7.1 预备知识

§7.1预备知识一、空间直角坐标系1、坐标系的建立：在空间中任取一点O，过O作三条互相垂直的数轴Ox、Oy、Oz，各轴方向按右手法则确定，各轴上规定一个共同的长度单位，就形成了空间直角坐标系Oxyz。OXZY【微积分7-1-1】OXYZ空间直角坐标系中有坐标原点、坐标轴、坐标平面、卦限等概念，坐标系分为八个卦限，分别指如下范围0,00,000,00,0IxyIIxyzIIIxyIVxy0,00,000,00,0VxyVIxyzVIIxyVIIIxy【微积分7-1-2】Ⅶxyozxoy面yoz面zox面ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅧ【微积分7-1-3】2、空间中的点与三元有序数组的对应（1）点的坐标：,,Pxoy对空间中某点作平面的垂线,,,,,xyxyxyxyPPxyPPPOP垂足为再过作轴垂线垂足为过作平行线000,,,,,,zxyzzPPPPxyz交轴为设在各坐标轴上的坐标为则称三元000(,,)xyzP有序数组为点的坐标XOZY000(,,)PxyzxyPxPyPzP0x0y0z【微积分7-1-4】（2）点与坐标的对应在一维空间的数轴上，一个数与点有一一对应关系在二维空间的平面直角坐标系上，一个二元有序数组与点有一一对应关系在三维空间的空间直角坐标系上，一个三元有序数组与点有一一对应关系X0POYX(,)Pxy0xxy【微积分7-1-5】二、向量代数简介1、向量概念：既有大小，又有方向的量。向量的表示一般是用有向线段来表示，线段的长度为向量的大小，线段的方向为向量的方向。常记作12PP12PP0,,若有则称为零向量零向量没有方向或为任意方向1,若有则称为单位向量两向量相等两向量大小相等且方向相同【微积分7-1-6】2、向量的加减法（1）向量的加法三角形法则ababab平行四边形法则ababab【微积分7-1-7】向量加法的三角形法则，可以处理多个向量的相加，只须将下一个向量的起点移至上一个向量的终点，则以第一个向量的起点为起点，以最后一个向量的终点为终点的向量就是所有向量相加的和。若a∥b，则a+b为当a,b同向，则大小为a与b大小的和，方向与a,b相同当a,b反向，则大小为a与b大小差的绝对值，方向为a与b中大小较大的向量的方向。（2）向量加法运算律交换律abba结合律()()abcabc【微积分7-1-8】（3）向量的减法负向量：大小相同，方向相反的向量，互为负向量。()abab运算法：将a,b的起点移到同一位置，则以b的终点为起点，a的终点为终点的向量即为a－bababab【微积分7-1-9】3、数量与向量的乘积（1）运算法,,Raa设为向量则也是一个向量其大小为：其方向为：a0,0,0,0aaaaa时与同向时与反向时【微积分7-1-10】（2）相关结论,abRba非零向量与平行使得001,aaaaaaa非零向量方向的单位向量为因此上述表示实际上是将向量分解为大小和方向两个独立的方面，其模表示其大小，其方向的单位向量表示其方向。（3）运算律1aa()aaa()()()aaa()abab【微积分7-1-11】4、向量的分解与向量的坐标（1）向量的分解(,,)PxyzxyzOxyPxPyPzP,OPO设向量的起点为(,,),Pxyz终点的坐标为如图示因而有：xyxyOPOPPPxxxyxyOPPPPPxyzOPOPOP,,,,ijk规定三坐标轴方向的单位向量为称为坐标向量则有,,xyzOPxiOPyjOPzkOPxiyjzk【微积分7-1-12】（2）向量的坐标,{,,}OPOPxiyjzkOPxyz若向量可分解为则称的坐标为即向量的坐标为将其起点移至坐标原点时的终点坐标对于坐标向量，其坐标为{1,0,0},{0,1,0},{0,0,1}ijk对于向量的模有222OPxyz111222{,,},{,,},axyzbxyz若则有111121212{,,},{,,}kakxkykzabxxyyzz【微积分7-1-13】5、空间中两点间距离公式11112222(,,),(,,),PxyzPxyz设在空间直角坐标系中任意两点11112222,,OPxiyjzkOPxiyjzk则有如下图oxyzP1P2P1221PPOPOP212121()()()xxiyyjzzk121,,PPPO对进行平移将移至坐标原点则有12212121{,,}OPPPxxyyzz22212212121()()()PPOPxxyyzz【微积分7-1-14】6、两向量的标量积（数量积、内积、点积）（1）定义：,,()(180),abab设为向量夹角记为两向量正方向所夹的不超过的角:cos()abababab则定义与的标量积为（2）性质：abba()abcacbc()(),ababR（3）相关结论0abab非零向量【微积分7-1-15】（4）坐标形式111222{,,},{,,},axyzbxyz设121212abxxyyzz则有证明：111222()()abxiyjzkxiyjzk121212121212xxiixyijxzikyxjiyyjjyzjk121212zxkizykjzzkk(,,,0)ijkijikjk两两互相垂直121212xxiiyyjjzzkk(,,,1)ijkiijjkk均为单位向量121212xxyyzz【微积分7-1-16】三、空间曲面与方程如果曲面S与三元方程0),,(zyxF有下述关系：（1）曲面S上任一点的坐标都满足方程；（2）不在曲面S上的点的坐标都不满足方程；那么，方程0),,(zyxF就叫做曲面S的方程，而曲面S就叫做方程的图形．