第五章 有限元动力学基本原理

第五章有限元动力学分析基本原理一、单元质量矩阵的计算1.单元一致质量矩阵2.单元集中质量矩阵3.常用单元的一致质量矩阵二、单元阻尼矩阵1.速度阻尼矩阵2.应变阻尼矩阵三、机械结构的固有频率和振型1.无阻尼自由振动方程2.矩阵迭代法3.其他方法四、机械结构的动力响应计算1.振型叠加法2.直接积分法在前面的介绍中，我们均假设作用在弹性体（或结构）上的载荷与时间无关，与此相应的，位移、应力及应变等也都和时间无关，即前面介绍的全部内容皆称结构静力学有限元方法。但工程实际中还存在着另外一类载荷与时间有关的动载荷作用于结构或弹性体，此时，相应的位移、应力、应变等都与时间有关，而且必须考虑惯性力和加速度等因素，这类分析或问题，成为动力学分析。对于质点—弹簧系统的振动，大家比较熟悉，例如一个自由度为n的质点—弹簧振系，其动平衡方程为PKCM第五章有限元动力学分析基本原理上式中每一项的含义不同为弹性力K为阻尼力C为惯性力M对于单元体而言，可以得到类似的上述方程eeeeeeepkcm第五章有限元动力学分析基本原理单元质量矩阵根据其形成过程分为一致质量阵和集中质量阵，各有自身的优点和缺点。1.一致质量矩阵一、单元质量矩阵的计算在离散后的结构中，取出一个单元，根据达朗贝尔原理，单位体积上作用的惯性力为：惯性力是分布力，按分布力向节点等效的原则和实施过程，有：eetNNttq222222一、单元质量矩阵的计算1.一致质量矩阵于是，令eVTVeTTVeqdVNNdVtNNdVqNR22VTedVNNm一、单元质量矩阵的计算1.一致质量矩阵的计算式是通式，并因为计算质量矩阵和刚度矩阵使用的形状函数一致，因此被称为一致质量阵。em2.集中质量矩阵在工程实际中，为了求解方便，有人把单元质量平均分到单元的各个节点上，如平面三角形单元的质量可分配为：VkjidVmmm3一、单元质量矩阵的计算2.集中质量矩阵单元质量矩阵为：kkjjiiemmmmmmdiagm3.常用单元的一致质量矩阵●一次杆单元21126222121212121ldxAdxAdxNNAmllTle一、单元质量矩阵的计算3.常用单元的一致质量矩阵●二次杆单元1688841814304224222122212121222121AldxAdxNNAmTlTle一、单元质量矩阵的计算3.常用单元的一致质量矩阵●三次梁单元2222422313221561354313422135422156420llllllllllllAlme一、单元质量矩阵的计算3.常用单元的一致质量矩阵●三角形平面问题单元20210201021010201010212称对tme一、单元质量矩阵的计算3.常用单元的一致质量矩阵●矩形平面问题单元4042040204102040102042010204020102049称对abtme二、单元阻尼矩阵的计算阻尼矩阵非常复杂，主要是阻尼本身的复杂性引起的，一般均为假设，如阻尼力正比于单元的运动速度，此时得到的阻尼矩阵正比于单元质量矩阵；也可以假设阻尼力正比于单元的应变速度，此时得到的阻尼矩阵则正比于单元刚度矩阵，还有一些其他类型的假设，如上述两者的组合，分别有：eeeeeeekmckcmc二、单元阻尼矩阵的计算对于组合阻尼，如已知结构的阻尼比及结构的固有频率，其计算方法有：2222)(2)(2ijiijjjiijijji如果jijiji22ji则1.结构无阻尼自由振动的运动方程三、机械结构固有频率与振型机械结构的振动固有频率和振型问题，在有限元方法求解释，对应的数学问题既是矩阵的特征值和特征向量问题。关于矩阵的特征值及特征向量问题，是矩阵理论中比较热门的研究领域，下面我们仅简单地罗列以下常见方法的名称，具体的方法求解步骤，可以参考有关书籍，有大量的软件保重均包含求解特征值和特征向量的软件程序。结构在无外力作用时，得到的是自由振动，此时阻尼影响不大，结构的自由振动可简化为：0KM1.结构无阻尼自由振动的运动方程三、机械结构固有频率与振型设结构作简谐运动tsin0代入无阻尼振动方程，可得002MK上式解存在的条件为02MK这是计算方法中最典型的特征值问题。2.矩阵迭代法这种方法用于求解基频或最高阶频是很有效的，并且能得到相应的特征向量。020MK将无阻尼自由振动方程改写为三、机械结构固有频率与振型0201KM即有020S●迭代步骤)0(令)1(2)1()0(S代入2.