2017-2018学年上海市交大附中高一(上)期末数学试卷(解析版)

2017-2018学年上海市交大附中高一（上）期末数学试卷（解析版）一、选择题（本大题共4小题，共20.0分）1.“x＜2”是“x2＜4”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件2.设函数f（x）={1𝑥0−1𝑥0，则(𝑎+𝑏)+(𝑎−𝑏)⋅𝑓(𝑎−𝑏)2（a≠b）的值为（）A.aB.bC.a，b中较小的数D.a，b中较大的数3.如图中，哪个最有可能是函数𝑦=𝑥2𝑥的图象（）A.B.C.D.4.若定义在R上的函数f（x）满足：对任意x1，x2∈R有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+1，则下列说法一定正确的是（）A.𝑓(𝑥)为奇函数B.𝑓(𝑥)为偶函数C.𝑓(𝑥)+1为奇函数D.𝑓(𝑥)+1为偶函数二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）5.若关于x的不等式𝑥−𝑎𝑥+1≥0的解集为（-∞，-1）∪[4，+∞），则实数a=______．6.设集合A={xx-2＜1}，B={＞a}，若A∩B=A，则实数a的取值范围是______．7.一条长度等于半径的弦所对的圆心角等于______弧度．8.若函数f（x）=log2（x+1）+a的反函数的图象经过点（4，1），则实数a=______．9.若𝑓(𝑥)=𝑥13−𝑥−2，则满足f（x）＞0的x的取值范围是______．10.已知f（x）={𝑎𝑥,𝑥≥1(7−𝑎)𝑥−4𝑎,𝑥1是（-∞，+∞）上的增函数，那么a的取值范围是______．11.定义在R上的偶函数y=f（x），当x≥0时，f（x）=lg（x2+3x+2），则f（x）在R上的零点个数为______．12.设f（x）=x4+ax3+bx2+cx+d，f（1）=1，f（2）=2，f（3）=3，则14[𝑓(0)+𝑓(4)的值为______．13.设f-1（x）为f（x）=4x-2+x-1，x∈[0，2的反函数，则y=f（x）+f-1（x）的最大值为______．14.已知函数f（x）={(𝑥−𝑎)2，𝑥≤0𝑥+4𝑥+3𝑎，𝑥＞0，且f（0）为f（x）的最小值，则实数a的取值范围是______．15.设a、b∈R，若函数𝑓(𝑥)=𝑥+𝑎𝑥+𝑏在区间（1，2）上有两个不同的零点，则f（1）的取值范围为______．16.已知下列四个命题：①函数f（x）=2x满足：对任意x1，x2∈R，x1≠x2，有𝑓(𝑥1+𝑥22)≤12[𝑓(𝑥1)+𝑓(𝑥2)；②函数𝑓(𝑥)=𝑙𝑜𝑔2(𝑥+√𝑥2+1)，𝑔(𝑥)=1+22𝑥−1均为奇函数；③若函数f（x）的图象关于点（1，0）成中心对称图形，且满足f（4-x）=f（x），那么f（2）=f（2018）；④设x1，x2是关于x的方程logax=（a＞0，a≠1）的两根，则x1x2=1其中正确命题的序号是______．三、解答题（本大题共5小题，共76.0分）17.解关于x的不等式：(𝑙𝑜𝑔2𝑥)2+(𝑎+1𝑎)𝑙𝑜𝑔12𝑥+1＜018.设a∈R，函数𝑓(𝑥)=3𝑥+𝑎3𝑥+1；（1）求a的值，使得f（x）为奇函数；（2）若𝑓(𝑥)＜𝑎+33对任意的x∈R成立，求a的取值范围19.为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）=𝑘3𝑥+5（0≤x≤10），若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．（Ⅰ）求的值及f（x）的表达式．（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用f（x）达到最小，并求最小值．20.已知函数f1（x）=ex-2a+1，f2（x）=ex-a+1，x∈R．