§1 向量的内积、长度及正交性

第五章相似矩阵及二次型§1向量的内积、长度及正交性4定义：设有n维向量令则称[x,y]为向量x和y的内积．1122[,]nnxyxyxyxy向量的内积1122,,nnxyxyxyxy1212,,,nnyyxxxyTxy611221122[,][,]nnnnxyxyxyxyyxyxyxyx[x,y]=x1y1+x2y2+…+xnyn=xTy．内积具有下列性质（其中x,y,z为n维向量，l为实数）：对称性：[x,y]=[y,x]．7[x,y]=x1y1+x2y2+…+xnyn=xTy．内积具有下列性质（其中x,y,z为n维向量，l为实数）：对称性：[x,y]=[y,x]．线性性质：[lx,y]=l[x,y]．[x+y,z]=[x,z]+[y,z][,]()()[,]TTTxyxyxyxyxylllll[,]()()()()[,][,]TTTTTxyzxyzxyzxzyzxzyz8[x,y]=x1y1+x2y2+…+xnyn=xTy．内积具有下列性质（其中x,y,z为n维向量，l为实数）：对称性：[x,y]=[y,x]．线性性质：[lx,y]=l[x,y]．[x+y,z]=[x,z]+[y,z]当x=0（零向量）时，[x,x]=0；当x≠0（零向量）时，[x,x]0．[x,x]=x12+x22+…+xn2≥09[x,y]=x1y1+x2y2+…+xnyn=xTy．内积具有下列性质（其中x,y,z为n维向量，l为实数）：对称性：[x,y]=[y,x]．线性性质：[lx,y]=l[x,y]．[x+y,z]=[x,z]+[y,z]当x=0（零向量）时，[x,x]=0；当x≠0（零向量）时，[x,x]0．施瓦兹（Schwarz）不等式[x,y]2≤[x,x][y,y]．10回顾：线段的长度2212||[,]OPxxxxx1x2x1x2x3P(x1,x2)OPO若令x=(x1,x2)T，则222123||[,]OPxxxxx若令x=(x1,x2,x3)T，则[x,x]=x12+x22+…+xn2≥0112[,][,][,][,]xxxxxxxxlllllll向量的长度定义：令称||x||为n维向量x的长度（或范数）．当||x||=1时，称x为单位向量．向量的长度具有下列性质：非负性：当x=0（零向量）时，||x||=0；当x≠0（零向量）时，||x||0．齐次性：||lx||=|l|·||x||．22212||||[,]0nxxxxxx2||||[,][,]||[,]||||||xxxxxxxxllllll12向量的长度定义：令称||x||为n维向量x的长度（或范数）．当||x||=1时，称x为单位向量．向量的长度具有下列性质：非负性：当x=0（零向量）时，||x||=0；当x≠0（零向量）时，||x||0．齐次性：||lx||=|l|·||x||．三角不等式：||x+y||≤||x||+||y||．22212[||,|]|nxxxxxxxyx+yy13向量的正交性施瓦兹（Schwarz）不等式[x,y]2≤[x,x][y,y]=||x||·||y||当x≠0且y≠0时，定义：当x≠0且y≠0时，把称为n维向量x和y的夹角．当[x,y]=0，称向量x和y正交．结论：若x=0，则x与任何向量都正交．[,]arccos||||||||xyxy[,]1||||||||xyxyxy14定义：两两正交的非零向量组成的向量组成为正交向量组．定理：若n维向量a1,a2,…,ar是一组两两正交的非零向量，则a1,a2,…,ar线性无关．证明：设k1a1+k2a2+…+krar=0（零向量），那么0=[a1,0]=[a1,k1a1+k2a2+…+krar]=k1[a1,a1]+k2[a1,a2]+…+kr[a1,ar]=k1[a1,a1]+0+…+0=k1||a1||2从而k1=0．同理可证，k2=k3=…=kr=0．综上所述，a1,a2,…,ar线性无关．15例：已知3维向量空间R3中两个向量正交，试求一个非零向量a3，使a1,a2,a3两两正交．分析：显然a1⊥a2．解：设a3=(x1,x2,x3)T，若a1⊥a3，a2⊥a3，则[a1,a3]=a1Ta3=x1+x2+x3=0[a2,a3]=a2Ta3=x1－2x2+x3=012111,211aa12311101210xAxxx1612311101210xAxxx111111111101~~~121030010010rrr得从而有基础解系，令．1320xxx1013101a17定义：n维向量e1,e2,…,er是向量空间中的向量，满足e1,e2,…,er是向量空间V中的一个基（最大无关组）；e1,e2,…,er两两正交；e1,e2,…,er都是单位向量，则称e1,e2,…,er是V的一个规范正交基．例：是R4的一个规范正交基．