9.5空间向量及其运算第四课时 两个向量的数量积

首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场第四课时两个向量的数量积首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场想一想：1．空间两个向量夹角的定义如图，已知两个非零向量a、b，在空间任取一点O，作OA―→＝a，OB―→＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉或〈b，a〉．两非零向量夹角的取值范围为[0，π]．如果〈a，b〉＝π2，则称a与b互相垂直，并记作a⊥b.2．两个向量的数量积(1)设OA―→＝a，则有向线段OA―→的长度叫做向量a的长度或模，记作|a|.(2)已知空间两个向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做向量a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场3．射影的定义已知向量AB―→＝a和轴l，e是l上与l同方向的单位向量(如图)．作点A在l上的射影A′，作点B在l上的射影B′，则A′B′―→叫做向量AB―→在轴l上或在e方向上的正射影，简称射影，并且有A′B′＝|AB―→|cos〈a，e〉＝a·e.首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场4．空间向量的数量积的性质和运算律(1)空间向量数量积的性质①a·e＝|a|cos〈a，e〉．②a⊥b⇔a·b＝0.③|a|2＝a·a.(2)空间向量的数量积的运算律①(λa)·b＝λ(a·b)．②a·b＝b·a(交换律)．③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律)．首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场做一做：教师备用：若a与b垂直，则a·b的值是(A)(A)等于0(B)大于0(C)小于0(D)不确定解析：∵a⊥b⇔a·b＝0，∴应选A.首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场1．若|a|＝22，|b|＝22，a·b＝－2，则a，b的夹角为(C)(A)π4(B)π3(C)3π4(D)5π4解析：∵a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝22×22·cos〈a，b〉＝－2，∴cos〈a，b〉＝－22，∴〈a，b〉＝34π.首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场2．已知OA―→·OC―→－OB―→·OC―→＝0，则直线OC与AB的位置关系是(B)(A)平行(B)垂直(C)重合(D)相交但不垂直解析：∵OA―→·OC―→－OB―→·OC―→＝OC―→·(OA―→－OB―→)＝OC―→·BA―→＝0.∴直线OC与AB垂直，应选B.首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场3．已知a与b是空间两个非零向量，且|a＋b|＝|a－b|，则a与b为邻边的平行四边形一定是(A)(A)矩形(B)菱形(C)正方形(D)形状不确定解析：∵|a＋b|2＝a2＋b2＋2a·b|a－b|2＝a2＋b2－2a·b∴a·b＝0，∴a⊥b.应选A.首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场知识要点一：正确认识两个向量的夹角1．注意〈a，b〉与表示点的符号(a，b)的区别．2．两个非零向量才有夹角，而零向量与其他向量之间不定义夹角，当两个向量同向共线时夹角为0，反向共线时夹角为π，特别有〈a，a〉＝0，〈a，－a〉＝π.首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场知识要点二：空间向量数量积的几何意义如图：已知AB―→＝a和轴l，e是与l同方向的单位向量，点A、B在l上的射影分别为A′、B′，如果用A′B′表示以A′为起点，B′为终点的有向线段的数量(与e同向为正，反向为负)，那么A′B′―→叫做AB―→在轴l上(或在e方向上)的正射影，简称射影，且A′B′＝|AB―→|cos〈a，e〉＝|a|cos〈a，e〉＝a·e.故空间向量a，b的数量积就是向量a的模|a|与b在a方向上的射影|b|cos〈a，b〉的乘积．首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场知识要点三：向量的数量积的理解向量的数量积运算是向量最基础但又是最常用的运算之一，一定要把向量的数量积运算同实数间的乘法运算区别开来．另外，两向量的夹角θ是[0，π]上的角，要注意其三角函数值的运算，特别注意其余弦值的符号，向量数量积的结果是实数．1．向量的数量积与实数积相同点它们运算的结果都是实数；都满足交换律和分配律；两个向量a，b与两个实数a，b都适合以下关系：(x±y)2＝x2±2xy＋y2，(x＋y)(x－y)＝x2－y2，x2＋y2＝0⇔x＝0且y＝0.2．向量数量积与实数积不同点实数积满足结合律：(a·b)·c＝a·(b·c)，向量数量积不满足结合律：(a·b)c≠a(b·c)；两个实数积为零：a·b＝0⇔a＝0或b＝0，而数量积为零：a·b＝0⇔a＝0或b＝0或a⊥b；两实数积的绝对值：|ab|＝|a|·|b|，两向量数量积的模|a·b|≤|a|·|b|；两实数积的平方：(a·b)2＝a2·b2，而向量数量积的平方：(a·b)2≤a2·b2.首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场垂直问题【例1】已知空间四边形OABC中，M为BC中点，N为AC中点，P为OA中点，Q为OB中点，若AB＝OC.求证：PM⊥QN.首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场证明：欲证PM⊥QN，只要证明PM―→·QN―→＝0.OM―→＝12(OB―→＋OC―→)．ON―→＝12(OA―→＋OC―→)∴PM―→＝PO―→＋OM―→＝12(－OA―→＋OB―→＋OC―→)＝12(OB―→－OA―→＋OC―→)＝12(AB―→＋OC―→)．∴QN―→＝QO―→＋ON―→＝－12OB―→＋12(OA―→＋OC―→)＝12(OA―→－OB―→＋OC―→)＝12(BA―→＋OC―→)＝12(OC―→－AB―→)．首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场∵PM―→·QN―→＝12(AB―→＋OC―→)·12(OC―→－AB―→)＝14(OC―→2－AB―→2)＝14(|OC―→|2－|AB―→|2)，由|AB―→|＝|OC―→|，∴PM―→·QN―→＝0，∴PM―→⊥QN―→，即PM⊥QN.