(,,)0SFxyz空间曲面的方程的含义空间曲面也可以理解为具有某一性质的动点运动的轨迹，因此找空间曲面方程时，通过研究动点运动规律进行寻找。【微积分7-1-17】1、平面空间直角坐标系中一般平面的方程为0,,,,,,,axbyczdabcdRabc且不全为零几种特殊平面的系数特征过坐标原点的平面0dx过轴的平面0adx平行于轴的平面0axoyz垂直于轴或平行于坐标面的平面0bc【微积分7-1-18】2、球面：（1）定义：在空间直角坐标系中到定点的距离相等的点的集合，称为球面。其中定点称为球心，距离称为半径。（2）方程：球心在坐标原点的方程为2222xyzR球心不在原点的方程为2222000()()()xxyyzzR【微积分7-1-19】球面的图形为教材第200页例1—例4对曲面方程进行理解【微积分7-1-20】3、柱面（1）定义：LlC与定直线平行的动直线沿定曲线移动形成的曲面,lC其中动直线称为柱面的母线定曲线称为柱面的准线LCLC【微积分7-1-21】（2）柱面方程,zoxy母线平行于轴准线在坐标面上的曲线的柱面方程为(,)0,(,)fxyfxy其中为二次函数常见的柱面有：园柱面双曲柱面抛物柱面222xyR221xy22ypx注：因为是母线平行于z轴，所以方程中均不含z常见柱面的图形为【微积分7-1-22】园柱面【微积分7-1-23】【微积分7-1-24】【微积分7-1-25】4、二次曲面2221231231230axayazbxybyzbxzcxcyczd方程,的曲面称为二次曲面有如下常见的二次曲面（1）球面（2）椭球面（3）单叶双曲面（4）双叶双曲面2222,0xyzRR2222221,,,0xyzabcabc2222221,,,0xyzabcabc2222221,,,0xyzabcabc【微积分7-1-26】（5）二次锥面（6）椭圆抛物面（7）双曲抛物面（马鞍面）2222220,,,0xyzabcabc22222,,0xyzabab22222,,0xyzabab常见二次曲面的图形为【微积分7-1-27】【微积分7-1-28】【微积分7-1-29】【微积分7-1-30】【微积分7-1-31】【微积分7-1-32】【微积分7-1-33】5、截痕法截痕法是利用一序列平行平面与有关几何图形相交，通过了解截面边界曲线的形状来了解相关几何形状的方法。一般是利用一序列与坐标面平行的平面与曲面相交，了解其截痕的变化情况，从而确定曲面的形状。主要用于已知曲面方程，找其几何图形。教材第203页例5和例6介绍了其应用。【微积分7-1-34】zxyo补例方程的图形是怎样的？1)2()1(22yxz根据题意有1z用平面cz去截图形得圆：)1(1)2()1(22ccyx当平面cz上下移动时，得到一系列圆圆心在),2,1(c，半径为c1半径随c的增大而增大.图形上不封顶，下封底．解c【微积分7-1-35】四、平面区域的概念及其解析表示1、邻域：0000(,),0,,PxyxoyP设为坐标平面上一点则称以为圆心0,P为半径的圆内点集为的邻域记作222000(){(,)()()}OPxyxxyyoxy00(),OPP若去掉的中心00()\{}OPP则称其为去心邻域000(,)Pxy【微积分7-1-36】2、常见点集（1）内点0,,DxoyPxoy设为的一个点集为中任意点则有000,(),OPDPD使得则称为的内点（2）外点000,(),OPDPD使得则称为的外点（3）边界点00,(),OPD对在中既有中的点0,DPD也有不是中的点则称为的边界点oxy如右图圆内红色区域的点为圆域的内点，黑色的边线点位其边界点，外部区域的点则为圆域的外点。边界点可以属于D，也可以不属于D。【微积分7-1-37】（4）开集：若D内所有点均为内点，则称D为开集。（5）开区域（区域）：若D为开集，a,b为D内任两点，若能用有限条属于D的线段将a,b连起来，则称D为开区域或区域。（6）闭区域：区域及其边界构成的点集，称为闭区域。（7）有界区域：,(0),RRDOD使则称为有界区域否则为无界区域【微积分7-1-38】3、点集的解析表示就是用解析式表示出点集中的点所满足的不等式，然后用集合表示出来。处理上一般是找点集的边界曲线方程，然后再依据点集中的点与边界的关系来确定。具体处理见教材P206的例7—例10。如例10oxy1122(1)1Dxy边界曲线为22{(,)11,1111}Dxyxxyx22{(,)02,22}xyyyyxyy{(,)0,02sin}rr【微积分7-1-39】作业1.(1,2,3),oxyx找出点关于平面轴和原点的对称点2.234xyz找出方程在三个坐标轴上的截距3.,(1,3,4)5xPA在轴上求一点使其到点的距离等于24.{3,2,1},{1,1,2},(),(32)(3)abababab已知求5、指出下列方程所表示的曲面的名称2222222222222(1)21;(2)2;(3)2;(4)21;(5)21xyxyzxyzxyzxyz【微积分7-1-40】