浅谈信息学竞赛中的“0”和“1”

WuSen“1与0，一切数字的神奇渊源。这是造物的秘密美妙的典范，因为，一切无非都来自上帝。”WuSen浅谈信息学竞赛中的“0”和“1”—二进制思想在信息学竞赛中的应用河北省石家庄二中武森WuSencontent二进制思想在数据结构中的应用•树状数组二进制思想在解题思想中的应用•状态压缩•模型转化•01二叉树WuSen例题一：Matrix•有一个M*N的矩阵，每一个格子中的数是1或0，初始时为0。有两种操作：–修改一个子矩阵，将子矩阵中的数字全部01取反。–查询第x行第y列的格子中的数字。WuSen如果给定的是一个长度为N的一排格子。退而求其次每次可以修改一个子列中的数字。WuSen这样，这道题目就变得简单了！根据这个题目中介绍的这个矩阵中的数的特点不是1就是0，这样我们只需记录每个格子改变过几次，即可判断这个格子的数字。WuSen每次修改的时候，不妨把格子修改的范围(x,y)变成两个点,一个为更改的初始节点x，另一个为更改的终止节点y+1，然后往这列格子中的这两个节点中加1。修改：WuSen每次修改的时候，不妨把格子修改的范围(x,y)变成两个点,一个为更改的初始节点x，另一个为更改的终止节点y+1，然后往这列格子中的这两个节点中加1。修改：WuSen每次询问的时候只需计算出Sumx就可以求出第x个格子被修改过几次。查询WuSen每次询问的时候只需计算出Sumx就可以求出第x个格子被修改过几次。查询WuSen寻根溯源用上面的方法看看能否解决原来的问题。WuSenWuSenWuSen推而广之如果是要处理三维的情况，甚至N维的情况呢？一般的数据结构能解决吗？不能！！怎么办呢？？？WuSen二进制思想二进制思想在数据结构中的应用：树状数组中的每一个元素的编号变成了二制编码，再通过这些二进制编码末尾的0的个数来决定存储什么信息，假设节点编号为x，那么这个节点存储数据的区间为2k（其中k为x二进制末尾0的个数）个元素。又由于每个十进制数转化成二进制位的话，1的个数最多只有O(logN)个，所以，复杂度只有O(logN)。WuSen具体操作：2k：Xand–X插入或删除：Whilex=maxdoBeginC[x]:=c[x]+delta;X:=x+(xand–x);End;查询：Whilex0doBeginSum:=sum+c[x];X:=x-(xand–x);End;WuSen树状数组优势代码长度短，不易出错。思想巧妙，算法复杂度低。维护简单，空间消耗低。易推广到二维甚至三维等等。WuSen例题二：CowXor农民约翰在喂奶牛的时候被另一个问题卡住了。他的所有N(1=N=100,000)个奶牛在他面前排成一行(按序号1..N的顺序)，按照它们的社会等级排序。奶牛#1由最高的社会等级，奶牛#N最低。每个奶牛同时被赋予了一个唯一的数在0..221-1的范围内。帮助农民约翰找出应该从那一头奶牛开始喂，使得从它开始的某一个连续的子序列上的奶牛的数的异或值最大。如果有多个这样的子序列，选择结尾的奶牛社会等级最高的。如果还不唯一，选择最短的。WuSen•直接枚举起始点和终结点？时间复杂度是O(N*N)根据异或的性质，可以得出以下结论：Sumk=a1xora2xora3…ak-1xorakaixorai+1…aj-1xoraj=SumjxorSumi-1WuSen二进制思想•数的范围在0..221–1的整数•把这些数转化成二进制只有21位有用吗？？？WuSen01二叉树顾名思义，树的节点的值为0或1。WuSen插入•每次插入的时候，根据这个数的二进•制数进行建树，第i位是1则向左儿子•建一条边，反之向右儿子建边。WuSen插入•每次插入的时候，根据这个数的二进•制数进行建树，第i位是1则向左儿子•建一条边，反之向右儿子建边。WuSen查询•每次查询的时候，用贪心的思想根•据这个数的二进制数进行，第i位是•1如果有右儿子则向右儿子进行，反•之向左儿子进行。WuSen查询•每次查询的时候，用贪心的思想根•据这个数的二进制数进行，第i位是•1如果有右儿子则向右儿子进行，反•之向左儿子进行。WuSen这样，每次插入和查询的时间复杂度为O(logN)的，对与这道题目整体的时间复杂度为O(NlogN)。这道题目完美解决~WuSen总结二进制思想在信息学竞赛中的应用，巧妙的运用了十进制数与二进制数之间的关系，不仅在数据结构中有广泛应用。在解题中，将二进制思想引入，不仅可以用于状态压缩，还可以用与构建新的数学模型。从而达到转十为二，事半功倍的效果！WuSenThankYou！欢迎提问~