第一讲：极限、洛比塔法则

第一讲：数列极限、函数的极限1数列极限2函数极限的概念与性质3函数极限的计算方法4无穷小量阶的比较1、数列的定义定义:按自然数,3,2,1编号依次排列的一列数,,,,21nxxx(1)称为无穷数列,简称数列.其中的每个数称为数列的项,nx称为通项(一般项).数列(1)记为}{nx.例如;,2,,8,4,2n;,21,,81,41,21n}2{n}21{n问题:当无限增大时,是否无限接近于某一确定的数值?如果是,如何确定?nxn.1)1(1,1无限接近于无限增大时当nxnnn问题:“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它.1nxnnn11)1(1通过上面演示实验的观察:定义如果对于任意给定的正数(不论它多么小),总存在正数N,使得对于Nn时的一切nx,不等式axn都成立,那末就称常数a是数列nx的极限,或者称数列nx收敛于a,记为,limaxnn或).(naxn如果数列没有极限,就说数列是发散的.注意：;.1的无限接近与刻划了不等式axaxnn..2有关与任意给定的正数N2、数列极限的性质1.有界性定义:对数列nx,若存在正数M,使得一切自然数n,恒有Mxn成立,则称数列nx有界,否则,称为无界.例如,;1nnxn数列.2nnx数列数轴上对应于有界数列的点nx都落在闭区间],[MM上.有界无界问题:函数)(xfy在x的过程中,对应函数值)(xf无限趋近于确定值A.;)()(任意小表示AxfAxf.的过程表示xXx.0sin)(,无限接近于无限增大时当xxxfx问题:如何用数学语言刻划函数“无限接近”.2.唯一性定理2每个收敛的数列只有一个极限.定义1如果对于任意给定的正数(不论它多么小),总存在着正数X,使得对于适合不等式Xx的一切x,所对应的函数值)(xf都满足不等式Axf)(,那末常数A就叫函数)(xf当x时的极限,记作)()()(limxAxfAxfx当或:.1定义定义X.)(,,0,0AxfXxX恒有时使当Axfx)(lim:.10情形x.)(,,0,0AxfXxX恒有时使当:.20情形xAxfx)(lim.)(,,0,0AxfXxX恒有时使当Axfx)(lim2.另两种情形:Axfx)(lim:定理.)(lim)(limAxfAxfxx且二、自变量趋向有限值时函数的极限问题:函数)(xfy在0xx的过程中,对应函数值)(xf无限趋近于确定值A.;)()(任意小表示AxfAxf.000的过程表示xxxxx0x0x0x,0邻域的去心点x.0程度接近体现xx定义2如果对于任意给定的正数(不论它多么小),总存在正数,使得对于适合不等式00xx的一切x,对应的函数值)(xf都满足不等式Axf)(,那末常数A就叫函数)(xf当0xx时的极限,记作)()()(lim00xxAxfAxfxx当或:.1定义定义.)(,0,0,00Axfxx恒有时使当2.几何解释:)(xfyAAA0x0x0xxyo.2,)(,0的带形区域内宽为为中心线线图形完全落在以直函数域时邻的去心在当Ayxfyxx注意：;)(.10是否有定义无关在点函数极限与xxf..2有关与任意给定的正数.,,越小越好后找到一个显然例4.211lim21xxx证明证211)(2xxAxf,0任给,只要取,00时当xx函数在点x=1处没有定义.1x,)(Axf要使,2112xx就有.211lim21xxx3.单侧极限:例如,.1)(lim0,10,1)(02xfxxxxxfx证明设两种情况分别讨论和分00xx,0xx从左侧无限趋近;00xx记作,0xx从右侧无限趋近;00xx记作yox1xy112xy左极限.)(,,0,000Axfxxx恒有时使当右极限.)(,,0,000Axfxxx恒有时使当}0{}0{}0{:000xxxxxxxxx注意.)0()(lim0)(000AxfAxfxxxx或记作.)0()(lim0)(000AxfAxfxxxx或记作.)0()0()(lim:000AxfxfAxfxx定理.lim0不存在验证xxxyx11oxxxxxx00limlim左右极限存在但不相等,.)(lim0不存在xfx例6证1)1(lim0xxxxxxx00limlim11lim0x三、函数极限的性质1.有界性定理若在某个过程下,)(xf有极限,则存在过程的一个时刻,在此时刻以后)(xf有界.2.唯一性定理若)(limxf存在,则极限唯一.推论).()(),,(,0,)(lim,)(lim0000xgxfxUxBABxgAxfxxxx有则且设3.不等式性质定理(保序性).),()(),,(,0.)