初三数学解直角三角形通用版

初三数学解直角三角形通用版【本讲主要内容】解直角三角形包括解直角三角形的意义以及所用到的关系式【知识掌握】【知识点精析】1.在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程叫做解直角三角形。2.在解直角三角形中用到的一些关系式：（1）三边之间的关系：abc222（2）两锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°（3）边角之间的关系sinsinAacBABbc的对边斜边的对边斜边，；coscosAAbcBBac的邻边斜边，的邻边斜边；tantanAAAabBBBba的对边的邻边，的对边的邻边。【解题方法指导】例1.在RtABC中，∠C＝90°，c＝42，∠B＝60°，解这个直角三角形，并求出它的面积。分析：我们可以画出图来，帮助我们进行思考。由∠B＝60°，则∠A可求。由c＝42，则由sinBbc，则b可求；再由cosBac，则a可求。解：∵∠A＋∠B＝90°，∠B＝60°，∴∠A＝30°。∵sinBbc，∴bcBsinsin4260423226。∵cosBac，∴acBcos421222。∴Sab1212222643。评析：在解直角三角形中，尽可能用一些原始数据，可以减少由计算错误而造成的累计错误。如求a时，既可以用cBcos，也可以用cb22，显然用第一个方法好一些。例2.已知：在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，a＋b＝3＋3。求a、b、c。分析：由ab33，它不属解直角三角形的基本类型，因此设法再找出a、b之间的一个关系，从而利用二元一次方程组加以解决。解：在△ABC中，∵∠C＝90°，∠A＝60°，∴tanAab3。∴ab3①又a＋b＝3＋3，②将①代入②，得333bb，∴（），3133b∴b3331333131312323（）（）（）（），ab33。∵abc222，∴cab22223323（）。评析：此题用到了tanAab，找出了a、b之间的一个关系式，再结合ab33求出a、b，这样把解直角三角形与二元一次方程组结合在一起解决问题，体现了综合运用知识的能力。例3.已知：如图，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝45°，BC＝2，求AB、AC的长。分析：此题中出现两个直角三角形，但BC却不在某个直角三角形中，直接解直角三角形显然有些困难。若设AD＝x，则DC＝x，BD＋DC＝2，于是可列出一个关于x的方程。解：设AD＝x，则DC＝x。在△ABD中，tanBADBD，∴BDADBxxtantan603，∴BDx33。又BD＋DC＝2，∴332xx。∴（），1332x∴x2133233363333。∴CDADxtan603333。∴DC33。则AD33。∴BD333331（）。∴ABBD2231（）。又cosCDCAC，∴ACDCcos4533226232326。评析：此题也是用到了方程解出AD或DC，最后求出AB、AC。【考点突破】【考点指要】解直角三角形体现了利用直角三角形中角之间、边之间，边角之间的关系，灵活加以解决；同时，又可能构造出方程加以解决，体现了一定的综合运用知识的能力。在解题中，要认真审题，尽可能结合图形，增强直观效果。正由于解直角三角形可以考查灵活运用知识的能力，因此在中考时各省市都给予高度的重视。希望广大同学把解直角三角形的基本方法掌握好，而且注意结合图形加强分析，找出已知和未知的联系。【典型例题分析】例1.（2004年昆明市）如图，初三年级某班同学要测量校园内国旗旗杆的高度，在地面的C点用测角器测得旗杆顶A点的仰角∠AFE＝60°，再沿直线CB后退8米到D点，在D点又用测角器测得旗杆顶A点的仰角∠AGE＝45°；已知测角器的高度是1.6米，求旗杆AB的高度（3近似值取1.7，结果保留小数）分析：由测角器的高度为1.6米，最后加上它的高度即可，关键是用好两个直角三角形。不妨设AE＝x米，则GE＝x米，EF＝33x米，由GF＝8米，可列出方程。解：设AE＝x米，在Rt△AEF中，∠AFE＝60°，tan60AEEF。∴EFAExxtan60333。在Rt△AGE中，∠AGE＝45°，∴AE＝GE＝x。又GF＝8，∴833xx。∴x124312417188..。∴AB＝AE＋EB＝20.4（米）。答：旗杆的高度约为20.4米。评析：在解直角三角形时，把角度（一般是特殊角）作为转化成线段之间的媒介，而把已给线段（如8米）作为列方程的桥梁。例2.（2004年贵阳市）某居民小区有一朝向为正南方向的居民楼（如图），该居民楼的一楼是高6米的小区超市，超市以上是居住房。在该楼的前面15米处要盖一栋高20米的新楼。