m)3-3410ebd4ca5例13-2图0度氮气氦气0度00)(36252)(105.7532521KNkTETJNENkTEt【例13-4】容器内有1mol的氮气,压强为1.33Pa,温度为70C.求：(1)(1)1m3氮气的分子数；(2)(2)容器中氮气的密度；(3)(3)1m3氮气中,分子的总平动动能。【解】视氮气为刚性双原子分子：t=3，r=2，i=5（1）1m3氮气的分子数201044.3kTPVNkTVNP个（2）容器中N2的密度)/(106.135mkgRTPVMRTMPV（3）1m3N2气中,分子的总平动动能)(22323JPVkTVNPNkTkk【分类习题】【13-1】处于平衡态的三种理想气体储存于一密闭容器中。第一种气体分子数密度为1n，压强为1P，第二种与第三种理想气体分子数密度分别为12n和13n，求混合气体的压强。【13-2】在容积为V的容器内，盛有质量为1M和2M的两种单原子分子理想气体。如混合气体处于平衡态时它们各自的内能均为E，则混合气体的压强为；两种分子的平均速率之比21VV。【13-3】分子平均动能2/ikT的适用条件是。室温下，mol1双原子理想气体分子的压强为P，体积为V，求此气体分子的平均动能为。【13-4】mol1氧气储存于温度为Co27的氧气瓶中，求这瓶氧气的内能、分子的平均平动动能及分子的平均动能各为多少？【13-5】对于mol1氦气、氢气和氨气，当它们的温度升高1K时，其内能增量分别为多少？【13-6】容积为10升的容器内，充满50g、18Co的氢气，当它以200sm/匀速运动时忽然停止，全部定向运动的动能转化为气体分子热运动动能，容器与外界无热交换，则达到平衡后，氢气的温度增加了K；压强增加了Pa；分子的平均平动动能增加了J。提示：2/52/2Tkmv。【13-7】理想气体经等压过程由体积0V膨胀到02V，求下列物理量末状态与初状态之比：平均自由程0，平均速率0vv，平均动能0。【13-8】标准状况下，氮气的平均碰撞频率和平均自由程分别为Hz81042.5和cm6106。若温度不变，气压降为0.1atm，则其平均碰撞频率和平均自由程各为多少？【13-9】关于温度意义的说法，下列哪些是正确的？(1)气体温度是气体分子平均平动动能的量度(2)气体温度是大量气体分子热运动的集体表现，具有统计意义(3)温度的高低，反映气体分子运动的剧烈程度.（４）从微观上说，气体温度表示每个分子的冷热程度。【13-10】理想气体微观模型的内容有：（１），（２），（３）。§13-2、麦克斯韦——玻耳兹曼分布定律【基本内容】对大量分子组成的气体，个别分子速度，动能，自由运动的路程是随机量，在平衡态下，其分布遵循一定的统计规律。一、麦克斯韦速率分布律研究在平衡态下，理想气体分子按速率分布的规律。1、麦克斯韦速率分布函数NdvdNvfv)(由统计规律可求：kTmvekTmvf2/2/32)2(4)(f（v）表示速率在v附近的单位速率区间内的分子数占总分子数的百分比。2、麦克斯韦速率分布律曲线如图13.1所示，特征：v=0时，f（v）=0；v→∞时，f（v）→0小矩形面积的意义：NdNdvvfv)(表示在速率区间v→v+dv内的分子数占总分子数的百分比。整个曲线下面积的意义（归一化条件）：表示速率在0→∞区间内的分子数占总分子数的百分比为1。1)(0dvvf3、最可几速率（最根然速率）麦克斯韦速率分布函数)(vf为极大值处所对应的速率值vp。表示：在相同速率区间内，vp所在区间内的分子数占总分子数的百分比最大。RTmkTvp224、麦克斯韦速率分布函数求平均值若微观量Q=Q（v），则其统计平均值为0)()(dvvQvfQPPf(v)v图13.1图13.2v0v+dv0v0v0vP若在区间v1→v2内求Q（v）的统计平均值，则；2121)()()()(vvvvdvvfdvvfvQvQ5、气体分子的特征速率最可几速率——讨论气体分子速率分布：RTmkTvp22平均速率——讨论气体分子平均自由程：RTmkTv88方均根速率——讨论气体分子平均平动动能：RTmkTv332pvvv2二、玻耳兹曼分布定律1、状态空间当以速度和位置来确定分子的运动状态时，由x、y、z及vx、vy、vz为相互垂直的坐标构成一坐标系，该坐标系所代表的空间叫状态空间。2、分子按能量的分布定律——玻耳兹曼分布定律在温度为T的平衡态下，在状态空间dvxdvydvzdxdydz内的分子数为：dxdydzdvdvdvekTmndNzyxkTEEpk/)(2/30)2(Ek、Ep：表示分子的动能和势能。n0：Ep=0处的分子数密度。3、分子按势能的分布定律在温度为T的平衡态下，分子数密度为为：kTEpenn/0推论：重力场中，分子按高度的分布定律RTghkTmghenenn/0/0恒温气压公式：RTghePP/0【典型例题】【例13-5】计算温度为7℃，空气分子在速率1440400sm区间内的百分数为多少?【解】设空气为理想气体，在温度T＝２８０K的平衡状态下速率分布函数为：22/2/32)2(24)(vekTmvfkTmv则在1440400sm速率区间的空气分子的百分数为：vvekTmvvfNNkTmv22/2/32)2(24)(代入数值计算有两种处理方法：【法一】已知：1140,400,280smvsmvKTRKm以空气的摩尔质量111331.8,1029kmolJRmolkg代入，则JkgKRKm51049.3将以上数值直接代入公式便可求出结果，然而数值多、方法烦。【法二】先求出最可几速率pv140022smRTmkTvp则原来的速率区间1440400sm可改写为pppvvv1.0而mkTvvmkTvvpp21.01.0,2这样122/2/34.0)2(24)(2evvekTmvvfNNkTmv将718.2,77.1e代入上式，得：%3.8NN比较两种方法，后者较为方便，有人问：如果速率不是1440400sm区间，而是1320280sm，怎么办?实际上只需写成ppvv8.07.0即可，其中pvv1.0代入计算，同样仍可求得结果。计算这类问题，目的是让读者了解分子运动速率的分布情况及计算方法。另外，本题并未告知分布函数，通常将气体视作理想气体，其分布也将服从麦克斯韦速率分布。【分类习题】【13-11】已知气体分子总数N，用速率分布函数vf表示：速率在21vv区间内