本科微积分(一)大纲论述

《微积分》课程教学大纲课程中英文名称：中文：微积分英文：CALCULUS适用专业：经济管理类各专业适用对象：本科课时：120学时考核形式：考试（闭卷）教学环境：课堂前言按照全国高等学校财经类专业本科生学习《经济数学基础》课程的基本要求，参考全国高等学校财经类专业核心课程《经济数学基础》教学大纲与经济管理类硕士研究生入学数学考试大纲，结合我校讲授《微积分》课程的教学实践，特制定编写了本大纲。本大纲适用于本科学历层次经济管理类开设大学数学（2）的各专业学生，大纲中不带“*”的内容为基本要求，带“*”号的内容可根据各专业对《微积分》的要求，教师自己掌握是否给学生讲授。对目的与基本要求，大纲分三个等级：对概念、理论性的知识，由低到高分别用“知道”、“了解”、“理解”区分；对运算、运用、方法和技巧等方面的知识，由低到高分别用“会”、该课程讲授两个学期(一学年)，约120学时，8个学分。教材原则上应优先选用面向21世纪教材、获国家教学成果奖教材或教育部推荐教材。根据需要，也可选用其他编写质量高、由国家级出版社出版的教材。选用的教材必须符合本教学大纲的要求，在教学内容和难易程度上与本大纲一致。本教学大纲的编写，力图在总结多年教学实践经验的基础上，做到既有本学科的系统、完整性和科学性，又有教学上的易教、适用性与灵活性；注重经济管理类专业对数学的需求以及《微积分》在后续课程中的需要，引入了财经专业中一些较常见、较简单的经济概念。欢迎各位教师在使用本大纲过程中，提出宝贵意见，以便修订提高。教学时数安排建议章次内容教学时数习题课时数微积分（一）（第一学期）一函数20二极限与连续104三导数与微分124四中值定理与导数的应用124五不定积分83微积分（二）（第二学期）六定积分124七无穷级数122八多元函数微积分学144九微分方程82十差分方程41合计第一章函数1.了解实数的简单性质，理解实数绝对值的概念，掌握简单绝对值不等式的求解方法。理解区间的概念及各种区间，理解邻域和空2.理解函数的定义、函数的定义和值域等概念、熟悉函数的表示法。掌握求函数的定义域的方法，了解函数四则运算与图形的关3.4.理解反函数的概念；知道函数与其反函数的几何关系；给定函5.理解复合函数的概念；了解两个(或多个)函数能成复合函数的条件；掌握将一个复合函数分解为较简单函数的方法，能区分函数6.理解基本初等函数及其定义域、值域等概念；掌握基本初等函数的基本性质及图象特点。7.8.【教学重点】基本初等函数的基本性质及图象特点，初等函数的概念，分段函数的概念【教学难点】分段函数的反函数的求出【教学内容】第一节一、实数集与数轴二、实数的绝对值及其性质三、区间与邻域（一）区间的表示（二）邻域的定义（三）左邻域，右邻域，空心邻域第二节一、常量与变量二、函数的定义三、函数的表示（一）表格法（二）图象法（三）解析法（四）描述法四、函数定义域的求法第三节单调性,有界性,奇偶性,周期性第四节一、反函数（一）反函数的定义（二）反函数的求出（三）反函数与原函数的图形的关系二、复合函数(一）复合函数的定义(二)有限个函数的复合(三)复杂函数的分解第五节一、基本初等函数（一）常量函数cy的定义域、值域及其图形。；（二）幂函数xy的定义域、值域及其图形。；（三）指数函数)0(aayx的定义域、值域及其图形。（四）对数函数)0(logaxya的定义域、值域及其图形。（五）三角函数xysin，xycos，xytan，xycot的定义域、值域及其图形。（六）反三角函数xyarcsin；xyarccos；xyarctan；xarcycot的定义域、值域及其图形。第六节成本函数,总收入函数,总利润函数,需求函数,供给函数第二章【教学目的与要求】1.理解数列与函数极限的直观定义。2.理解无穷小量的概念和基本性质，掌握无穷小量阶的比较方3.