2015年普通高等学校招生全国统一考试全国卷2文科数学

一、选择题：本大题共12道小题,每小题5分,共60分.1．已知集合|12Axx,|03Bxx,则AB（）A．1,3B．1,0C．0,2D．2,3【答案】A考点：集合运算.2.若为a实数,且2i3i1ia,则a()A．4B．3C．3D．4【答案】D【解析】试题分析：由题意可得2i1i3i24i4aa,故选D.考点：复数运算.3.根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化碳年排放量（单位：万吨）柱形图,以下结论中不正确的是（）A．逐年比较,2008年减少二氧化碳排放量的效果最显著B．2007年我国治理二氧化碳排放显现成效C．2006年以来我国二氧化碳年排放量呈减少趋势D．2006年以来我国二氧化碳年排放量与年份正相关【答案】D考点：柱形图4.已知1,1a,1,2b,则(2)aba（）A．1B．0C．1D．2【答案】C【解析】试题分析：由题意可得22a,3,ab所以222431abaaab.故选C.考点：向量数量积.5.设nS是等差数列{}na的前n项和,若1353aaa,则5S（）A．5B．7C．9D．11【答案】A【解析】试题解析：13533331aaaaa,15535552aaSa.故选A.考点：等差数列6.一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如下图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（）1A.81B.71C.61D.5【答案】D【解析】试题分析：截去部分是正方体的一个角,其体积是正方体体积的16,所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为15,故选D.考点：三视图7.已知三点(1,0),(0,3),(2,3)ABC,则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为（）5A.321B.325C.34D.3【答案】B考点：直线与圆的方程.8.右边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”,执行该程序框图,若输入的,ab分别为14,18,则输出的a为（）A.0B.2C.4D.14【答案】B【解析】试题分析：由题意输出的a是18,14的最大公约数2,故选B.考点：1.更相减损术；2.程序框图.9．已知等比数列{}na满足114a,35441aaa,则2a（）A.2B.11C.21D.8【答案】C【解析】试题分析：由题意可得235444412aaaaa,所以34182aqqa,故2112aaq,选C.考点：等比数列.10.已知BA,是球O的球面上两点,90AOB,C为该球面上的动点.若三棱锥ABCO体积的最大值为36,则球O的表面积为（）A.36B.64C.144D.256【答案】C考点：球与几何体的切接.11.如图,长方形的边AB=2,BC=1,O是AB的中点,点P沿着边BC,CD与DA运动,记BOPx,将动点P到A,B两点距离之和表示为x的函数fx,则的图像大致为（）A．B．C．D．【答案】B考点：函数图像12.设函数21()ln(1||)1fxxx,则使得()(21)fxfx成立的x的取值范围是（）A．1,13B．1,1,3C．11,33D．11,,33【答案】A【解析】试题分析：由21()ln(1||)1fxxx可知fx是偶函数,且在0,是增函数,所以121212113fxfxfxfxxxx.故选A.考点：函数性质二、填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分13.已知函数32fxaxx的图像过点（-1,4）,则a=．【答案】-2【解析】试题分析：由32fxaxx可得1242faa.考点：函数解析式14.若x,y满足约束条件50210210xyxyxy,则z=2x+y的最大值为．【答案】8考点：线性规划15.已知双曲线过点4,3,且渐近线方程为12yx,则该双曲线的标准方程为．【答案】2214xy考点：双曲线几何性质16.已知曲线lnyxx在点1,1处的切线与曲线221yaxax相切,则a=．【答案】8【解析】试题分析：由11yx可得曲线lnyxx在点1,1处的切线斜率为2,故切线方程为21yx,与221yaxax联立得220axax,显然0a,所以由2808aaa.考点：导数的几何意义.三、解答题17（本小题满分12分）△ABC中D是BC上的点,AD平分BAC,BD=2DC.（I）求sinsinBC；（II）若60BAC,求B.【答案】（I）12；30.考点：解三角形试题解析：（I）由正弦定理得,,sinsinsinsinADBDADDCBBADCCAD因为AD平分BAC,BD=2DC,所以sin1.sin2BDCCBD.（II）因为180,60,CBACBBAC所以31sinsincossin.22CBACBBB由（I）知2sinsinBC,所以3tan,30.3BB考点：解三角形18.（本小题满分12分）某公司为了了解用户对其产品的满意度,从A,B两地区分别随机调查了40个用户,根据用户对其产品的满意度的评分,得到A地区用户满意度评分的频率分布直方图和B地区用户满意度评分的频率分布表.A地区用户满意度评分的频率分布直方图（I）在答题卡上作出B地区用户满意度评分的频率分布直方图,并通过此图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度.（不要求计算出具体值,给出结论即可）B地区用户满意度评分的频率分布直方图（II）根据用户满意度评分,将用户的满意度评分分为三个等级：估计那个地区的用户的满意度等级为不满意的概率大,说明理由.【答案】（I）见试题解析（II）A地区的用户的满意度等级为不满意的概率大.考点：1.频率分布直方图；2.概率估计.19.（本小题满分12分）如图,长方体1111ABCDABCD中AB=16,BC=10,18AA,点E,F分别在1111,ABDC上,114.AEDF过点E,F的平面与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.（I）在图中画出这个正方形（不必说明画法与理由）；（II）求平面把该长方体分成的两部分体积的比值.【答案】（I）见试题解析（II）97或79考点：1.几何体中的截面问题；2.几何体的体积20.（本小题满分12分）已知椭圆2222:10xyCabab的离心率为22,点2,2在C上.（I）求C的方程；（II）直线l不经过原点O,且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A,B,线段AB中点为M,证明：直线OM的斜率与直线l的斜率乘积为定值.【答案】（I）2222184xy（II）见试题解析考点：直线与椭圆21.（本小题满分12分）已知ln1fxxax.（I）讨论fx的单调性；（II）当fx有最大值,且最大值大于22a时,求a的取值范围.【答案】（I）0a,fx在0,是单调递增；0a,fx在10,a单调递增,在1,a单调递减；（II）0,1.【解析】考点：导数的应用.请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写清题号22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图O是等腰三角形ABC内一点,圆O与△ABC的底边BC交于M,N两点,与底边上的高交于点G,且与AB,AC分别相切于E,F两点.（I）证明EFBC；（II）若AG等于圆O半径,且23AEMN,求四边形EBCF的面积.【答案】（I）见试题解析；（II）1633考点：1.几何证明；2.四边形面积的计算.23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中,曲线1cos,:sin,xtCyt（t为参数,且0t）,其中0,在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线23:2sin,:23cos.CC（I）求2C与3C交点的直角坐标；（II）若1C与2C相交于点A,1C与3C相交于点B,求AB最大值.【答案】（I）330,0,,22；（II）4.【解析】试题分析：（I）把2C与3C的方程化为直角坐标方程分别为2220xyy,22230xyx,联立解考点：参数方程、直角坐标及极坐标方程的互化.24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式证明选讲设,,,abcd均为正数,且abcd.证明：（I）若abcd,则abcd；（II）abcd是abcd的充要条件.【答案】【解析】试题分析：（I）由abcd及abcd,可证明22abcd,开方即得abcd.（II）本小题可借助第一问的结论来证明,但要分必要性与充分性来证明.试题解析：解：（I）因为222,2,abababcdcdcd考点：不等式证明.