版高中全程复习方略配套课件：3.8正弦定理、余弦定理的应用举例

点击进入相应模块第八节正弦定理、余弦定理的应用举例三年8考高考指数:★★★能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.1.对解决实际问题中的角度、方向、距离及测量问题的考查是高考考查的重点.2.在选择题、填空题、解答题中都可能考查，多属中低档题.1.实际问题中有关概念(1)仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线_____的角叫仰角，在水平线_____的角叫俯角(如图①).上方下方铅垂线水平线视线视线仰角俯角①(2)方位角从指北方向_______转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②).顺时针北南西东B②(3)方向角相对于某一正方向的水平角(如图③)①北偏东α°即由指北方向顺时针旋转α°到达目标方向.②北偏西α°即由指北方向逆时针旋转α°到达目标方向.③南偏西等其他方向角类似.东北目标北偏东③(4)坡度①定义:坡面与水平面所成的二面角的度数(如图④，角θ为坡角)．②坡比:坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i为坡比).【即时应用】(1)思考:仰角、俯角、方位角有什么区别？提示:三者的参照不同．仰角与俯角是相对于水平线而言的，而方位角是相对于正北方向而言的.(2)思考:如何用方位角、方向角确定一点的位置？提示:利用方位角或方向角和目标与观测点的距离即可唯一确定一点的位置.(3)如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40°，灯塔B在观察站C的南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的______方向.【解析】由已知∠ACB＝180°－40°－60°＝80°，又AC＝BC，∴∠A＝∠ABC＝50°，60°－50°＝10°.∴灯塔A位于灯塔B的北偏西10°.答案：北偏西10°2.解三角形应用题的一般步骤(1)读懂题意，理解问题的实际背景，明确已知和所求，理清量与量之间的关系.(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形模型.(3)选择正弦定理或余弦定理求解.(4)将三角形的解还原为实际问题，注意实际问题中的单位、近似计算要求.【即时应用】(1)已知A、B两地的距离为10km,B、C两地的距离为20km,现测得∠ABC=120°，则A、C两地的距离为______km.(2)如图，在坡度为15°的观礼台上，某一列座位与旗杆在同一个垂直于地面的平面上，在该列的第一排和最后一排测得旗杆顶端的仰角分别为60°和30°，且第一排和最后一排的距离为米，则旗杆的高度为______米.106【解析】(1)如图所示，由余弦定理可得：AC2=100+400-2×10×20×cos120°=700，AC107(km).(2)设旗杆高为h米，最后一排为点A，第一排为点B，旗杆顶端为点C，则在△ABC中，所以∠ACB＝30°，由正弦定理，得故h＝30米.答案：h23BCh.sin603＝＝AB106CAB45ABC105＝，＝，＝，23h1063sin30sin45＝，(1)107(2)30测量距离的问题【方法点睛】求距离问题的注意事项(1)选定或确定要创建的三角形，要首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解.(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理.【例1】(1)如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A，B望对岸的标记物C，测得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120m，则这条河的宽度为______.(2)隔河看两目标A与B，但不能到达，在岸边选取相距km的C、D两点，同时，测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°(A、B、C、D在同一平面内)，则两目标A、B之间的距离为______.3【解题指南】(1)作出高线可直接应用直角三角形的边角关系求得；(2)确定好三角形利用正弦定理和余弦定理解三角形求得.【规范解答】(1)如图，在△ABC中，过C作CD⊥AB于D点，则CD为所求宽度，在△ABC中，∵∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，∴∠ACB＝75°，∴AC＝AB＝120m.在Rt△ACD中，CD＝ACsin∠CAD＝120sin30°＝60(m)，因此这条河宽为60m.答案：60m(2)如图所示，在△ACD中，∵∠ADC＝30°，∠ACD＝120°，∴∠CAD＝30°，在△BDC中，∠CBD＝180°－45°－75°＝60°.ACCD3.＝＝由正弦定理可得在△ABC中，由余弦定理可得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠BCA，即两目标A、B间的距离为km.答案：km2226262AB(3)()23cos75522AB5(km).＋＋＝＋－＝，＝553sin7562BC.sin602＋＝＝【反思·感悟】1.利用示意图把已知量和待求量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解三角形的模型.2.利用正、余弦定理解出所需要的边和角，求得该数学模型的解.测量高度问题【方法点睛】高度问题的处理方法(1)在处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角(视线在水平线上方、下方的角分别称为仰角、俯角)是一个关键．(2)在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错.【提醒】高度问题一般是把它转化成三角形的问题，要注意三角形中的边角关系的应用，若是空间的问题要注意空间图形和平面图形的结合.【例2】要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40m，求电视塔的高度.