nVR123410000100,,,00100001eeee18也是R4的一个规范正交基．1234001212001212,,,121200001212eeee123411110111,,,00110001eeee是R4的一个基，但不是规范正交基．19设e1,e2,…,er是向量空间V中的一个正交基，则V中任意一个向量可唯一表示为x=l1e1+l2e2+…+lrer于是特别地，若e1,e2,…,er是V的一个规范正交基，则问题：向量空间V中的一个基a1,a2,…,ar向量空间V中的一个规范正交基e1,e2,…,er2[,][,],1,2,,[,]||||iiiiiixexeireeel[,],1,2,,iixeirl20求规范正交基的方法第一步：正交化——施密特（Schimidt）正交化过程设a1,a2,…,ar是向量空间V中的一个基，那么令11baa1b1a2a3c2b2c3c31c32b3122222111[,][,]babacabbb3333313213233121122[,][,][,][,]bacaccbabaabbbbbb基正交基规范正交基22第一步：正交化——施密特（Schimidt）正交化过程设a1,a2,…,ar是向量空间V中的一个基，那么令于是b1,b2,…,br两两正交，并且与a1,a2,…,ar等价，即b1,b2,…,br是向量空间V中的一个正交基．特别地，b1,…,bk与a1,…,ak等价（1≤k≤r）．121112212111[,][,][,][,][,][,]rrrrrrrrrbabababbbbbabbbbb11ba122222111[,][,]babacabbb23第二步：单位化设b1,b2,…,br是向量空间V中的一个正交基，那么令因为从而e1,e2,…,er是向量空间V中的一个规范正交基．112212111,,,||||||||||||rrrebebebbbb21111111221111||||111[,],,1||||||||||||||||beebbbbbbbb111||||[,]1eee24例：设，试用施密特正交化过程把这组向量规范正交化．解：第一步正交化，取1231142,3,1110aaa111222111132333121122111[,]45321[,]631114111[,][,]1512120[,][,]330111babababbbbabababbbbbb25例：设，试用施密特正交化过程把这组向量规范正交化．解：第二步单位化，令1231142,3,1110aaa1112223331112||||611111||||311110||||21ebbebbebb26例：已知，试求非零向量a2,a3，使a1,a2,a3两两正交.解：若a1⊥a2，a1⊥a3，则[a1,a2]=a1Ta2=x1+x2+x3=0[a1,a3]=a1Ta3=x1+x2+x3=0即a2,a3应满足方程x1+x2+x3=0．基础解系为把基础解系正交化即为所求．1111a12100,111231110,2211aa（以保证a2⊥a3成立）27定义：如果n阶矩阵A满足ATA=E，则称矩阵A为正交矩阵，简称正交阵．即A−1=AT，于是从而可得方阵A为正交阵的充分必要条件是A的列向量都是单位向量，且两两正交．1,[,](,1,2,,)0,Tijijijaaaaijnij即A的列向量组构成Rn的规范正交基．1111212212221212100010,,,001TTTTnTTTTTnnTTTTnnnnnaaaaaaaaaaaaaaAAaaaaaaaaaa28定义：如果n阶矩阵A满足ATA=E，即A－1=AT，则称矩阵A为正交矩阵，简称正交阵．方阵A为正交阵的充分必要条件是A的列向量都是单位向量，且两两正交．即A的列向量组构成Rn的规范正交基.因为ATA=E与AAT=E等价，所以1,[,](,1,2,,)0,Tijijijbbbbijnij1111212212221212100010,,,001TTTTnTTTTTnnTTTTnnnnnbbbbbbbbbbbbbbAAbbbbbbbbbb29定义：如果n阶矩阵A满足ATA=E，即A－1=AT，则称矩阵A为正交矩阵，简称正交阵．方阵A为正交阵的充分必要条件是A的列向量都是单位向量，且两两正交．即A的列向量组构成Rn的规范正交基．方阵A为正交阵的充分必要条件是A的行向量都是单位向量，且两两正交．即A的行向量组构成Rn的规范正交基.30121200121200001212001212P例：正交矩阵R4的一个规范正交基1234001212001212,,,121200001212eeee31||||()()||||TTTTTyyyPxPxxPPxxxx正交矩阵具有下列性质：若A是正交阵，则A−1也是正交阵，且|A|=1或－1．若A和B是正交阵，则A和B也是正交阵．定义：若P是正交阵，则线性变换