（1）若a=2，求f（x）=f1（x）+f2（x）在x∈[2，3上的最小值；（2）若f1（x）-f2（x）=f2（x）-f1（x）对于任意的实数x∈R恒成立，求a的取值范围；（3）当4≤a≤6时，求函数g（x）=𝑓1(𝑥)+𝑓2(𝑥)2−𝑓1(𝑥)−𝑓2(𝑥)2在x∈[1，6上的最小值．21.对于定义在[0，+∞）上的函数f（x），若函数y=f（x）-（ax+b）满足：①在区间[0，+∞）上单调递减，②存在常数p，使其值域为（0，p，则称函数g（x）=ax+b是函数f（x）的“逼进函数”．（1）判断函数g（x）=2x+5是不是函数f（x）=2𝑥2+9𝑥+11𝑥+2，x∈[0，+∞）的“逼进函数”；（2）求证：函数g（x）=12x不是函数f（x）=（12）x，x∈[0，+∞）的“逼进函数”（3）若g（x）=ax是函数f（x）=x+√𝑥2+1，x∈[0，+∞）的“逼进函数”，求a的值．答案和解析1.【答案】B【解析】解：由x2＜4，解得：-2＜x＜2，故x＜2是x2＜4的必要不充分条件，故选：B．先求出x2＜4的充要条件，结合集合的包含关系判断即可．本题考察了充分必要条件，考察集合的包含关系，是一道基础题．2.【答案】C【解析】解：∵函数f（x）=，∴当a＞b时，==b；当a＜b时，=a．∴（a≠b）的值为a，b中较小的数．故选：C．由函数f（x）=，知当a＞b时，==b；当a＜b时，=a．本题考查代数式的值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数值的合理运用．3.【答案】A【解析】解：y′==，令y′＞0，解得：x＜，令y′＜0，解得：x＞，故函数在（-∞，）递增，在（，+∞）递减，而x=0时，函数值y=0，x→-∞时，y→-∞，x→+∞时，y→0，故选：A．求出函数的导数，得到函数的单调性，从而判断出函数的大致图象即可．本题考查了函数的图象，考查函数的单调性问题，是一道基础题．4.【答案】C【解析】解：∵对任意x1，x2∈R有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+1，∴令x1=x2=0，得f（0）=-1∴令x1=x，x2=-x，得f（0）=f（x）+f（-x）+1，∴f（x）+1=-f（-x）-1=-[f（-x）+1，∴f（x）+1为奇函数．故选C对任意x1，x2∈R有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+1，考察四个选项，本题要研究函数的奇偶性，故对所给的x1，x2∈R有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+1进行赋值研究即可本题考查函数的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．5.【答案】4【解析】解：由，得（x-a）（x+1≥0，故-1，4是方程（x-a）（x+1）=0的根，故a=4，故答案为：4解不等式的解集转化为方程的根，求出a的值即可．本题考查了不等式的解法以及转化思想，是一道基础题．6.【答案】（-∞，1【解析】解：由x-2＜1得1＜x＜3，则A={x1＜x＜3}，∵B={＞a}，且A∩B=A，∴A⊆B，即a≤1，故答案为：（-∞，1．先求出不等式x-2＜1的解集即集合A，根据A∩B=A得到A⊆B，即可确定出a的范围．本题考查了交集及其运算，集合之间的关系，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．7.【答案】𝜋3【解析】解：因为一条长度等于半径的弦，所对的圆心角为弧度．故答案为：．直接利用弧长公式求出圆心角即可．本题考查弧长公式的应用，基本知识的考查．8.【答案】3【解析】解：函数f（x）=log2（x+1）+a的反函数的图象经过点（4，1），即函数f（x）=log2（x+1）+a的图象经过点（1，4），∴4=log2（1+1）+a∴4=1+a，a=3．故答案为：3．由题意可得函数f（x）=log2（x+1）+a过（1，4），代入求得a的值．本题考查了互为反函数的两个函数之间的关系与应用问题，属于基础题．9.