用向量法证明垂直问题，主要是利用a⊥b⇔a·b＝0.在具体问题中，我们通常选择空间的一个基底把问题所涉及到的向量都用这个基底来表示，但考虑到后面运算的方便，选基底时一般要求三个基向量的模已知，三个基向量彼此间的夹角已知(最好是特殊角)．首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场求两点间的距离【例2】如图，在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，将它沿对角线AC折起，使AB与CD成60°角，求B、D间的距离．解：∵∠ACD＝90°，∴AC―→·CD―→＝0.同理AC―→·BA―→＝0.∵AB与CD成60°角，∴〈BA―→，CD―→〉＝60°或120°.首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场又BD―→＝BA―→＋AC―→＋CD―→，∴BD―→·BD―→＝|BA―→|2＋|AC―→|2＋|CD―→|2＋2BA―→·AC―→＋2BA―→·CD―→＋2AC―→·CD―→＝3＋2×1×1×cos〈BA―→，CD―→〉＝4〈BA―→，CD―→〉＝60°2〈BA―→，CD―→〉＝120°.∴|BD―→|＝2或|BD―→|＝2，即B、D间的距离为2或2.求两点间的距离或某线段的长度，就是把此线段用向量表示，然后用|a|2＝a·a，即|a|＝a·a，通过向量运算求得|a|.首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场变式训练21：平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AB＝1，AD＝2，AA1＝3，∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，则AC1的长为()(A)13(B)23(C)33(D)43解析：|AC1―→|＝|AC1―→|2＝AB―→＋BC―→＋CC1―→2＝|AB―→|2＋|BC―→|2＋|CC1―→|2＋2AB―→·BC―→＋2BC―→·CC1―→＋2AB―→·CC1―→＝1＋4＋9＋0＋2×2×3×cos60°＋2×1×3×cos60°＝23.故选B.首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场求异面直线所成的角【例3】已知点O是正△ABC平面外的一点，若OA＝OB＝OC＝AB＝1，E、F分别是AB、OC的中点，试求OE与BF所成角的余弦值．解：如图所示，设OA―→＝a，OB―→＝b，OC―→＝c，则a·b＝b·c＝c·a＝12，|a|＝|b|＝|c|＝1，首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场OE―→＝12(a＋b)，BF―→＝12c－b，OE―→·BF―→＝12(a＋b)·(12c－b)＝12(12a·c＋12b·c－a·b－|b|2)＝12(14＋14－12－1)＝－12，∴cos〈OE―→，BF―→〉＝OE―→·BF―→|OE―→||BF―→|＝－1232×32＝－23，∴异面直线OE与BF所成角的余弦值为23.首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场对于空间向量a、b，有cos〈a，b〉＝a·b|a||b|.利用这一结论，我们可以较方便地求解异面直线所成角的问题．由于向量的夹角的取值范围为[0，π]，而异面直线所成的角的取值范围为(0，π2]，故〈OE―→，BF―→〉∈[0，π2]时，它们相等；而当〈OE―→，BF―→〉∈(π2，π]时，它们互补．首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场变式训练31：如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，求异面直线A1B与AC所成的角．解：不妨设正方体的棱长为1，设AB―→＝a，AD―→＝b，AA1―→＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝1，a·b＝b·c＝c·a＝0，A1B―→＝a－c，AC―→＝a＋b.∴A1B―→·AC―→＝(a－c)·(a＋b)＝|a|2＋a·b－a·c－b·c＝1，而|A1B―→|＝|AC―→|＝2.∴cos〈A1B―→，AC―→〉＝12×2＝12，〈A1B―→，AC―→〉∈[0°，180°]∴〈A1B―→，AC―→〉＝60°.因此，异面直线A1B与AC所成的角为60°.首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场基础达标1．已知|a|＝1，|b|＝2，且(a－b)与a垂直．则a与b的夹角为(D)(A)60°(B)30°(C)135°(D)45°解析：∵(a－b)⊥a，∴(a－b)·a＝0，即a2－a·b＝0，∴a·b＝1，∴a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝1，即cos〈a，b〉＝1|a||b|＝11×2＝22，∴〈a，b〉＝45°.首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场2．以下命题正确的是(D)(A)(a·b)2＝a2·b2(B)(a·b)·c＝b·(a·c)＝(b·c)·a(C)向量a在向量b的方向上的射影向量的模为|a|cos〈a，b〉(D)在四面体ABCD中，若AB―→·CD―→＝0，AC―→·BD―→＝0，则AD―→·BC―→＝0解析：在四面体中，有两组对棱垂直，则第三组对棱必垂直．首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场3．已知PA⊥平面ABC，∠ABC＝120°，PA＝AB＝BC＝6，则PC等于(C)(A)62(B)6(C)12(D)144解析：∵PC―→＝PA―→＋AC―→，∴PC―→2＝PA―→2＋2PA―→·AC―→＋AC―→2.∵PA⊥平面ABC，∴PA―→·AC―→＝0.又AC―→＝AB―→＋BC―→，∠ABC＝120°，∴AC―→2＝AB―→2＋BC―→2＋2AB―→·BC―→＝62＋62＋2·6·6·cos60°＝108.∴PC―→2＝36＋108＝144.∴|PC―→|＝12，应选C.首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场4．|a|＝|b|＝4，〈a，b〉＝60°，则|a－b|＝____