知道极限的基本性质，会用这些性质求一些简单极限的值.4.5.理解函数连续性的概念；掌握并会求函数间数点的分类；掌握6.了解连续函数的性质，理解并会运7.了解闭区间上连续函数的基本定理。8.掌握求极限的基本方法：利用极限运算法则、无穷小量的性质、两个重要极限、等价无穷小代换以及函数的连续性等求极限的值。【教学重点】求极限的基本方法：利用极限运算法则、无穷小量的性质、两个重要极限、等价无穷小代换以及函数的连续性【教学难点】闭区间上连续函数的性质【教学内容】第一节数列的极限一、数列的概念（一）数列的定义（二）单调数列（三）有界数列二、数列的极限第二节一、x时，函数f(x)的极限二、0xx时，函数f(x)的极限三、单侧极限（一）0xx时，函数f(x)的极限（二）0xx时，函数f(x)的极限（三）X→+∞时，函数f(x)的极限（四）X→-∞时，函数f(x)的极限。第三节函数极限的性质一、极限的唯一性二、有界性三、保号性四、夹逼性五、单调有界数列必有极限；六、两个重要极限：1sinlim0xxx；exxx)11(lim第四节函数极限的运算一、极限的四则运算法则：)0()(lim)(lim)()(lim)(lim)(lim)()(lim)(lim)(lim)()(lim,)(lim,)(limbbaxgxfxgxfabxgxfxgxfbaxgxfxgxfbxgaxf则：设二、复合函数的极限第五节无穷小量与无穷大量一、无穷小量与无穷大量的定义二、无穷小量与无穷大量的性质：（一）有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量；（二）无穷小量与有界量的乘积仍是无穷小量。（三）同号无穷大量的和仍是无穷大量（四）有限个无穷大量的积仍是无穷大量。（五）无穷大量的倒数是无穷小量；（六）不为零的无穷小量的倒数是无穷大量。（七）函数)(xf以A为极限的充分必要条件是Axf)(为无穷小量。三、无穷小量阶的比较第六节一、函数连续的定义（3种等价定义）二、左连续与右连续三、连续的性质：（一）若函数)(xf和)(xg在点0x处连续，则它们的和、差、积、商（0)(0xg）也在0x处连续。（二）若函数)(ufy在0u处连续，函数)(xgu在0x处连续，且)(00xgu，则)]([xgfy在点0x处连续。（三）严格单调且连续的函数其反函数也是严格单调且连续的。（四）初等函数在其定义域的内点处连续。四、间断点及其分类（一）第一类间断点1．可去型2．跳跃型（二）第二类间断点五、闭区间上连续函数的性质（一）有界性定理（二）最值定理（三）介值定理（四）零点存在定理。第三章导数与微分【教学目的与要求】1.理解导数的概念；理解导数的几可意义、经济意义及变化率的意义；理解可导与连续的关系。掌握用导数的定义式求简单函数的极限。2.3.4.5.6.掌握对数求导法7.了解高阶导数的概念，知道高阶导在经济中的简单应用，掌握求二阶、三阶导数及某些简单函数的n8.了解微分的概念；掌握可导与可微的关系；熟练掌握求可微函数微分的方法。9.知道边际与弹性的概念，会求解简单的经济应用问题。【教学重点】导数的定义，导数公式，复合函数的链式求导公式，对数求导法与隐函数求导法【教学难点】复合函数的链式求导公式【教学内容】第一节一、变速直线运动的瞬时速度二、平面曲线的切线斜率三、函数)(xf在0x点导数的定义四、)(0xf的几何意义五、左、右导数的定义六、可导与连续的关系：函数)(xf在0x点可导，则)(xf在0x点一第二节一、基本初等函数的导数（一）常量函数cy的导数（二）幂函数nxy的导数（三）指数函数)0(aayx的导数（四）三角函数xysin，xycos的导数。