2015年普通高等学校招生全国统一考试北京卷理科数学

12015年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题（北京卷，含解析）本试卷共5页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．复数i2iA．12iB．12iC．12iD．12i【答案】A【解析】试题分析：(2)12iii考点：复数运算2.若x，y满足010xyxyx≤，≤，≥，则2zxy的最大值为A．0B．1C．32D．2【答案】D【解析】试题分析：如图，先画出可行域，由于2zxy，则1122yxz，令0Z，作直线212yx，在可行域中作平行线，得最优解(0,1)，此时直线的截距最大，Z取得最小值2.考点：线性规划；3.执行如图所示的程序框图，输出的结果为A．22，B．40，C．44，D．08，开始x=1，y=1，k=0s=x-y，t=x+yx=s，y=tk=k+1k≥3输出(x，y)结束是否【答案】B考点：程序框图4.设，是两个不同的平面，m是直线且m⊂．“m∥”是“∥”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】试题分析：因为，是两个不同的平面，m是直线且m⊂．若“m∥”，则平面、可能相3交也可能平行，不能推出//，反过来若//，m，则有m∥，则“m∥”是“∥”的必要而不充分条件.考点：1.空间直线与平面的位置关系；2.充要条件.5.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是正(主)视图11俯视图侧(左)视图21A．25B．45C．225D．5【答案】C【解析】试题分析：根据三视图恢复成三棱锥P-ABC，其中PC平面ABC，取AB棱的中点D，连接CD、PD，有,PDABCDAB，底面ABC为等腰三角形底边AB上的高CD为2，AD=BD=1,PC=1,5,ABCPDS1222,2,12552PABS,ACBC5，1512PACPBCSS52,三棱锥表面积表252S.考点：1.三视图；2.三棱锥的表面积.46.设na是等差数列.下列结论中正确的是A．若120aa，则230aaB．若130aa，则120aaC．若120aa，则213aaaD．若10a，则21230aaaa【答案】C考点：1.等差数列通项公式；2.作差比较法7.如图，函数fx的图象为折线ACB，则不等式2log1fxx≥的解集是ABOxy-122CA．|10xx≤B．|11xx≤≤C．|11xx≤D．|12xx≤【答案】C【解析】5考点：1.函数图象；2.解不等式.8.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D．某城市机动车最高限速80千米/小时.相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油【答案】【解析】6试题分析：“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，A中乙车消耗1升汽油，最多行驶的路程为乙车图象最高点的纵坐标值，A错误；B中以相同速度行驶相同路程，甲燃油效率最高，所以甲最省油，B错误，C中甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，甲车每消耗1升汽油行驶的里程10km,行驶80km，消耗8升汽油，C错误，D中某城市机动车最高限速80千米/小时.由于丙比乙的燃油效率高，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油,选D.考点：1.函数应用问题；2.对“燃油效率”新定义的理解；3.对图象的理解.第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题（共6个小题，每题5分，共30分）9.在52x的展开式中，3x的系数为．（用数字作答）【答案】40【解析】试题分析：利用通项公式，5152rrrrTCx，令3r，得出3x的系数为325240C考点：二项式定理10.已知双曲线22210xyaa的一条渐近线为30xy，则a．【答案】33考点：双曲线的几何性质11.在极坐标系中，点π23‚到直线cos3sin6的距离为．【答案】1【解析】试题分析：先把点(2,)3极坐标化为直角坐标(1,3)，再把直线的极坐标方程cos3sin6化7为直角坐标方程360xy，利用点到直线距离公式136113d.考点：1.极坐标与直角坐标的互化；2.点到直线距离.12.在ABC△中，4a，5b，6c，则sin2sinAC．【答案】1【解析】试题分析：222sin22sincos2sinsin2AAAabcaCCcbc2425361616256考点：正弦定理、余弦定理13.在ABC△中，点M，N满足2AMMC，BNNC．若MNxAByAC，则x；y．【答案】11,26【解析】试题分析：特殊化，不妨设,4,3ACABABAC，利用坐标法，以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，建立直角坐标系，3(0,0),(0,2),(0,3),(4,0),(2,)2AMCBN，1(2,),(4,0),2MNAB(0,3)AC，则1(2,)(4,0)(0,3)2xy，11142,3,,226xyxy.考点：平面向量14.