【解题指南】设出塔高x，先放到Rt△ABC和Rt△ABD中把BC和BD用x表示；再在△BDC中用余弦定理求得x.【规范解答】如图，设电视塔AB的高为xm，则在Rt△ABC中，由∠ACB＝45°得BC＝x.在Rt△ABD中，∠ADB＝30°，∴BD＝x.在△BDC中，由余弦定理，得BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD·cos120°，即(x)2＝x2＋402－2·x·40·cos120°，解得x＝40，∴电视塔高为40米.33【反思·感悟】解决高度的问题主要是根据条件确定出所利用的三角形，准确地理解仰角和俯角的概念并和三角形中的角度相对应；分清已知和待求的关系，正确地选择定理和公式，特别注意高度垂直地面构成的直角三角形.测量角度的问题【方法点睛】测量角度问题的一般步骤(1)在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离;(2)用正弦定理或余弦定理解三角形;(3)将解得的结果转化为实际问题的解．同时注意把所求量放在有关三角形中，有时直接解此三角形解不出来，需要先在其他三角形中求解相关量.【例3】(2012·宝鸡模拟)如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上.(1)求渔船甲的速度；(2)求sinα的值.【解题指南】先在△ABC中用余弦定理求BC，进而求出船的速度，用正弦定理求出sinα的值或用余弦定理先求cosα，再求sinα.【规范解答】(1)依题意，∠BAC=120°,AB=12,AC=10×2=20,∠BCA=α.在△ABC中，由余弦定理，得BC2=AB2+AC2-2AB×AC×cos∠BAC=122+202-2×12×20×cos120°=784，解得BC=28.所以渔船甲的速度为(海里/小时).BC142(2)方法一：在△ABC中，因为AB=12，∠BAC=120°,BC=28,∠BCA=α,由正弦定理，得即答：sinα的值为ABBC.sinsin120312ABsin120332sin.BC281433.14方法二：在△ABC中，因为AB=12，AC=20，BC=28，∠BCA=α,由余弦定理，得即因为α为锐角，所以答：sinα的值为222ACBCABcos2ACBC，22220281213cos.2202814221333sin1cos1().141433.14【反思·感悟】利用正弦定理和余弦定理来解实际问题时，要学会审题及根据题意画方位图,要懂得从所给的背景资料中抽取主要因素，进行适当的简化.另外要准确选择恰当的三角形，把实际问题转化到三角形中时，正确地表示出所用的边和角.【满分指导】三角形中实际应用问题的规范解答【典例】(12分)(2012·三明模拟)如图，A,B,C,D都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D为两岛上的两座灯塔的塔顶.测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°，30°，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°，AC=0.1km.(1)试探究图中B，D间的距离与另外哪两点间距离会相等？(2)求B，D间的距离.【解题指南】作出图形确定利用的三角形，(1)要充分利用仰角和俯角与三角形中的角的关系；(2)利用正弦定理正确地解答.【规范解答】(1)如图，在△ADC中，∠DAC=30°，∠ADC=60°－∠DAC=30°,∴CD=AC=0.1km，……………………………………………4分又∠BCD=180°－60°－60°=60°，∴∠CED=90°，∴CB是△CAD底边AD的中垂线，∴BD=BA.………………………………………………………6分(2)在△ABC中，由正弦定理得：即……………………………8分…………………………………………11分答：B，D间的距离是…………………………12分ABAC,sinBCAsinABCACsin60326AB(km),sin1520326BD(km)20326km.20【阅卷人点拨】通过阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下失分警示与备考建议：失分警示解答此题时有两点容易造成失分:(1)由于角多不能正确地利用角之间的关系，特别是三角形的外角的应用.(2)计算的失误造成失分，特别是sin15°的计算.备考建议关于解决三角形的实际应用问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：(1)对题目所给条件不能作出相关示意图.(2)不会将实际问题转化到三角形中利用正、余弦定理求解.另外,对于仰角、俯角、方向角、方位角要正确地理解和应用.1.(2012·潍坊模拟)海事救护船A在基地的北偏东60°,与基地相距海里,渔船B被困海面,已知B距离基地100海里,而且在救护船A正西方,则渔船B与救护船A的距离是()(A)100海里(B)200海里(C)100海里或200海里(D)海里10031003【解析】选C.设基地位于O处,根据正弦定理可知∴B=60°或120°.当B=60°时,∠BOA=90°,A=30°,BA=2OB=200(海里),当B=120°时,A=∠AOB=30°,∴OB=AB=100(海里),故渔船B与救护船A的距离是100海里或200海里.1OBOAsinA32,sinBOA1003.sinAsinBOB10022.(2012·西安模拟)如图，货轮在海上以35nmile/h的速度沿方位角(从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角)为152°的方向航行.为了确定船位，在B点处观测到灯塔A的方位角为122°.半小时后，货轮到达C点处，观测到灯塔A的方位角为32°,则此时货轮与灯塔之间的距离为____nmile.【解析】在△ABC中，∠ABC=152°-122°=30°，C=180°-152°+32°=60°，A=180°-30°-60°=90°，答案：35BCnmile2，3535ACsin30(nmile).243543.(2012·岳阳模拟)如图，两座相距60m的建筑物AB、CD的高度分别为20m、50m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角∠CAD的大小是______.【解析】考查解三角形及和差角公式：tan∠ADC