2013年高一数学必修一课件：1.2《集合间的基本关系》(2)(北师大版)

集合间的基本关系1.集合的表示方法有、.2.元素与集合间的关系用符号表示.3.(1)若A＝{－2,2,3,4}，B＝{x|x＝t2，t∈A}，用列举法表示集合B＝.(2)用描述法表示集合A＝{1,4,7,10,13}＝列举法描述法∈{4,9,16}.{x|x＝3n－2，n∈N＋，n≤5}1.子集、真子集、集合相等的概念概念定义符号表示图形表示子集如果集合A中元素都是集合B中的元素，就说这两个集合有关系，称集合A为集合B的子集.AB(或BA)真子集如果集合AB，但存在元素且，则称集合A是集合B的真子集.AB(或BA)集合相等如果，那么就说集合A与集合B相等.AB任意一个包含x∈BxAAB且BA＝2.空集(1)定义：的集合，叫做空集.(2)用符号表示为：.(3)规定：空集是任何集合的.3.子集的有关性质(1)任何一个集合是它本身的，即.(2)对于集合A，B，C，如果AB，BC，那么.不含任何元素子集ACAA子集1.任何一个集合都是它本身的子集，对吗？【提示】正确，对于任何一个集合A，它的任何一个元素都属于集合A本身，即AA.2.包含关系{a}A与从属关系a∈A有什么区别？【提示】两者的区别是：(1)从符号上看，“”表示的是两个集合间的关系，而“∈”表示的是元素与集合间的关系；(2){a}是含一个元素a的集合，而a通常表示一个元素；(3){a}A表示{a}是A的一个子集，而a∈A表示a是A的一个元素.两集合相等的应用若＝{0，a2，a＋b}，则a2009＋b2010的值为.【思路点拨】先从特殊元素0着手，结合集合元素的特性求解.【解析】∵＝{0，a2，a＋b}，∴0∈.∴b＝0，此时有{1，a,0}＝{0，a2，a}，∴a2＝1，a＝±1.当a＝1时，不满足互异性，∴a＝－1.∴a2009＋b2010＝－1.【答案】－11，a，ba1，a，ba1，a，ba(1)两个集合相等，则所含元素完全相同，与顺序无关，但要注意检验，排除与集合元素互异性或与已知相矛盾的情形.(2)若两个集合中元素均无限多个，要看两集合的代表元素是否一致，且看代表元素满足的条件是否一致，若均一致，则两集合相等.(3)证明两个集合相等的思路是证：AB且BA.1.M＝{x|x＝1＋a2，a∈R}，P＝{x|x＝a2－4a＋5，a∈R}，试问M与P的关系怎样？【解析】∵a∈R，∴x＝1＋a2≥1，x＝a2－4a＋5＝(a－2)2＋1≥1，∴M＝{x|x≥1}，P＝{x|x≥1}，∴M＝P子集、真子集的概念问题写出满足{a，b}A{a，b，c，d}的所有集合A.【思路点拨】解答本题可根据子集、真子集的概念求解.【解析】由题设可知，一方面A是集合{a，b，c，d}的子集，另一方面A又真包含集合{a，b}，故集合A中至少含有两个元素a，b，且含有c，d两个元素中的一个或两个.故满足条件的集合有{a，b，c}，{a，b，d}，{a，b，c，d}.(1)正确区分子集与真子集概念是解题的关键.(2)写一个集合的子集时，按子集中元素个数多少，以一定顺序来写避免发生重复和遗漏现象.(3)集合中含有n个元素，则此集合有2n个子集，记住这个结论可以提高解答速.2.已知集合A{x∈N|－1＜x＜4}，且A中至少有一个元素为奇数，问：这样的集合A有多少个？并用恰当的方法表示这些集合.【解析】这样的集合A共有11个.∵{x∈N|－1＜x＜4}＝{0,1,2,3}，又A{0,1,2,3}，且A中至少含有一个奇数，故A中只含有一个元素时，A可以为{1}，{3}.A中含有两个元素时，A可以为{1,0}，{1,2}，{1,3}，{3,0}，{3,2}.A中含有三个元素时，A可以为{1,0,2}，{3,0,2}，{1,3,0}，{1,3,2}.（真）子集的综合应用已知集合A＝{x|2≤x＜4}，B＝{x|x＜a}.若AB，求实数a的取值范围.