设函数21421.xaxfxxaxax‚‚‚≥①若1a，则fx的最小值为；8②若fx恰有2个零点，则实数a的取值范围是．【答案】(1)1，(2)112a或2a.考点：1.函数的图象；2.函数的零点；3.分类讨论思想.三、解答题（共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）15．（本小题13分）已知函数2()2sincos2sin222xxxfx．(Ⅰ)求()fx的最小正周期；(Ⅱ)求()fx在区间[π0]，上的最小值．【答案】（1）2，（2）212【解析】试题分析：先用降幂公式和辅助角公式进行三角恒等变形，把函数化为()sin()fxAxm9形式，再利用周期公式2T求出周期，第二步由于0,x则可求出3444x，借助正弦函数图象找出在这个范围内当42x，即34x时，()fx取得最小值为：212.试题解析：(Ⅰ)211cos()2sincos2sin2sin222222xxxxfxx222sincos222xx2sin()42x(1)()fx的最小正周期为221T；(2)30,444xx，当3,424xx时，()fx取得最小值为：212考点：1.三角函数式的恒等变形；2.三角函数图像与性质.16.（本小题13分）A，B两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下：A组：10，11，12，13，14，15，16B组：12，13，15，16，17，14，a假设所有病人的康复时间互相独立，从A，B两组随机各选1人，A组选出的人记为甲，B组选出的人记为乙．(Ⅰ)求甲的康复时间不少于14天的概率；(Ⅱ)如果25a，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；(Ⅲ)当a为何值时，A，B两组病人康复时间的方差相等？（结论不要求证明）【答案】（1）37，（2）1049，（3）11a或181017.（本小题14分）如图，在四棱锥AEFCB中，AEF△为等边三角形，平面AEF平面EFCB，EFBC∥，4BC，2EFa，60EBCFCB，O为EF的中点．(Ⅰ)求证：AOBE；(Ⅱ)求二面角FAEB的余弦值；(Ⅲ)若BE平面AOC，求a的值．OFECBA11【答案】(1)证明见解析，（2）55，（3）43a【解析】试题分析：证明线线垂直可寻求线面垂直，利用题目提供的面面垂直平面AEF平面EFCB，借助性质定理证明AO平面EFCB，进而得出线线垂直，第二步建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，平面AEF的法向量易得，只需求平面AEB的法向量，设平面AEB的法向量，利用线线垂直，数量积为零，列方程求出法向量，再根据二面角公式求出法向量的余弦值；第三步由于AOBE，要想BE平面AOC，只需BEOC，利用向量、BEOC的坐标，借助数量积为零，求出a的值，根据实际问题予以取舍.试题解析：(Ⅰ)由于平面AEF平面EFCB，AEF△为等边三角形，O为EF的中点，则AOEF，根据面面垂直性质定理，所以AO平面EFCB，又BE平面EFCB，则AOBE.(Ⅱ)取CB的中点D，连接OD,以O为原点，分别以、、OEODOA为、、xyz轴建立空间直角坐标系，(0,03)Aa，(,0,0),(2,233,0),(,0,3)EaBaAEaa，(2,233,0)EBaa，由于平面AEF与y轴垂直，则设平面AEF的法向量为1(0,1,0)n，设平面AEB的法向量2(,,1)nxy，2,-30,3nAEaxax，2,(2)(233)0,1nEBaxayy，则2n(3,1,1)，二面角FAEB的余弦值12121215cos,55nnnnnn，由二面角FAEB为钝二面角，所以二面角FAEB的余弦值为55.（Ⅲ）有（1）知AO平面EFCB，则AOBE，若BE平面AOC，只需BEOC，(2,EBa233,0)a，又(2,233,0)OCa，22(2)(233)0BEOCaa，解得2a或43a，由于2a，则43a.考点：1.线线垂直的证明；2.利用法向量求二面角；3.利用数量积解决垂直问题.18.（本小题13分）12已知函数1ln1xfxx．（Ⅰ）求曲线yfx在点00f，处的切线方程；（Ⅱ）求证：当01x，时，323xfxx；（Ⅲ）设实数k使得33xfxkx对01x，恒成立，求k的最大值．【答案】（Ⅰ）20xy，（Ⅱ）证明见解析，（Ⅲ）k的最大值为2.试题解析：（Ⅰ）212()ln,(1,1),(),(0)2,(0)011xfxxfxffxx，曲线yfx在点00f，处的切线方程为20xy；（Ⅱ）当01x，时，323xfxx，即不等式3()2()03xfxx，对(0,1)x成立，设331()ln2()ln(1)ln(1)2()133xxxFxxxxxx，则422()1xFxx，当01x，时，()0Fx，故()Fx在（0，1）上为增函数，则()(0)0FxF，因此对(0,1)x，3()2()3xfxx成立；13（Ⅲ）使33xfxkx成立，01x，，等价于31()ln()013xxFxkxx，01x，；422222()(1)11kxkFxkxxx，当[0,2]k时，()0Fx，函数在（0，1）上位增函数，()(0)0FxF，符合题意；当2k时，令402()0,(0,1)kFxxk，x0(0,)x0x0(,1)x()Fx-0+()Fx极小值()(0)FxF，显然不成立，综上所述可知：k的最大值为2.考点：1.导数的几何意义；2.利用导数研究函数的单调性，证明不等式；3.含参问题讨论