矩阵迭代法）（和12)1(求得)2(2)2(1）（S再代入)1(2)1(iiiS）（以此类推)1(kk）（收敛条件2.矩阵迭代法三、机械结构固有频率与振型330352023300020001KM例题：已知一振动系统的质量矩阵、刚度矩阵用迭代法计算其最高阶固有频率和振型。3/10002/100011M解：2.矩阵迭代法三、机械结构固有频率与振型在开始迭代时，需选取初始迭代向量，可以按经验估计，也可以用静力学特性的位移值，选得合适可以减少迭代时间。先假设：T111)0(于是有0011111105.15.21023)0(S1105.15.210231SMS[]K2.矩阵迭代法三、机械结构固有频率与振型T0011)1(2)1(推得031130011105.15.21023)1(S继续迭代T03/113)2(2)2(推得1.05.016.303/111105.15.21023)2(S继续迭代2.矩阵迭代法三、机械结构固有频率与振型如此继续迭代，经过10次迭代，可得20467.069300.01386.42047.0693.011105.15.21023)10(S2047.06930.0120467.069300.01)10()11(推得T205.0693.01386.4)11(2)11(2于是2.矩阵迭代法三、机械结构固有频率与振型得到的固有频率是最高阶频率，因为振型的变化是：205.0693.01符号变化两次，振系是3自由度，因此，得到的是第3阶频率和振型。在工程实际中，人们一般关心的主要是结构的低阶频率。因此，在进行迭代过程中作适当的变换，使矩阵不按为特征值进行迭代，而是按为特征值进行迭代，从而得到的最大值，也是的最小值。22/12/12KMMK01MK1两边同左乘，得到2.矩阵迭代法三、机械结构固有频率与振型在计算过程中，引入参数21将其代入无阻尼自由振动运动方程，则有1KTMKT1令三、机械结构固有频率与振型2.矩阵迭代法依次类推采用前述的迭代步骤，用代替，即可得到值TS)1()1()0(T)1(1)(iiiT）（直到）（1)(-kk停止迭代）（121i得到)1(i此时为低阶特性三、机械结构固有频率与振型2.矩阵迭代法330352023300020001KM例题：已知一振动系统的质量矩阵、刚度矩阵用迭代法计算其最高阶固有频率和振型。6/115.115.15.111111K解：三、机械结构固有频率与振型2.矩阵迭代法5.5315.4313211MKT于是6.14.1161115.5315.431321)0(T仍选T111)0(三、机械结构固有频率与振型2.矩阵迭代法6287.14433.11773.8629.1443.11768.8628.1442.116.8继续迭代从而得到T629.1443.11114.01)4(42）（三、机械结构固有频率与振型3.用滤波法计算最低n阶特征对工程中关心的不仅是最低阶特征对，而是最低阶的n阶特征对，这是仅用迭代法不行，可用滤波法。4.行列式搜索法这一方法利用特征值分离定理，通过对称矩阵的三角分解计算矩阵的行列式值，用加速割线法求出靠近下一个未知特征值的移动，然后用移位逆迭代求特征向量。三、机械结构固有频率与振型5.广义雅克比法广义雅克比法通过广义雅克比旋转矩阵把刚度矩阵和质量矩阵同时变换成对角矩阵，然后求得特征值和特征向量，当矩阵阶数不高时，求解速度较快。6.子空间迭代法法子空间迭代法是瑞利-李兹法和同时逆迭代法结合的产物，用于仅求解工程问题的低阶固有特征对，求解速度非常快。三、机械结构固有频率与振型7.兰索斯法兰索斯法也是迭代法的一种，这是目前求解低阶特征值和特征向量速度最快的一种，有兴趣的同学可以参阅《振动与冲击》杂志1987年第3期上吴立系老师的文章“求解大型稀疏对称矩阵广义特征值问题的Lanczos方法及通用程序”。8.奇异刚度矩阵的处理采用移轴技术，在弹性位能中加入部分给定的动能，以便使刚度矩阵成为正定矩阵，关键在移轴系数的确定。四、机械结构动力响应的计算机械结构的动力响应计算是结构动力学的另一个主要问题，最常用的方法有振型叠加法和直接积分法。1.振型叠加法设结构的运动方程为)(tPKCM并设已求得其无阻尼自由振动的频率和振型，记为第i阶固有振型，则有振型的线性叠加来表示运动状态的结构位移为i0)()()(0220110tztztznn四、机械结构动力响应的计算1.振型叠加法令n020100)()()(21tztztzzn则z0z0z0)(000tPzKzCzM