【答案】（1，+∞）【解析】解：若，则满足f（x）＞0，即-x-2＞0，变形可得：＞1，函数g（x）=为增函数，且g（1）=1，解可得：x＞1，即x的取值范围为（1，+∞）；故答案为：（1，+∞）．根据题意，将f（x）＞0变形为＞1，解可得x的取值范围，即可得答案．本题考查其他不等式的解法，关键是将原不等式转化为整式不等式．10.【答案】[76，7)【解析】解：根据题意，f（x）=是（-∞，+∞）上的增函数，必有，解可得≤a＜7，即a的取值范围为：故答案为：根据题意，由分段函数的单调性分析可得，解可得a的取值范围，即可得答案．本题考查分段函数的单调性，注意分段函数分段分析．11.【答案】0【解析】解：当x≥0时，f（x）=lg（x2+3x+2），函数的零点由：lg（x2+3x+2）=0，即x2+3x+1=0，解得x（舍去）．因为函数是定义在R上的偶函数y=f（x），所以函数的零点个数为：0个．故答案为：0．利用函数是偶函数求出x≥0时，函数的零点个数，即可得到结果．本题考查函数的零点的个数的求法，函数的奇偶性的应用，考查计算能力．12.【答案】7【解析】解：f（x）=x4+ax3+bx2+cx+d，f（1）=1，f（2）=2，f（3）=3，可得：，∴b=-6a-25；c=11a+61；d=-6a-36，∴[f（4）+f（0）=（256+64a+16b+4c+2d）=（128+32a+8b+2c+d）=（128+32a-48a-200+22a+122-6a-36）=×14=7．利用已知条件求出a、b、c、d的关系式，化简所求的表达式，求解即可．本题考查方程的根与函数的零点的求法，待定系数法的应用，考查计算能力．13.【答案】4【解析】【分析】本题考查了互为反函数的两个函数图象间的关系，考查了函数的单调性，属中档题．由f（x）=4x-2+x-1在x∈[0，2上为增函数可得其值域，得到y=f-1（x）在[-，2上为增函数，由函数的单调性求得y=f（x）+f-1（x）的最大值【解答】解：由f（x）=4x-2+x-1在x∈[0，2上为增函数，得其值域为[-，2，可得y=f-1（x）在[-，2上为增函数，因此y=f（x）+f-1（x）在[-，2上为增函数，∴y=f（x）+f-1（x）的最大值为f（2）+f-1（2）=2+2=4．故答案为4．14.【答案】[0，4【解析】解：若f（0）为f（x）的最小值，则当x≤0时，函数f（x）=（x-a）2为减函数，则a≥0，当x＞0时，函数f（x）=的最小值4+3a≥f（0），即4+3a≥a2，解得：-1≤a≤4，综上所述实数a的取值范围是[0，4，故答案为：[0，4若f（0）为f（x）的最小值，则当x≤0时，函数f（x）=（x-a）2为减函数，当x＞0时，函数f（x）=的最小值4+3a≥f（0），进而得到实数a的取值范围．本题考查的知识点是分段函数的应用，熟练掌握并理解二次函数和对勾函数的图象和性质，是解答的关键，属于中档题．15.【答案】（0，1）【解析】解：函数在区间（1，2）上有两个不同的零点，即方程x2+bx+a=0在区间（1，2）上两个不相等的实根，⇒⇒，如图画出数对（a，b）所表示的区域，目标函数=f（1）═a+b+1∴的最小值为=a+b+1过点（1，-2）时，的最大值为=a+b+1过点（4，-4）时∴f（1）的取值范围为（0，1）故答案为：（0，1）函数在区间（1，2）上有两个不同的零点，即方程x2+bx+a=0在区间（1，2）上两个不相等的实根，⇒⇒画出数对（a，b）所表示的区域，求出目标函数=f（1）═a+b+1的范围即可．本题是函数零点的考查，涉及到规划问题的结合，属于难题．16.【答案】②③④【解析】解：函数f（x）=2x满足：对任意x1，x2∈R，x1≠x2，f（x1）+f（x2）=2+2＞2=2•2=2f（），故①错误；由x＞0，x=0时，x+＞0成立；由x＜0，x2+1＞x2，可得＞-x，即x+＞0，由f（-x）+f（x）=log2（x2+1-x2）=0，即有f（x）为奇函数；又g（-x）+g（x）=2++=2++=0，可得g（x）为奇函数．函数均为奇函数，故②正确；若