相似三角形的定义及其判定定理

数学驿站相似三角形的定义及其判定定理本周重点和难点：相似三角形的判定定理一、知识点回顾1、相似三角形的定义：对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形。2、定理：平行于三角形的一边的直线和和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。3、相似三角形的传递性：如果△ABC∽△A1B1C1，△A1B1C1∽△A2B2C2，那么△ABC∽△A2B2C2。4、相似三角形的判定方法：（1）根据定义：对应角相等，对应边成比例的三角形相似。（2）根据平行线：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。（3）判定定理1：两角对应相等的两个三角形相似。（4）判定定理2：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。（5）判定定理3：三边对应成比例，两三角形相似。（6）直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。二、例题：例1、如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=EC，DB=1cm，AE=4cm，BC=5cm，求DE的长。解：∵DE∥BC∴ECAEDBAD（平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的对应线段成比例。）∴AD×EC=DB×AE又∵AD=EC，AE=4cm，DB=1cm∴AD=EC=DBAE=2cm又∵DE∥BC∴BCDEABAD（平行于三角形一边的直线和其他两边相交所构成的三角形与原三角形相似。）∴DE=310例2、如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AE平分∠CAB，BD⊥AC于D，交AE于F，那么图中相似三角形共有多少对？解：∵BD⊥AC，∠ABC=90°∴△ADB∽△BDC∽△ABC。又∵AF平分∠BAC∴∠DAF=∠BAE∴Rt△ABE∽Rt△ADF∴图中共有4对相似三角形。ABCDEABCDE数学驿站、如图，正方形ABCD中，E是CD的中点，FC=41BC，那么图中共有多少对相似三角形？解：设FC=1，则BC=4∵正方形ABCD∴AB=BC=CD=DA=4，∠C=∠D=∠B=90°∵E是CD的中点∴CD=2在△ADE中，∠D=90°∴AE2=AD2+DE2即：AE=25同理：AF=5，EF=5∴FC：EC：EF=DE：AD：AE=EF：AE：AF∴△FCE∽△EDA∽△FEA（三边对应成比例，两三角形相似）∴图中共有三对相似三角形。例4、如图，E是四边形ABCD的对角线BD上一点，且ADACAEAB，∠1=∠2，求证：∠ABC=∠AED。分析：看到题中的两个条件，很自然就会想到证△ABE∽△ACD。然而证出这两个相似三角形之后却还是无法证出要证的结论，因此应当另想它法。注意到ADACAEAB不仅意味着△ABC与△AED两边对应成比例，同时也可看成△ABC和△AED的两边对应成比例。证明：∵∠1=∠2∴∠1+∠EAC=∠2+∠EAC即：∠BAC=∠EAD∵ADACAEAB∴△ABC∽△AED（两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似）∴∠ABC=∠AED三、训练题：1、△ABC中，D是AB上的一点，在AC上截一点E，使得以A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似，则这样的点的个数最多是（）A、0B、1C、2D、无数个2、在直角三角形中，两直角边分别为3，4，则这个三角形的斜边与斜边上的高的比是（）A、1225B、125C、45D、353、如右图：点P为△ABC的AB边上一点（ABAC），下列ABCDE12ABCDABCDEF数学驿站条件中不一定能保证△ACP∽△ABC的是（）A、∠ACP=∠BB、∠APC=∠ACBC、ACAPABACD、ABACBCPC4、已知：△ABC∽△A’B’C’，且BC=3，B’C’=1.8，则△A’B’C’与△ABC的相似系数为_______________。5、DE是△ABC的中位线，则△ADE∽_________，相似比为___________。6、一个三角形的各边之比为2：5：6，和它相似的另一个三角形的最大边为15cm，则它的最小边为_____________。5、如图，BD、CE为△ABC的高，求证：△ADE∽△ABC。6、若CD是Rt△ABC斜边AB上的高，且AD=9，BD=16，求AC、BC、CD。7、如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4。求证：△ABD∽△ACE。四、解答：1、C2、A3、D4、535、△ABC，216、5cm5、证明：∵BD、CE是△ABC的高∴∠AEC=∠ADB=90°又∵∠A=∠A∴△AEC∽△ADB（两角对应相等，两三角形相似）ABCDECABDABCED12数学驿站∴ACAEABAD∴△ADE∽△ABC（两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似）6、解：∵CD是Rt△ABC斜边AB上的高∴△ACD∽△ABC∽△CBD（直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似）∴ACADABAC，BCABBDBC，CDADBDCD∴AC2=AB×AD，BC2=AB×BD，CD2=AD×BD又∵AD=9，BD=16，AB=AD+BD=25∴AC=15，BC=20，CD=127、分析：要证明相似的两个三角形已经有一对角相等，所以可设法证明夹角的两边对应成比例。又从已知中发现∠1=∠2，∠3=∠4，于是△ABC∽△ADE。这样就可以得到夹角两边对应成比例。证明：∵∠1=∠2∴∠1+∠DAC=∠2+∠DAC即：∠BAC=∠DAE又∵∠3=∠4∴△ABC∽△ADE（两角对应相等，两三角形相似。）∴AEADACAB又∵∠1=∠2∴△ABD∽△ACE（两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。）CABDABCED12