二、求导的四则运算法则：)()()()()()()()()()()()()()()()()(2xgxfxgxgxfxgxfxgxfxgxfxgxfxgxfxgxf三、三角函数xytan，xycot第四节一、反函数的导数（一）反函数的求导法则（二）反三角函数xyarcsin；xyarccos；xyarctan；xarcycot的导数二、复合函数的导数（一）复合函数求导的链式法则（二）幂函数xy、对数函数)0(logaxya三、隐函数求导法第五节一、高阶导数的定义及符号二、函数nxyxyxyxy,ln,cos,sin等的n阶导数。第六节微一、微分的概念（一）函数)(xf在0x点的微分的定义（二）函数)(xf在0x点微分的几何意义二、可导与可微的关系（一）微分基本公式（二）四则运算的微分法则（三）微分的形式不变性第七节一、边际分析（一）边际成本（二）边际收入（三）边际利润二、弹性（一）弹性的概念（二）需求—价格弹性三、近似计算与误差估计。第四章【教学目的与要求】1.了解费尔马定理、罗尔定理、拉格朗日定理。掌握用这些定理证明一些简单证明题(如证明不等式)2.熟练掌握罗必塔法则和各种未定式的定值方法。知道罗必塔法3.4.熟练掌握求函数极值与最值的方法。了解函数极值与最值的关5.熟练掌握曲线凹凸性判别方法，熟练掌握求曲线拐点与渐近线6.掌握函数作图的基本步骤和方法，会作某些简单函数的图像。【教学重点】罗必塔法则，函数单调性和凸凹性的判定，函数作图【教学难点】中值定理【教学内容】第一节中值定理一、罗尔中值定理二、拉格朗日中值定理与推论三、柯西中值定理第二节一、不定式的类型二、罗必塔法则三、未定式：00,0,1,0,,,00的定值方法四、罗必塔法则失效的情况第三节函数单调性的判别法一、利用函数的一阶导数判定函数单调性二、函数单调区间的求出及应用第四节函数的极值与最值一、函数的极值（一）函数)(xf的极大值、极小值、极大值点、极小值点的定义（二）函数)(xf最值的概念二、函数极值的判别（一）函数)(xf在0x点取得极值的必要条件（二）函数)(xf在0x点取得极值的第一充分条件（三）函数)(xf在0x点取得极值的第二充分条件。三、求函数最值的基本步骤。第五节凹凸性、拐点与渐近线一、曲线)(xfy的凹凸性与拐点（一）曲线)(xfy的凹凸性的定义（二）曲线)(xfy的拐点的概念三、曲线渐近线（一）曲线渐近线的定义（二）曲线的水平渐近线（三）曲线的垂直渐近线（四）曲线的斜渐近线第六节函数作图的基本步骤与方法一、函数作图的步骤二、函数作图举例第五章【教学目的与要求】1.2.3.熟练掌握第一换元积分法与第二换元积分法。熟练掌握用凑微4.熟练掌握用分部积分法求不定积分。【教学重点】定积分的换元法和分部积分法【教学难点】定积分的第一换元法【教学内容】第一节一、原函数的概念二、不定积分的定义与几何意义。三、不定积分基本性质（一）不定积分的导数（或微分）等于被积函数（或被积表达式）。即)()(xfdxxf或dxxfdxxfd)()(（二）函数的导数（或微分）的不定积分等于这个函数加一个任意常数。即cxfdxxf)()(或cxfxfd)()]([（三）非零常数因子可以提到积分号之前。即dxxfkdxxkf)()(（四）两个函数代数和的不定积分等于这两个函数不定积分的代数和。即dxxgdxxfdxxgxf)()()]()([第二节一、基本初等函数的不定积分（基本积分公式）（一）cdx0（二）)1(111cxdxx（三）cxdxxln1（四）)1,0(ln1aacaadxaxx（五）cedxexx（六）cxxdxcossin（七）cxdxsincos（八）cxxdxtansec2（九）cxxdxcotcsc2（十）cxxdxxsectansec（十一）cxxdxxcsccotcsc（十二）cxdxxarcsin112（十三）cxdxxarctan112二、直接积分法举例第三节一、第一换元法(凑微分法)：二、第二换元法第四节一、分部积分公式：设)(),(xvvxuu