【思路点拨】解答本题可采用数轴分析法，将集合A、B表示在数轴上，利用数轴分析a的取值.【解析】将数集A表示在数轴上(如图所示)，要满足AB，表示数a的点必须在表示4的点处或在表示4的点的右边，所以所求a的集合为{a|a≥4}.解决此类问题的常用方法是数形结合，首先将各个已知集合在数轴上画出来，以形定数，然后利用数轴分析，再结合(真)子集的定义，列出参数满足的不等式，进而求出参数的取值范围.值得注意的是要检验端点值是否满足题意，做到准确无误.3.(1)本例中AB换成AB，A＝{x|2≤x≤4}，则a的取值范围又是什么？(2)本例中，若集合B＝{x|2a－9＜x＜a}，其他条件不变，则a的取值范围又如何呢？【解析】(1)将集合A表示在数轴上.要使AB，需a＞4.所以所求a的取值范围为a＞4.(2)由于AB，A≠，所以B≠.由数轴知，解得4≤a＜.故所求a的取值范围是4≤a＜.2a－9＜a2a－9＜2a≥41121121.子集、真子集的概念的理解(1)集合A是集合B的子集，不能简单地理解为集合A是由集合B的“部分元素”所组成的集合.如AA不含B中的任何元素.(2)如果集合A中存在着不属于集合B的元素，那么A不包含于B，或B不包含A.这有两方面的含义，其一是A、B互不包含，如A＝{a，b}，B＝{b，c，d}；其二是，A包含B，如A＝{a，b，c}，B＝{b，c}.2.集合相等(1)集合相等的定义有两方面含义：若AB且BA，那么A＝B；若A＝B，那么AB且BA.(2)证明两个集合相等的方法：若A、B两个集合是元素较少的有限集，可用列举法将元素列举出来，说明两个集合的元素完全相同，从而A＝B；若A、B是无限集，欲证A＝B，只需证AB与BA都成立即可.3.注意一些容易混淆的符号(1)∈∈表示元素与集合之间的关系，因此有0∈N，但0NNRR.(2)a与{a}的区别：一般地a表示一个元素，而{a}表示只有一个元素的集合，因此有1∈{1,2,3},0∈{0}，{1}{1,2,3}等，不能写成1{1,2,3},0＝{0}，{1}∈{1,2,3}.(3){0}{0}{0}{0}∈{0}等.若集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，且BA，求m的值.【错解】A＝{x|x2＋x－6＝0}＝{－3,2}.∵BA，∴mx＋1＝0的解为－3或2.当mx＋1＝0的解为－3时，由m·(－3)＋1＝0，得m＝；当mx＋1＝0的解为2时，由m·2＋1＝0得m＝－.综上所述，m＝或m＝－.13131212【错因】上述解法是初学者解此类问题的典型错误解法.原因是考虑不全面，由集合B的含义及BA.因此题目若出现包.【正解】A＝{x|x2＋x－6＝0}＝{－3,2}.∵BA，∴当Bm＝0适合题意.当B≠时，方程mx＋1＝0的解为x＝－，1m则－＝－3或－＝2，∴m＝或m＝－综上可知，所求m的值为0或或－1m1m131213121.集合{0,1}的子集有()A.1个B.2个C.3D.4个【答案】D2.下列各式中，正确的是()A.2∈{x|x≤3}B.2{x|x≤3}C.2{x|x≤3}D.{2}{x|x≤3}【解析】2表示一个元素，{x|x≤3}表示一个集合，但2不在集合中，故2{x|x≤3}，A、C不正确，又集合{2}{x|x≤3}，故D不正确.【答案】B3.集合A＝{1}与集合B＝{x|x2－4x＋3＝0}的关系为.【答案】AB333333334.已知集合A＝{x∈R|x2－3x＋4＝0}，B＝{x∈R|(x＋1)(x2＋3x－4)＝0}要使APB，求满足条件的集合P.【解析】由题意得，A＝{x∈R|x2－3x＋4＝0}B＝{x∈R|(x＋1)(x2＋3x－4)＝0}＝{－1,1，－4}，由APB知集合P非空，且其元素全属于B，即有满足条件的集合P为：{－1}或{1}或{－4}或{－1,1}或{－1，－4}或{1，－4}或{－1,1，－4}.