(lim,)(lim0000BAxgxfxUxBxgAxfxxxx则有若设).0)((0)(,),(,0),0(0,)(lim000xfxfxUxAAAxfxx或时当则或且若定理(保号性)).0(0),0)((0)(,),(,0,)(lim000AAxfxfxUxAxfxx或则或时当且若推论xy1sin例.1sinlim0不存在证明xx证,1nxn取,0limnnx;0nx且,2141nxn取,0limnnx;0nx且nxnnnsinlim1sinlim而,1214sinlim1sinlimnxnnn而1limn二者不相等,.1sinlim0不存在故xx,0四、小结函数极限的统一定义;)(limAnfn;)(limAxfx;)(limAxfx;)(limAxfx;)(lim0Axfxx;)(lim0Axfxx.)(lim0Axfxx.)(,,,0)(limAxfAxf恒有从此时刻以后时刻(见下表)思考题试问函数0,50,100,1sin)(2xxxxxxxf在0x处的左、右极限是否存在？当0x时，)(xf的极限是否存在？思考题解答)(lim0xfx,5)5(lim20xx左极限存在,)(lim0xfx,01sinlim0xxx右极限存在,)(lim0xfx)(lim0xfx)(lim0xfx不存在.2函数极限运算方法极限运算法则定理.0,)()(lim)3(;)]()(lim[)2(;)]()(lim[)1(,)(lim,)(limBBAxgxfBAxgxfBAxgxfBxgAxf其中则设证.)(lim,)(limBxgAxf.0,0.)(,)(其中BxgAxf由无穷小运算法则,得)()]()([BAxgxf.0.)1(成立)()]()([BAxgxfABBA))(()(BA.0.)2(成立BAxgxf)()(BABA)(BBAB.0AB,0,0B又,0,00时当xx,2BBBBB21B21推论1).(lim)](lim[,,)(limxfcxcfcxf则为常数而存在如果常数因子可以提到极限记号外面..)]([lim)](lim[,,)(limnnxfxfnxf则是正整数而存在如果推论2,21)(2BBB,2)(12BBB故有界，.)3(成立二、求极限方法举例例1.531lim232xxxx求解)53(lim22xxx5lim3limlim2222xxxxx5limlim3)lim(2222xxxxx52322,03531lim232xxxx)53(lim1limlim22232xxxxxx.373123小结:则有设,)(.1110nnnaxaxaxfnnxxnxxxxaxaxaxf110)lim()lim()(lim000nnnaxaxa10100).(0xf则有且设,0)(,)()()(.20xQxQxPxf)(lim)(lim)(lim000xQxPxfxxxxxx)()(00xQxP).(0xf.,0)(0则商的法则不能应用若xQ解)32(lim21xxx,0商的法则不能用)14(lim1xx又,031432lim21xxxx.030由无穷小与无穷大的关系,得例2.3214lim21xxxx求.3214lim21xxxx解例3.321lim221xxxx求.,,1分母的极限都是零分子时x.1后再求极限因子先约去不为零的无穷小x)1)(3()1)(1(lim321lim1221xxxxxxxxx31lim1xxx.21)00(型(消去零因子法)例4.147532lim2323xxxxx求解.,,分母的极限都是无穷大分子时x)(型.,,3再求极限分出无穷小去除分子分母先用x332323147532lim147532limxxxxxxxxxx.72(无穷小因子分出法)小结:为非负整数时有和当nmba,0,000,,,,0,,lim00110110mnmnmnbabxbxbaxaxannnmmmx当当当无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂除分子,分母,以分出无穷小,然后再求极限.例5).21(lim222nnnnn求解是无穷小之和．时,n222221lim)21(limnnnnnnnn2)1(21limnnnn)11(21limnn.21先变形再求极限.例6.sinlimxxx求解,1,为无穷小时当xx.sin是有界函数而x.0sinlimxxxxxysin例7).(lim,0,10,1)(02xfxxxxxfx求设yox1xy112xy解两个单侧极限为是函数的分段点,0x)1(lim)(lim00xxfxx,1)1(lim)(lim200xxfxx,1左右极限存在且相等,.1)(lim0xfx故两边夹定理，重要极限1.夹逼准则准则Ⅰ如果数列nnyx,及nz满足下列条件:,lim,lim)2()3,2,1()1(azaynzxynnnnnnn那末数列nx的极限存在,且axnnlim.上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限准则Ⅰ′如果当)(00xUx(或Mx)时,有,)(lim,)(lim)2(),()()()1()()(00AxhAxgxhxfxgxxxxxx那末)(lim)(0xfxxx存在,且等于A.注意:.,的极限是容易求的与并且与键是构造出利用夹逼准则求极限关nnnnzyzy准则和准则'称为夹逼准则.例1).12111(lim222nnnnn