当冬季正午的阳光与水平线的夹角为32°时，（1）问超市以上的居民住房采光是否有影响，为什么？（2）若要使超市采光不受影响，两楼应相距多少米？（结果保留整数，参考数据：sincostan3253100321061253258，，）分析：（1）设法使阳光的光线与居民楼相交，再构造一个直角三角形，然后计算出太阳光距离楼底是否超过6米。（2）若使超市采光不受影响，阳光应照到居民楼的底部才行。解：（1）画一个示意图1。图1设CE＝x米，则AF＝（20－x）米。tan32AFEF，∴AFEFtantan321532。∴20－x＝1532tan。20－x＝1558。20758x。∴x11。∵11米＞6米，∴居民住房采光有影响。（2）画示意图2。tan32ABBF，∴BFABtan32205832。∴两楼应相距32米。评析：这是一道实际问题，要先转化为一个数学问题，画出示意图，搞清题意，然后利用解直角三角形去解。题目中所给的参考数据并不一定全都用上，根据需要选用，同时还要注意精确度。例3.（2002年海南）如图，已知灯塔A的周围7海里有暗礁，一艘渔轮在B处测得灯塔A在北偏东60°的方向，向正东航行8海里到达C处后，又测得该灯塔在此偏东30°的方向。渔轮如不改变航向，继向正东航行，有没有触礁危险？请通过计算说明理由（参考数据：31732.）。分析：由于灯塔A的周围7海里有暗礁，因此在以A为圆心，半径为7海里的圆内航行有危险。现在要判断从A向直线BC引垂线后，这条垂线段的长是否小于7海里，于是实际问题便转化为数学问题了。解：作AD⊥BC，交直线BC于D。设AD＝x海里。∵∠ABD＝90°－60°＝30°，∠ACD＝90°－30°＝60°，tan30ADBD，∴BDADxxtan30333又tan60ADCD，∴CDADxxtan60333。∵BDCD8，∴3338xx。x43。即AD434849＜，∴AD＜。7若渔轮不改变方向，继续向正东航行，有触礁危险。【综合测试】1.已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，∠A的平分线AD1633，求∠B的度数及边BC、AB的长。2.已知，如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝7，∠B＝60°。求BC的长。3.已知：如图，在△ABC中，∠C＝30°，∠BAC＝105°，AD⊥BC于D，AC＝2cm，求BC的长（结果可带根号）。4.已知：如图，在平地上一点C处测得河对岸某塔AB的顶端A的仰角为30°，沿直线CD向塔前进20米到达点D处，再测得塔顶A的仰角为45°。求塔高（精确到0.1米，以下数据供选用：2141431732..，）。5.如图，甲、乙两只捕捞船同时从A港出海捕鱼。甲船以每小时152千米的速度沿北偏西60°方向前进，乙船以每小时15千米的速度沿东北方向前进。甲船航行2小时到达C处，此时甲船发现渔具丢在乙船上，于是甲船快速（匀速）沿北偏东75°的方向追赶，结果两船在B处相遇。（1）甲船从C处追赶上乙船用了多少时间？（2）甲船追赶乙船的速度是每小时多少千米？[参考答案］∠B＝30°，AB＝16，BC＝83。解：∵cosCADACAD8163332，∴∠CAD＝30°。∵AD是∠A的平分线，∴∠CAB＝2∠CAD＝60°，∴∠B＝30°。∴AC＝8。∴AB＝2AC＝16，BCABAC222216883。2.8。解：作AD⊥BC于D（如图）。在Rt△ABD中，ADABsin60532523，BDABcos6051252。在Rt△ADC中，DCACAD22227532112（）。∴BC＝BD＋DC＝521128。3.（1＋3）cm。解：在△ABC中，AD⊥BC，∠C＝30°，∴ADAC121221，∴DCACAD223。又∠BAC＝105°，∠BAC＝60°，∴∠BAD＝45°，∴BD＝AD＝1。∴BC＝BD＋DC＝（1＋3）cm。4.27.3米。解：在Rt△ABD中，∵∠ADB＝45°，∴AB＝BD。设AB＝x，则BD＝AB＝x。在Rt△ACB中，∵∠C＝30°，∴ABCBtan3033，xx2033，203＋3x＝3x。（3－3）x＝203，x20333101031010173273..（米）。答：塔高约为27.3米。5.（1）2（小时）。（2）15(1＋3)千米/时。解：（1）作AD⊥BC于D。∴∠C＝45°，∠B＝30°。在Rt△ADC中，∴∠C＝45°，AC＝2152302。∴CD＝AD＝30。在Rt△ABD中，∵∠B＝30°，AD＝30，∴AB＝60，BD＝ABcos306030323。甲船从C处追赶上乙船所用时间为601522（小时）。（2）在△ABC中，∵BC＝CD＋BD＝30＋303，∴（30＋303）÷（4－2）＝15（1＋3）（千米/时）。答：（1）甲船从C处追上乙船用了2小时；（2）甲船追赶乙船的速度为15（1＋3）千米/时。